专题1.5 充分条件与必要条件（9类必考点）-2026年初升高暑期提升计划（人教A版2019必修第一册）

专题1.5 充分条件与必要条件 【知识梳理】 1 【考点1：充分条件的判定及性质】 2 【考点2：必要条件的判定及性质】 5 【考点3：充分不必要条件的判断与证明】 7 【考点4：根据充分不必要条件求参数】 9 【考点5：必要不充分条件的判断与证明】 11 【考点6：根据必要不充分条件求参数】 13 【考点7：充要条件的判断与证明】 16 【考点8：根据充要条件求参数】 17 【考点9：既不充分也不必要条件的判断与证明】 19 【知识梳理】 1．命题 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． （2）分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论． 2．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 3．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【重要提醒】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 4．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 5. 充分、必要、充要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AÜB p是q的必要不充分条件 BÜA p是q的充要条件 A＝B 【方法技巧】 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 【考点1：充分条件的判定及性质】 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解. 【详解】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（     ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】ABD 【分析】根据四边形的性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】对选项A：对角线相等的菱形是正方形，正确； 对选项B：邻边相等的矩形是正方形，正确； 对选项C：对角线相等的平行四边形是矩形，错误； 对选项D：有一个角是直角的菱形是正方形，正确； 故选：ABD 4．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 【答案】AC 【分析】根据充分条件的定义进行判断. 【详解】对A：因为菱形的对角线互相垂直，所以“：四边形为菱形”是“：这个四边形的对角线互相垂直”的充分条件； 对B：因为或，所以“：”不是“：”的充分条件； 对C：因为，所以“：”是 “：”的充分条件； 对D：当，，则，为无理数，但为有理数，所以“：，为无理数”不是“：为无理数”的充分条件. 故选：AC 5．（25-26高一上·湖南·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 【答案】ABC 【分析】根据充分条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】A．由x，y是偶数，能推出是偶数，则p是q的充分条件； B．方程有实根，则p是q的充分条件； C．由一个四边形是矩形，能够得到该四边形的对角线相等，则p是q的充分条件； D．由真子集的定义知，推不出则p不是q的充分条件． 故选:ABC． 【考点2：必要条件的判定及性质】 6．（2026高一·全国·专题练习）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 7．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先解得到，则的必要条件的是：成立能推出对应的选项也成立即为它的必要条件，故依次分析选项即可. 【详解】由得到； 当时，成立，但是推不出成立，选项A错误； 成立必定可以推出成立，选项B正确； 成立必定可以推出成立，选项C正确； 当时，成立，但是推不出成立，选项D错误； 故选：BC 8．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 【答案】BCD 【分析】根据必要条件定义依次判断即可. 【详解】对于A，由，不能推出，所以不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，由两个三角形相似，能推出这两个三角形的三边对应成比例， 所以是的必要条件，故B符合题意； 对于C，由，则，能推出， 所以是必要条件，故C符合题意； 对于D，由，，能推出， 所以是的必要条件，故D符合题意. 故选：BCD 9．（25-26高三上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则方程有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D．若为无理数，则m，n均为无理数 【答案】AB 【分析】由必要条件的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，所以A符合题意； 对于B，若方程有实根，则需满足，即，可推出，故B符合题意； 对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意； 对于D，若，则为有理数，故D不符合题意. 故选：AB. 10．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则方程有实根 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用必要条件的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，则是的必要条件，A是； 对于B，，又，则是的充分不必要条件，B不是； 对于C，方程有实根，则，解得， 而，因此是方程有实根的必要条件，C是； 对于D，，则是的必要条件，D是. 故选：ACD 【考点3：充分不必要条件的判断与证明】 11．（2025高二下·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【答案】A 【分析】通过分别判断条件间的充分性与必要性，结合等腰三角形和等边三角形的定义，确定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若三角形的三个内角都相等，则该三角形为等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故”三角形的三个内角都相等”可推出”三角形是等腰三角形”，充分性成立. 等腰三角形只需至少两个内角相等，不一定三个内角都相等， 故”三角形是等腰三角形”不能推出”三角形的三个内角都相等”，必要性不成立. 因此，”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 12．（2026高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若则是的充分条件,是的必要条件.本题判断能否推出即可. 【详解】当时,显然成立,反过来当时,或,不一定有.所以是的充分不必要条件. 故选:B. 13．（24-25高三下·广东·开学考试）已知小明和小王从5张编号为的卡牌中依次不放回各抽取2张卡牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于3，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分及必要条件的定义判断即可. 【详解】由小明手中的两张卡牌编号和为3，可知小明手中的两张卡牌编号分别为1，2， 根据题意此时小王手中的两张卡牌编号可能为中的两个，均满足编号不小于3，充分性成立， 若小王手中的两张卡牌编号均不小于3， 例如3，4，此时小明手中的卡牌编号可能有5，不满足小明手中的两张卡牌编号和为3， 故必要性不成立， 故甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选:A. 14．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】当“”时，“”； 当“”时，可能，不能得到“”； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 15．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【考点4：根据充分不必要条件求参数】 16．（2026·广东·一模）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 17．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 18．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为或． 19．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 故实数的取值范围是. 20．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 【考点5：必要不充分条件的判断与证明】 21．（2026高一·全国·专题练习）已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合充分条件和必要条件定义判断结论. 【详解】是奇数都是奇数， 所以能推出，但推不出， 所以是的充分非必要条件， 故选：A 22．（2026高一·全国·专题练习）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】由“”不能得出“”， 如当时，满足，不满足； 因为 所以由“”能得出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 23．（2026高一·全国·专题练习）已知为实数，那么“”是“方程没有实数解”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程没有实数解，可得出，求出实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由方程没有实数解，得，解得， 因为， 所以“”是“方程没有实数解”的必要而不充分条件． 故选：B． 24．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）“一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若一元二次方程有实数根，则且， 所以充分性成立； 由推不出，即推不出方程一定为一元二次方程，故必要性不成立； 所以“一元二次方程有实数根”是“”的充分不必要条件. 故选：A 25．（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】A 【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以或， 即由不能推出，但由能推出， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出， 不满足是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，因为，所以， ，则，或， 即由能推出，但由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故D不正确. 故选：A. 【考点6：根据必要不充分条件求参数】 26．（2026高一·全国·专题练习）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 27．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 28．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先将“q是p的必要不充分条件”转化为集合是集合的真子集，再根据集合真包含关系列不等式组，求解实数的取值范围. 【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋， 则或，解得， 故实数的取值范围为. 29．（25-26高一上·陕西宝鸡·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用集合的并运算求； （2）根据已知有，列不等式求参数范围即可. 【详解】（1），当时， 所以； （2）由（1）得，， 因为是的必要条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 30．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）当时，求出集合B的取值范围； （2）根据题意得到集合B是集合A的真子集，分类和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以或，. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【考点7：充要条件的判断与证明】 31．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由方程有一个正根和一个负根可求得的范围，进而可求得结论. 【详解】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． 32．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）“”是“”的（    ）条件． A．充要 B．必要非充分 C．既非充分又非必要 D．充分非必要 【答案】A 【分析】分析可知“”与“”等价，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，等价于，即， 即“”与“”等价， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 33．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考虑的等价命题，求得的取值，结合充要条件判断即可. 【详解】集合， 因等价于， 即或，解得，经检验符合题意，则必要性成立， 代入，此时，，满足，则充分性成立， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 34．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 35．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【考点8：根据充要条件求参数】 36．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【答案】 【分析】利用计算即可. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得． 故答案为： 37．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________． 【答案】 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 38．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 39．（25-26高一上·湖南·期末）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 40．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 【考点9：既不充分也不必要条件的判断与证明】 41．（25-26高二下·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件及必要条件的定义，结合特殊值法求解判断即可. 【详解】当，时，满足，但，故推不出， 当，时，满足，但，故不能推出， 所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 42．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 43．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若甲的生肖不是羊，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是羊. 故“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 44．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】不等式，取，满足，而， 反之，，而， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 45．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)若，，； (2)，； (3)：两个角都是直角，：两个角不相等. 【答案】(1)充要条件 (2)必要不充分条件 (3)既不充分也不必要条件 【分析】（1）由充要条件的概念即可直接判断； （2）由必要不充分条件的概念即可直接判断； （3）由既不充分也不必要条件的概念即可直接判断. 【详解】（1）因为， 并且， 所以是的充要条件. （2），即或，， 故， 故是的必要不充分条件. （3）两个角都是直角，则这两个角相等， 两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 即， 故是的既不充分也不必要条件. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 充分条件与必要条件 【知识梳理】 1 【考点1：充分条件的判定及性质】 2 【考点2：必要条件的判定及性质】 3 【考点3：充分不必要条件的判断与证明】 4 【考点4：根据充分不必要条件求参数】 5 【考点5：必要不充分条件的判断与证明】 6 【考点6：根据必要不充分条件求参数】 7 【考点7：充要条件的判断与证明】 8 【考点8：根据充要条件求参数】 9 【考点9：既不充分也不必要条件的判断与证明】 10 【知识梳理】 1．命题 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． （2）分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论． 2．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 3．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【重要提醒】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 4．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 5. 充分、必要、充要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AÜB p是q的必要不充分条件 BÜA p是q的充要条件 A＝B 【方法技巧】 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 【考点1：充分条件的判定及性质】 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（     ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 4．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 5．（25-26高一上·湖南·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 【考点2：必要条件的判定及性质】 6．（2026高一·全国·专题练习）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 7．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 9．（25-26高三上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则方程有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D．若为无理数，则m，n均为无理数 10．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则方程有实根 D．若，则 【考点3：充分不必要条件的判断与证明】 11．（2025高二下·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 12．（2026高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（24-25高三下·广东·开学考试）已知小明和小王从5张编号为的卡牌中依次不放回各抽取2张卡牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于3，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 14．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点4：根据充分不必要条件求参数】 16．（2026·广东·一模）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 18．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【考点5：必要不充分条件的判断与证明】 21．（2026高一·全国·专题练习）已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 22．（2026高一·全国·专题练习）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2026高一·全国·专题练习）已知为实数，那么“”是“方程没有实数解”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）“一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【考点6：根据必要不充分条件求参数】 26．（2026高一·全国·专题练习）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 27．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 28． （专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 29．（25-26高一上·陕西宝鸡·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 30．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【考点7：充要条件的判断与证明】 31．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）“”是“”的（    ）条件． A．充要 B．必要非充分 C．既非充分又非必要 D．充分非必要 33．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 35．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【考点8：根据充要条件求参数】 36．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 37．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________． 38．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 39．（25-26高一上·湖南·期末）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 40．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【考点9：既不充分也不必要条件的判断与证明】 41．（25-26高二下·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 43．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 44．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)若，，； (2)，； (3)：两个角都是直角，：两个角不相等. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $