第4章 平面直角坐标系（暑假单元自测）新八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版新教材平面直角坐标系单元卷，以风力发电、什刹海游览等真实情境为载体，覆盖象限判断、点的平移与对称等核心知识，梯度设计适配暑假巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|象限判断、平移坐标计算|第4题结合方向距离描述，培养空间观念| |填空|8/16|坐标变换、面积计算|第14题风力发电叶片转动，体现应用意识| |解答|10/68|综合图形与坐标|25题“互变点”概念创新，26题动点问题发展推理能力|

第4章 平面直角坐标系 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，若点 在第二象限，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知点，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到点．若点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在一次活动中，位于A处的小汪准备前往相距的B处与小丽会合．请你用方向和距离描述小汪相对于小丽的位置，其中描述正确的是（　　） A．小汪在小丽的北偏东，处 B．小汪在小丽的北偏东，处 C．小汪在小丽的南偏西，处 D．小汪在小丽的南偏西，处 5．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 6．跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2025分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点，，，，且．点E是线段的中点，过点E作，若l与线段有公共点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标是______． 10．已知点，点，且轴，则m的值为_____． 11．在北京这座古今交融的城市里，是感受其独特脉搏的最好方式之一．如图是小芸游览什刹海路线图，她分别在四个景点打卡留念．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 12．在平面直角坐标系中，如图所示，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是_____． 13．已知点M的坐标为，点N的坐标为，且，将线段向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20，则的值为_______ ． 14．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为__________． 15．在平面直角坐标系中，，，，点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为_______． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 三、解答题（共68分） 17．图是我校的平面示意图． (1)以大门所在位置为原点，画出平面直角坐标系； (2)在（1）的基础上，表示下列各点坐标：教学楼： ，图书馆： ，实验楼： ，操场： ； (3)若行政楼的位置坐标为，在图中标出它的位置． 18．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点的坐标为且轴，求点的坐标； (2)若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 19．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，，求点A的坐标． 20．如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)写出图中点的坐标：_______； (2)若点关于轴对称的点是，写出点的坐标：_______； (3)的面积是_______； (4)已知，在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． (1)求点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别与点，，对应，画出平移后的，则的面积为 ； (2)将平移，使得点，平移后的对应点，落在坐标轴上，点为内一点，则平移后点的对应点的坐标为 ． 23．平面直角坐标系中，有点，实数a，b，m满足以下两个等式： ， (1)当时，点P到x轴的距离为______； (2)若点P落在x轴上，求点P的坐标； (3)当时，求m的所有整数的和． 24．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点坐标为，连接． (1)若与坐标轴平行，则的长为； (2)若，，满足，作轴，垂足为，轴，垂足为． 写出点的横坐标（用含的式子表示），求四边形的面积； 连接，，，当的面积大于而小于时，请直接写出的取值范围． 25．对于平面直角坐标系中的任意一点，称点为点的“互变点”． 例如：点为点的“互变点”． (1)若点为点的“互变点”，则点的坐标为______； (2)若点为点的“互变点”，求点的坐标； (3)已知点，，点为线段上一点，点为点的“互变点”，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．若点在长方形的内部（不含边界），求的取值范围． 26．如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点．点在轴上，点在轴上． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向右运动，每秒运动个单位长度，同时动点从点出发向上运动，每秒运动个单位长度．运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，请直接写出点的坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平面直角坐标系 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限与点坐标的关系，只需根据各象限点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：∵ 点的横坐标，纵坐标，且第二象限内点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴ 点在第二象限． 2．在平面直角坐标系中，若点 在第二象限，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第二象限内点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为正数，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点 在第二象限， ∴， 解得． 3．已知点，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到点．若点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“横坐标右移加，左移减”计算即可得到的值． 【详解】解：∵将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴的横坐标． 4．如图，在一次活动中，位于A处的小汪准备前往相距的B处与小丽会合．请你用方向和距离描述小汪相对于小丽的位置，其中描述正确的是（　　） A．小汪在小丽的北偏东，处 B．小汪在小丽的北偏东，处 C．小汪在小丽的南偏西，处 D．小汪在小丽的南偏西，处 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴小汪在小丽的北偏东，处 5．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移的性质，平移后所有点的横纵坐标变化量相同，根据平移规律得到和的表达式，即可计算的值． 【详解】∵线段平移得到线段，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同， 由的对应点为，可得横坐标变化量为：， 由的对应点为，可得纵坐标变化量为：， ∴对点横坐标，有，得， 对点纵坐标，有，得， ∴． 6．跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作轴于点M，过点E作轴于点N，先求出，得出，再在等边三角形中求出和，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M，过点E作轴于点N， 由题意可得、是等边三角形，是正六边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2025分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型-点的坐标．先找出坐标轴上的点所用的时间的规律，再按照运动方向推断求解． 【详解】解：在第分钟时，粒子所在的位置是， 在第分钟时，粒子所在的位置是， 在第分钟时，粒子所在的位置是， 在第分钟时，粒子所在的位置是， ， 在第分钟时，粒子所在的位置是， 在第2025分钟时，这个粒子所在位置的坐标是， 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，点，，，，且．点E是线段的中点，过点E作，若l与线段有公共点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先利用已知条件推导的位置特征，得到垂线的方程，再根据直线与线段有公共点的条件列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴． ∴B点纵坐标为， ∵A点纵坐标为， ∴A、B纵坐标相等， 即轴． ∵E是的中点，由中点坐标公式得E的横坐标为． ∵过点E作，轴， ∴轴， 即为直线． ∵C和D的纵坐标都为， ∴线段上的点的横坐标都在和之间． ∵与线段有公共点， ∴介于和之间， 当即时，， 解得：且， 即； 当即时，， 解得：且， 即； 综上所述，实数m的取值范围是或． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】点平移的坐标变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】解：点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得点的坐标为，即． 10．已知点，点，且轴，则m的值为_____． 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等，列出关于的方程求解，验证后即可得到结果. 【详解】解：点，点，且轴， 点与点的横坐标相等，即， 解得， 验证：当时，，点，两点横坐标相等，纵坐标不相等，即两点不重合，符合题意. 11．在北京这座古今交融的城市里，是感受其独特脉搏的最好方式之一．如图是小芸游览什刹海路线图，她分别在四个景点打卡留念．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 【答案】 【详解】解：根据、的坐标建立平面直角坐标系如下： 则点的坐标为． 12．在平面直角坐标系中，如图所示，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】过点作平行于轴的直线，交轴于，过作该直线的垂线，垂足为，根据已知得，，，进而，，，设，得方程组，求解即可得到答案． 【详解】 如图，过点作平行于轴的直线，交轴于，过作该直线的垂线，垂足为． ， 又，，， ， 又， ， ，， 设，由图可知在第四象限，因此， ，，，， 得到方程组：， 解方程组得：​， 点的坐标为． 13．已知点M的坐标为，点N的坐标为，且，将线段向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，结合平移时扫过的面积进行计算即可． 【详解】， ，， 则，． 将线段向上平移个单位长度，其扫过的面积为20， ， 解得， ， ． 14．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标规律探索，根据旋转的性质分别求出第时，点A的对应点的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴点A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点O顺时针转动， ∴，…， ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴点与点重合， ∴． 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，，，，点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形面积的计算，利用点的坐标求三角形面积是解题关键，设点的坐标为，则，根据题意可得，即，解之即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， ， ， 与的面积相等， ， ， 或， 点的坐标为或． 故答案为：或． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 【答案】 3 2 【分析】（1）当时，表示折线段上的点到直线的距离，当点与点重合时，点到直线的距离最大，即可得的最大值； （2）点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离，由不与点，重合，可得当时，无最大值，当点与点重合时，取最大值，即可得的最小值． 【详解】（1）解：当时，， 根据绝对值的意义可知，表示折线段上的点到直线的距离， ∴当点与点重合时，点到直线的距离最大， ∴当时，的最大值为， （2）解：∵，，， ∴点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离， ∵为折线段上的动点，且不与点，重合， ∴当时，无最大值， 当时，的最大值为，此时，点与点重合， ∴若存在最大值，则的最小值为． 三、解答题（共68分） 17．图是我校的平面示意图． (1)以大门所在位置为原点，画出平面直角坐标系； (2)在（1）的基础上，表示下列各点坐标：教学楼： ，图书馆： ，实验楼： ，操场： ； (3)若行政楼的位置坐标为，在图中标出它的位置． 【答案】(1)见详解 (2)教学楼，图书馆,实验楼,操场． (3)见详解 【分析】（1）依题意画出平面直角坐标系即可； （2）根据所建立的平面直角坐标系，写出各点坐标即可； （3）在图中标出点行政楼的位置即可． 【详解】（1）解：如图，以大门A所在位置为原点，建立平面直角坐标系如下： （2）解：写出各点坐标如下： 教学楼，图书馆，实验楼，操场． （3）解：点的位置如图所示， ． 18．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点的坐标为且轴，求点的坐标； (2)若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，以及点到坐标轴距离的含义． （1）关键是掌握平行于轴的直线上所有点的横坐标相等，据此列出关于的一元一次方程，求解后代入点的纵坐标表达式，即可得到点的坐标； （2）理解“点到两坐标轴的距离相等”等价于“横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值”，即，分两种情况去掉绝对值符号，解一元一次方程得到的值，再代入计算点的坐标． 【详解】（1）解：轴， 点与点的横坐标相等， 即，解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）解：点到两坐标轴的距离相等， ， 分两种情况讨论： ①当时，解得， 将代入点的坐标表达式得； ②当时，解得， 将代入点的坐标表达式得； 综上，点的坐标为或． 19．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，，求点A的坐标． 【答案】(1)30 (2)点A的坐标为 【分析】（1）把代入式子中进行计算，然后根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值即可解答； （2）根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算即可解答． 本题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 【详解】（1）解：当时， ，， ∴点A的坐标为， ∴，， ∴； （2）当时， ，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴点A的坐标为． 20．如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)写出图中点的坐标：_______； (2)若点关于轴对称的点是，写出点的坐标：_______； (3)的面积是_______； (4)已知，在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 【答案】(1)； (2)； (3)12； (4)或． 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标、等腰三角形的判定、三角形的面积等，掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征、等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （3）利用三角形的面积公式计算即可； （4）结合等腰三角形的判定、三线合一、勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （2）∵点关于轴对称的点是， ∴点的坐标为． 故答案为：． （3）解：∵点，点， ∴， ∵点， ∴点到直线的距离， ∴ 故答案为：． （4）如图， ①若点为等腰三角形的顶点，即， ∵， ∴或（舍）． ②若点为等腰三角形的顶点，， ∵如图点， ∴轴 ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． (1)求点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的坐标为或 (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）根据，可得点的纵坐标为4，再由可得点的横坐标为或5，进而可得点的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，轴，， 点的纵坐标为4，点的横坐标为或5 的坐标为或； （2）解：存在，理由如下： 由题意知点可能在直线上方的轴上或直线下方的轴上， 设点到直线的距离为， 则的面积， 即， 解得， 当点在直线上方的轴上时，则点的坐标为， 当点在直线下方的轴上时，则点的坐标为． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别与点，，对应，画出平移后的，则的面积为 ； (2)将平移，使得点，平移后的对应点，落在坐标轴上，点为内一点，则平移后点的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据平移的性质，平移前后图形全等，面积相等，利用割补法计算的面积即可； （2）分两种情况讨论：当点在轴上，点在轴上时，或当点在轴上，点在轴上时，分别确定平移规律，进而求解即可． 【详解】（1）解：的面积为：， 平移不改变图形的形状和大小， 的面积为； （2）解：由题意得：点，， 分情况讨论： 当点在轴上，点在轴上时， 点的横坐标变为，需向左平移个单位长度， 点的纵坐标变为，需向下平移个单位长度， 先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 的对应点的坐标为； 当点在轴上，点在轴上时， 点的纵坐标变为，需向下平移个单位长度， 点的横坐标变为，需向左平移个单位长度， 先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 的对应点的坐标为， 综上所述，平移后点的对应点的坐标为或． 23．平面直角坐标系中，有点，实数a，b，m满足以下两个等式： ， (1)当时，点P到x轴的距离为______； (2)若点P落在x轴上，求点P的坐标； (3)当时，求m的所有整数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出m的值，然后即可求出b的值，求出点P坐标即可解决问题； （2）根据坐标轴上点的特征，可知，据此可得m的值，进而得出a的值； （3）构建不等式组，求出m的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴点， ∴点P到x轴的距离为6； （2）解：∵点落在x轴上， ∴， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴满足条件的m的所有整数有， ∴m的所有整数的和为． 24．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点坐标为，连接． (1)若与坐标轴平行，则的长为； (2)若，，满足，作轴，垂足为，轴，垂足为． 写出点的横坐标（用含的式子表示），求四边形的面积； 连接，，，当的面积大于而小于时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)，；或 【分析】（）由与坐标轴平行，则的长为两点的纵坐标之差； （）先解方程组得到，则根据梯形的面积公式可计算出四边形的面积； 分类讨论：当，，则，解得；当，，，则，解得，而，则，故舍去；当，，，则，解得，于是得到的取值范围为或． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点坐标为，与坐标轴平行， ∴平行于轴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由方程组，得， ∵轴，垂足为，轴，垂足为， ∴，，如图， ∴四边形的面积， 当时， ∴ ， 又， ∴， ∴， 解得； 如图，当，， ∴ ， 又， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，故舍去； 如图，当，， ∴ ， 又， ∴， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 25．对于平面直角坐标系中的任意一点，称点为点的“互变点”． 例如：点为点的“互变点”． (1)若点为点的“互变点”，则点的坐标为______； (2)若点为点的“互变点”，求点的坐标； (3)已知点，，点为线段上一点，点为点的“互变点”，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．若点在长方形的内部（不含边界），求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据变换规则，进行变换计算，即可求解． （2）根据定义，列出方程组，解方程组即可求解． （3）根据题意设，．则，，根据点在长方形的内部（不含边界）得出不等式组，进而求得的范围． 【详解】（1）依题意的“互变点”为即 （2）由题可知：，． 联立方程组得 解得 ∴． （3）∵点，，点为线段上一点， 所以可设，．则， ∵， ∴． ∵点都在长方形的内部（不含边界）， ∴ 解得． 26．如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点．点在轴上，点在轴上． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向右运动，每秒运动个单位长度，同时动点从点出发向上运动，每秒运动个单位长度．运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或； (3)或 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， 又∵点在轴上 ； （2）解：，，， 平移到向左平移了，向下平移了 ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 解得：或 或； （3）解：， 不在内， 设， ∵动点从点出发向右运动，每秒运动个单位长度，同时动点从点出发向上运动，每秒运动个单位长度． ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，如图： ， ， ①， ， ∴ ②， 联立①②，解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $