第08讲 万有引力与航天（开普勒三定律、三个宇宙速度、卫星的发射和变轨、双星和多星模型、卫星的追及相遇）（暑假·培优讲义）新高三物理高考复习

第08讲 万有引力与航天（培优讲义） （开普勒三定律、三个宇宙速度、卫星的发射和变轨、双星和多星模型、卫星的追及相遇） 课标要点 1.了解开普勒行星运动三定律的基本内容，知道行星绕太阳运动的轨道、速度和周期的基本规律，理解开普勒第三定律中k的物理意义。 2.理解万有引力定律的内容、表达式及适用条件，知道引力常量G的测定及其意义，能运用万有引力定律分析天体运动问题（环绕速度、周期、向心加速度等）。 3.知道三个宇宙速度的含义，了解第一宇宙速度的推导方法，能分析卫星的发射、变轨、回收等过程中各物理量的变化规律。 1.通过对比开普勒行星运动定律与万有引力定律，理解“观测规律”与“理论解释”之间的关系——开普勒定律描述了行星“怎样运动”，万有引力定律解释了行星“为什么这样运动”，两者共同构成了天体运动的理论基础。 2.通过“中心天体模型”与“环绕天体模型”的建立，掌握万有引力提供向心力的核心思路，根据已知条件选择合适的表达式是解题关键。 3.通过卫星轨道参量随轨道半径变化的分析，掌握“半径决定论”——轨道半径 rr 是决定卫星运行参量的核心变量，v、ω、T、a均由r唯一确定（对圆轨道），形成越高越慢”的整体认知。 方法指导 考点01 开普勒三大定律 定 律 内 容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  ,是一个与行星无关的常量 【深化点拨】 1．开普勒行星运动定律的深入理解 （1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． （2）由开普勒第二定律可得，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． （3）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律． （4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关 【针对训练】2026年4月25日，我国“长征六号”运载火箭成功将巴基斯坦PRSC-EO3卫星送入预定轨道。若新发射卫星与另一颗在轨卫星分别在如图所示的椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ上沿逆时针方向运行，两轨道相切于近地点P，A、B为Ⅱ轨道上关于Ⅱ轨道长轴对称的两点。已知轨道Ⅰ、Ⅱ的长轴分别为、，两卫星运动的周期分别为、。则（    ） A． B． C．Ⅱ轨道卫星在A、B两点速度相同 D．在P点，Ⅰ轨道卫星的速度小于Ⅱ轨道卫星的速度 【答案】D 【详解】AB．由开普勒第三定律可知 可知半长轴越大，周期越大，则有，故AB错误； C．根据对称性可知，Ⅱ轨道卫星在A、B两点速度大小相等，但方向不同，故C错误； D．卫星从低轨道变轨到高轨道，需要在变轨处点火加速，所以在P点，Ⅰ轨道卫星的速度小于Ⅱ轨道卫星的速度，故D正确。 故选D。 考点02 万有引力定律 1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2. 表达式：F＝G 其中G叫做引力常量，。牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值。R为两质点间的距离 在天体之间的大尺度的问题的研究中，都适用万有引力定律，且把天体间的运动近似的看成匀速圆周运动。 注意：适用条件 ①适用于质点间的相互作用； ②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离； ③两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。 【深化点拨】 1．万有引力定律的理解 宏观性 质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一。 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零； 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G。 【针对训练】开普勒定律发现之后，人们开始更深入地思考：是什么原因使行星绕太阳运动？牛顿结合他提出的力和运动的概念认为行星绕太阳运动是因为太阳对它有引力。若把质量为的行星围绕质量为M的太阳的运动近似看作匀速圆周运动，行星离太阳的距离为，运用开普勒第三定律，则可推得（     ） A．行星受到太阳的引力为 B．行星受到太阳的引力为 C．行星绕太阳做匀速圆周运动时，受到太阳的引力处处相同 D．不同质量的行星受到太阳的引力大小不同，质量越大的行星受太阳的引力一定越大 【答案】B 【详解】AB．行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，可得 结合开普勒第三定律可得，故A错误，B正确； C．引力是矢量，行星在不同轨道位置受到的太阳引力方向均指向太阳，方向不同，因此引力不相同，故C错误； D．由可知引力F与距离r和行星的质量m有关；m越大，F不一定越大，故D错误。 故选B。 考点03 三大宇宙速度 1. 宇宙速度 （1） 第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度. （2）第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. （3）第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度. 归纳： 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙速度(环绕速度) 7.9 是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。 第二宇宙速度(脱离速度) 11.2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度(逃逸速度) 16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 【深化点拨】 1．第一宇宙速度推导 ①方法一： 由， ②方法二：由. 【技巧点拨】第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min. 2. 对第一宇宙速度的理解 1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度． 2.当卫星的发射速度v满足7.9 km/s<v<11.2 km/s时，卫星绕地球运行的轨道是椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上． 【针对训练】星下点监控可实时显示卫星的运行状态。卫星和地心的连线与地球表面的交点称为星下点，即卫星在地面上的投影点，如图甲所示。图乙是航天控制中心大屏幕上显示某气象卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹展开图，下方数值表示经度。已知卫星绕行方向如图甲所示。则下列说法中正确的是（     ） A．该气象卫星的轨道一定是圆形 B．该气象卫星线速度介于第一、二宇宙速度之间 C．该气象卫星的周期大于地球自转周期 D．该气象卫星受地球的引力一定大于静止卫星受地球的引力 【答案】A 【详解】A．由图乙可知，该气象卫星相邻两次经过赤道正上方所用的时间相等，所以该气象卫星的轨道是圆，故A正确； B．根据万有引力提供向心力有 解得 轨道半径越大线速度越小，第一宇宙速度是最大环绕速度，所以该气象卫星线速度应小于第一宇宙速度，故B错误； C．由图乙可知，卫星在赤道上的“星下点”的经度间隔为，说明地球每转动，卫星转动，可知气象卫星的角速度和地球的角速度之比为，根据可知周期之比为，故该气象卫星的周期小于地球自转周期，故C错误； D．因该卫星与地球静止卫星的质量关系未知，所以无法比较该气象卫星受地球的引力与静止卫星受地球的引力的大小关系，故D错误。 故选A。 考点04 同步卫星 同步卫星的理解和应用 1. 地球同步卫星 所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103 m/s， 同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着. 2. 倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。 3. 同步卫星的六个“一定” 【针对训练】（多选）木卫三和土卫六是太阳系第一、二大的卫星，两者的半径可视为相等。若木卫三和土卫六质量分布均匀，它们对同一物体的引力随物体到星球中心的距离r的变化图像如图所示。已知质量分布均匀的球壳对内部任意位置的物体的引力为零，木卫三的自转周期约是土卫六的2.2倍。下列说法正确的是（　　） A．木卫三可能全是水冰，土卫六可能是冰岩混合物 B．木卫三、土卫六的第一宇宙速度大小之比为 C．木卫三、土卫六的同步卫星轨道高度之比为 D．木卫三、土卫六的同步卫星加速度大小之比为 【答案】BD 【详解】A．水冰密度小于冰岩混合物密度，更大，因此木卫三不可能全是水冰，故A错误； B．星球总质量 两者半径相等，因此 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，由 得，因此： 故B正确； C．同步卫星周期等于星球自转周期，万有引力提供向心力： 得 已知，代入得： 开方得 这是轨道半径之比，而轨道高度之比，之比不等于之比 故C错误； D．同步卫星加速度，因此： 即 故D正确； 故选BD。 一、万有引力和重力的关系 如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为F=。 由于地球一直在自转，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个分力提供，根据力的分解可得万有引力的另一个分力就是重力mg。 根据以上的分析可得：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R； (2)在两极上：G＝mg0； (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 二、天体质量和密度的求解 1. 自力更生法：求解地球（中心天体）质量 解决思路：若不考虑地球（中心天体）自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球（中心天体）对物体的引力。 解决方法：mg＝G。 得到的结论：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球（中心天体）的质量。 知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。 2. 环绕天体法：计算天体的质量 解决思路：质量为m的行星绕太阳（中心天体）做匀速圆周运动时，行星与太阳（中心天体）间的万有引力充当向心力。 解决方法：＝mr。 得到的结论：m太＝，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳（中心天体）的质量。 三、卫星的变轨和相关物理量的比较 1. 卫星变轨：1→2→3 ①在1轨道Q点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，进入轨道2 ②在2轨道中，从Q点到P点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。 在2轨道P点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2运行回Q，从P到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。 ③在2轨道P点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将沿着3轨道运行，完成变轨操作 2. 各点物理量参数的关系 ①线速度大小： ②角速度关系： ③向心加速度关系： ④周期关系： ⑤能量关系： 四、双星模型和多星模型 1．双星模型 (1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示． (2)模型特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 . ②两颗星的周期及角速度都相同，即. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期：T＝2π. ⑥双星的总质量：m1＋m2＝. 2．三星模型 (1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行如图甲所示． 运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 (2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上。 三颗星体都绕三角形的中心做圆周运动，每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。 这里 。 三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等。 五、万有引力与航天中的追及相遇问题 1. 模型解读： 两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。 2. 模型分类： （1）从相距最近到相距最近 ①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 ②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 （2）从相距最近到相距最远 ①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。 ②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。 角度01 开普勒三定律 【拓展训练】如图所示，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星中心的连线单位时间扫过的面积。下列说法正确的是（     ） A．图中两阴影部分的面积相等 B．探测器在点的加速度小于在点的加速度 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的机械能变大 D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，在点需减速才能实现变轨 【答案】D 【详解】A．因为探测器在“调相轨道”与“停泊轨道”两个不同的轨道上运动，根据开普勒第二定律可知，图中两阴影部分的面积不相等，A错误； B．根据 可得 则探测器在点的加速度大于在点的加速度，B错误； CD．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器要在P点点火减速，做近心运动，则机械能变小，C错误，D正确。 故选D。 角度02 万有引力定律 【拓展训练】北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度高可靠定位、导航、授时服务。如图所示，a为北斗组网卫星中的极地卫星、b为组网中的地球静止卫星，c为赤道上随地球一起转动的物体。已知地球自转周期为T，地球半径为R，赤道上重力加速度为g，引力常量为G，则（     ） A．地球的质量为 B．b卫星距地面高度为 C．a、b、c的线速度大小关系为 D．a、b、c的周期大小关系为 【答案】B 【详解】A．对物体c，根据万有引力与重力的关系 解得地球质量，故A错误； B．设同步卫星距地面的高度为H，则有 解得HR，故B正确； C．根据，解得 因为a的轨道半径低于b的轨道半径，则有va＞vb，同步卫星和赤道上物体的周期相同，由，则有vb＞vc，综合以上有va＞vb＞vc，故C错误； D．由万有引力提供向心力，解得 因为a的轨道半径低于b的轨道半径，则有Tb＞Ta，即Tc＝Tb＞Ta，故D错误。 故选B。 角度03 三大宇宙速度 【拓展训练】2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。若火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比为，地球的质量为火星质量的9倍，火星的半径是地球半径的0.5倍，如图所示。根据以上信息可以得出（     ） A．火星与地球绕太阳公转的角速度之比为 B．火星与地球绕太阳公转的线速度之比为 C．火星与地球的第一宇宙速度之比为 D．下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之前 【答案】C 【详解】AB．火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力 整理得， 则火星与地球绕太阳公转的角速度之比为 火星与地球绕太阳公转的线速度之比为。故AB错误； C．由万有引力提供向心力 解得第一宇宙速度为 火星与地球的第一宇宙速度之比为。故C正确； D．由可得地球与火星公转周期之比 地球的周期为1年，可得火星的周期 设连续两次发生“火星冲日”的时间为t，有 解得 则下一次“火星冲日”一定出现在2026年1月16日之后，故D错误。 故选C。 角度04 同步卫星 【拓展训练】已知地球北极点的重力加速度为，赤道上的重力加速度。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为，已知万有引力常量为，则由以上信息可得出（　　） A． B．近地卫星的运行速度大于同步卫星的运行速度 C．地球自转的周期为 D．地球的平均密度为 【答案】B 【详解】A．北极点不随地球自转，万有引力全部提供重力，满足；赤道上万有引力一部分提供重力，一部分提供地球自转的向心力，满足，因此，即，故A错误； B．卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由得运行速度，轨道半径越大，越小。同步卫星轨道半径远大于近地卫星的轨道半径，因此近地卫星运行速度大于同步卫星的运行速度，故B正确； C．对赤道上的物体，向心力满足，解得地球自转周期，故C错误； D．地球质量，体积，平均密度，故D错误； 故选B。 角度05 天体质量和密度的求解 【拓展训练】截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是（    ） A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．根据已知条件，可估算地球的密度为 D．根据已知条件，可估算地球的质量为 【答案】D 【详解】A．开普勒第二定律的适用范围是同一绕转天体，只有同一颗卫星与地心的连线单位时间扫过的面积才相等，不同卫星不满足该规律，故A错误； B．万有引力提供卫星加速度，由 得 加速度与到地心距离的平方成反比，因此近地点、远地点加速度大小之比为，故B错误； C．对近地卫星设周期为，则 解得 又因为 所以地球的密度为 此结果是近地卫星的地球密度推导公式，要求卫星轨道半径等于地球半径，本题卫星为椭圆轨道，且未知地球半径，无法计算地球密度，故C错误； D．设卫星在半径为的圆形轨道上运行的周期为，根据 可得 该椭圆轨道的半长轴为 根据开普勒第三定律 代入半长轴表达式解得地球质量，故D正确。 故选D。 角度06 卫星的发射和变轨 【拓展训练】（多选）我国现有多款手机支持天通卫星通讯。“天通”卫星发射过程如图：先用火箭将卫星送上椭圆轨道1（、Q是远地点和近地点），随后变轨至圆轨道2，再变轨至同步圆轨道3。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相交于M、N两点。忽略卫星质量变化，下列说法正确的是（     ） A．卫星在轨道3上运动时处于平衡状态 B．卫星在轨道2上和轨道3上的运动周期均与地球自转周期相同 C．卫星在轨道1上通过P点时的加速度小于在轨道2上通过P点时的加速度 D．卫星在轨道1上P点的线速度小于在轨道3上的线速度 【答案】BD 【详解】A．卫星在轨道3上做匀速圆周运动，受到的万有引力提供向心力，合力不为0，不是平衡状态，故A错误； B．根据开普勒第三定律，卫星在轨道2上和轨道3上的轨道半径相等，则周期相等，而轨道3是同步轨道，则运动周期均与地球自转周期相同，故B正确； C．根据可知，卫星在轨道1上通过P点时的加速度等于在轨道2上通过P点时的加速度，故C错误； D．卫星在轨道1上经过P点需要加速才能变轨至轨道2，轨道2和轨道3的半径相同，则线速度大小相等，所以卫星在轨道1上P点的线速度小于在轨道3上的线速度，故D正确。 故选BD 角度07 双星和多星模型 【拓展训练】（多选）如图所示，中国“天眼”球面射电望远镜发现了一对脉冲双星，该双星质量分布均匀，由一颗脉冲星和一颗白矮星组成，双星、围绕中心点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为，双星间距为。为白矮星的卫星，围绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为，且。与之间的引力远大于与之间的引力，不考虑对的影响。已知白矮星的质量为，引力常量为，则（　　） A．双星的质量和为 B．卫星围绕做匀速圆周运动的半径为 C．卫星围绕的向心加速度大小为 D．、、三星相邻两次共线时间间隔为 【答案】BD 【详解】A．对脉冲星a进行受力分析，有 对白矮星b进行受力分析，有 其中 解得，故A错误； B．对卫星c进行受力分析，有 解得，故B正确； C．对卫星c进行受力分析有 解得，故C错误； D．设a、b、c三星相邻两次共线时间间隔为，则有 解得，故D正确。 故选BD。 角度08 卫星的追及相遇问题 【拓展训练】如图所示，两颗已发射的卫星A、B在同一轨道平面内绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻两者与地心连线夹角为，轨道半径分别为。已知引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是（　　） A．两卫星的线速度之比为 B．两卫星的加速度之比为 C．再经过时间，两卫星相距最近 D．两卫星经过相同的时间，卫星B与地心连线扫过的面积更大 【答案】C 【详解】AB．根据 可得 可知两卫星的线速度之比为 两卫星的加速度之比为，AB错误； C．根据可得， 两卫星相距最近时，则 解得再经过时间，C正确； D．根据，卫星与地心连线扫过的面积 可知经过相同的时间，卫星A与地心连线扫过的面积较大，D错误。 故选C。 1．已知某卫星绕地球做椭圆运动，在近地点所受的地球引力为其在地面附近的，在远地点所受的地球引力为其在地面附近的。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，该卫星的运动周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，对于地球表面的物体，由万有引力等于重力有 可得 由万有引力公式有 可知，近地点到焦点的距离为，远地点到焦点的距离为，则卫星椭圆轨道的半长轴为 设卫星在轨道半径为的圆周上做圆周运动的周期为，在椭圆轨道上的运动周期为，由开普勒第三定律有 由万有引力提供向心力有 联立解得 故选B。 2．离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【答案】B 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有 可得 则有 故选B。 3．发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点，如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（     ） A．在点所受地球引力比月球引力大 B．在点所受地球引力和月球引力相等 C．在点所受月球引力比地球引力大 D．在点所受地球引力比月球引力大 【答案】D 【详解】根据万有引力公式 ，结合位置和轨道性质分析： M点分析：M点距离地球更近、距离月球更远，且地球质量远大于月球质量，因此卫星在M点受到的地球引力大于月球引力； N点分析：N点距离月球更近、距离地球更远，轨道向月球一侧弯曲，说明合力指向月球，即卫星在N点受到的月球引力大于地球引力。 故选D。 4．郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设恒星半径为R，由题意得行星轨道半径r = nR 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得恒星质量 恒星为均匀球体，体积，平均密度，将r = nR代入得 故选C。 5．“土星环”是由绕土星运动的颗粒组成的带状薄圆环，图为拍摄的真实照片。已知土星的平均密度约为，引力常量，由照片信息估算位于“土星环”上的中间颗粒绕土星做圆周运动的周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设土星半径为 ，质量为 ，土星环上颗粒的轨道半径为，周期为 。颗粒绕土星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有 其中土星质量 联立解得周期 的表达式 由照片信息可得 代入数据解得 故选B。 6．月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为，地心与月心间距为，月球质量为，引力常量为，地表点背对月球，P、O和在同一直线上，如图所示，则点处质量为的海水所受月球引潮力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题图可知P点距月心的距离为，地心与月心间距为，月球质量为，根据万有引力公式结合月球引潮力的定义可得点处质量为的海水所受月球引潮力大小为 故选D。 7．如图所示，某行星对单个卫星表面最远点与最近点的单位质量物体的“引力差值”可近似为，其中为常量，为行星质量，为卫星球体半径，为行星中心到卫星中心的距离。两卫星P和Q的球体半径之比为，它们绕该行星做匀速圆周运动的周期之比为 ，该行星对卫星P、Q的“引力差值”分别为、，则为（     ） A．1∶4 B．1∶16 C．1∶32 D．1∶64 【答案】C 【详解】根据可得 又因为两卫星绕该行星做匀速圆周运动的周期之比为8：1，可得 根据“引力差值”公式，其中M和k相同，所以 故选C。 8．海王星的卫星海卫二绕海王星的公转周期与地球公转周期近似相等。若太阳与海王星的质量比为 ，定义地球与太阳间的距离为1个天文单位（1 AU），则海卫二公转轨道的半长轴约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】地球绕太阳公转：设地球公转周期为​，日地距离，太阳质量为​，则 海卫二绕海王星公转：设海卫二公转周期为​，轨道半长轴为​，海王星质量为，则 已知，且则 整理得 故 故选A。 空间科技 近年来，我国在空间科技领域取得了举世瞩目的成就，中国空间站全面建成并进入常态化运营，深空探测任务不断取得新突破。从航天器携带的核燃料电池，到空间站的轨道维持与调整，再到卫星在近地空间的电磁环境分析，无一不蕴含着丰富的物理学原理。 9．航天器中一种可能的铀核裂变方程为________。 A． B． C． D． 10．若某核反应发生前，所有参与反应物质的总静止质量为；反应完成后，所有生成物的总静止质量为。已知真空中的光速为，则该核反应过程中释放的核能________。 11．假设在某段时间内，某空间站轨道高度先后进行了两次自然衰减，第一次下降了小高度，第二次也下降了小高度。若这两次下降过程中，空间站引力势能的变化量绝对值分别为、，则二者的大小关系为________。 A． B． C． 12．某空间站绕地球做匀速圆周运动，其运动的轨道半径为，空间站自身质量为，则该空间站的动能为________。（已知地球质量为，引力常量为） 13．地球磁场会对运行在近地空间的带电物体产生影响。某人造地球卫星在赤道正上方自西向东飞行。若将该卫星视作一个高速运动的“正电子”（带正电荷），则在此位置其受到地球磁场力的方向为________。 A．向上 B．向下 C．向西 D．向东 【答案】9．B 10． 11．C 12． 13．A 【详解】9．根据电荷数守恒和质量数守恒可知，铀核裂变方程为 故选B。 10．根据爱因斯坦质能方程，核反应中亏损的质量转化为能量。质量亏损为 释放的核能为 11．轨道越低，离地心越近，引力越大。所以下降相同高度时，轨道越低，引力越大。根据功能关系可知，引力势能的变化量的绝对值等于引力做功的绝对值，因此第二次下降（轨道更低）的势能变化更大，即 故选C。 12．根据万有引力提供向心力可得 解得 则该空间站的动能为 13．地磁场方向：赤道处水平由南指向北。正电荷运动方向为自西向东。根据左手定则：磁感线穿手心，四指指向正电荷运动方向，大拇指方向即为受力方向，向上。 故选A。 1．“阿尔忒弥斯2号”载人飞船任务采用“八字形”自由返回轨道，该轨道的模型可做图示简化。飞船发射后，在离地球表面约的P点发动机第一次工作，使飞船进入离地最远点Q，形成的椭圆轨道Ⅰ。飞船再次回到近地点P时，发动机第二次工作，进入自由返回轨道Ⅱ，再借助月球引力改变航向，在环绕月球背面后沿对称的轨道返回。已知地球半径，地球质量，引力常量，同步卫星的轨道高度。下列说法正确的是（　　） A．飞船在椭圆轨道上运动的周期大于 B．飞船发动机第二次工作后的速度大于 C．飞船从Q点运动到P点的过程中动能减少 D．飞船分别沿轨道Ⅰ、Ⅱ经过P点的加速度大小相等 【答案】D 【详解】A．飞船在椭圆轨道Ⅰ运行的半长轴为 同步卫星轨道半径 根据开普勒第三定律 卫星绕地运动的轨道半长轴越小，周期越小，因此飞船在椭圆轨道的周期小于同步卫星周期，故A错误； B．是地球的第二宇宙速度，若飞船速度大于该值，会脱离地球引力，无法返回地球，因此“阿尔忒弥斯2号”发动机第二次工作后速度仍小于，故B错误； C．飞船从远地点Q运动到近地点P的过程中，地球万有引力做正功，由动能定理可知，飞船动能增加，故C错误； D．飞船的加速度由万有引力提供，满足 解得 沿不同轨道经过P点时，到地心的距离r相同，因此加速度大小相等，与轨道无关，故D正确。 故选D。 2．探索行星时经常使用的飞掠器，它沿着椭圆轨道运动，近地点几乎与行星表面相切。如图所示，行星中心为，半径为，飞掠器在点时速度大小为、方向与连线的夹角为，已知两点之间距离为，飞掠器只受行星的引力，则（     ） A．飞掠器的近地点为连线上的点 B．飞掠器的近地点为延长线上的点 C．飞掠器在近地点的速度大小为 D．飞掠器在近地点的速度大小为 【答案】C 【详解】AB．飞掠器在点时速度方向与连线的夹角为，且，说明速度既不垂直于PO也不平行于PO。即P点不是飞掠器轨道的远地点，PO所在直线与轨道的长轴不共线，所以飞掠器的近地点不在连线所在直线上，故AB错误； CD．设飞掠器在近地点的速度大小为，一段极短时间，根据开普勒第二定律有 解得，故C正确，D错误。 故选C。 3．地球和月球可视作一个双星系统，它们同时绕转它们连线上的点转动。同时在这个转动的平面内存在五个拉格朗日点，在这些点上的卫星能够在地球和月球的共同引力作用下也绕点转动，并且在转动过程中与地球和月球的相对位置保持不变。如图所示，在拉格朗日点L2处存在一个中继卫星；在拉格朗日点L4处存在一个监测卫星，与地球球心、月球球心的连线恰构成一个等边三角形。若地球的质量为月球的81倍，则下列说法正确的是（    ） A．地球球心与月球球心到点的距离之比为 B．监测卫星的运行周期小于中继卫星的运行周期 C．中继卫星是在月球和地球的共同吸引下做匀速圆周运动的 D．稳定运行时，监测卫星的加速度小于月球的加速度 【答案】C 【详解】A．由万有引力提供向心力，根据 即 所以地球球心与月球球心到点的距离之比为，故A错误； B．地球、月球以及在任一拉格朗日点上的卫星都具有相同的运行周期（这样才能保持不变的相对位置），监测卫星的运行周期等于中继卫星的运行周期，故B错误； C．中继卫星是在月球和地球的共同吸引下做匀速圆周运动，故C正确。 D．监测卫星到点的距离大于月球到点的距离，结合两者周期一致，因此监测卫星的加速度应大于月球的加速度，故D错误。 故选C。 4．如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从此时刻到下一次A、B相距最远，转过的角度差为π，即 根据题意知 根据开普勒第三定律，有 联立解得所经历的最短时间为 故选C。 5．2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射并成功与天宫空间站对接，这是中国载人航天工程第一次应急发射任务。已知空间站的轨道高度为（小于地球同步卫星的轨道高度），空间站环绕地球做匀速圆周运动的周期为，地球半径为，万有引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．空间站运行的线速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．空间站运行的周期大于地球的自转周期 C．地球的质量为 D．空间站做圆周运动的加速度大小为 【答案】D 【详解】A．第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的最大速度，所以空间站运行的线速度大小小于第一宇宙速度，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得 可知空间站的周期小于地球同步卫星的周期（地球的自转周期），故B错误； C．根据万有引力提供向心力 可得地球的质量为，故C错误； D．空间站做圆周运动的加速度大小为，故D正确。 故选D。 6．科学家通过引力波探测器观测到一个由两颗恒星组成的双星系统，它们围绕共同的中心做匀速圆周运动，科学家发现该双星系统的运动周期与两颗恒星的质量和距离之间存在某种关系。已知两颗恒星质量分别为和，它们之间的距离为，引力常量为。则关于该双星系统下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星所受的向心力大小相等 B．该双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比也越大 C．两颗恒星的运动周期与成反比，与成正比 D．研究发现该双星系统会通过引力波辐射损失能量，则该双星系统的距离L会逐渐减小，运动周期也会逐渐减小 【答案】AD 【详解】A．双星系统围绕共同的中心做匀速圆周运动，由双星之间的万有引力提供圆周运动的向心力，可知，两颗恒星所受的向心力大小相等，故A正确； B．双星圆周运动的角速度相等，根据， 解得 可知，双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比越小，故B错误； C．根据角速度与周期的关系有 由于双星系统围绕共同的中心做匀速圆周运动，则有 结合上述解得 可知，两颗恒星的运动周期与成正比，与成反比，故C错误； D．双星系统通过引力波辐射损失能量，导致轨道收缩，距离L减小，根据周期公式 可知L减小时T也减小，故D正确。 故选AD。 7．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则卫星在各轨道上正常运行时，以下说法正确的是（     ） A．卫星在轨道3上的速度小于在轨道1上的速度 B．卫星在轨道3上的P点的速度大于在轨道2上经过P点时的速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上运动的周期大于在轨道3上运动的周期 【答案】AB 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得 可知轨道半径越大线速度越小，则卫星在轨道3上的速度小于在轨道1上的速度，故A正确； B．卫星由轨道2要经过点火加速才可以变轨到轨道3，所以卫星在轨道3上经过P点的速度大于在轨道2上经过P点时的速度，故B正确； C．根据牛顿第二定律可得 解得 可知卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，故C错误； D．由图可知轨道3的轨道半径大于轨道2的半长轴，根据开普勒第三定律，可知卫星在轨道3上运动的周期大于在轨道2上运动的周期，故D错误。 故选AB。 8．某卫星在如图甲所示轨道之间变轨，轨道Ⅰ、轨道Ⅲ为圆形轨道，轨道Ⅱ是分别与两者相切于、点的椭圆轨道。卫星运动速度大小随时间变化的关系如图乙所示，、为运动图像上的两时刻。下列说法正确的是（    ） A．卫星在轨道Ⅰ上的速度小于轨道Ⅲ上的速度 B．卫星是由轨道Ⅲ变至轨道Ⅰ C．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上，与地心的连线相同时间内扫过的面积相等 D．卫星在时刻的机械能大于在时刻的机械能 【答案】BD 【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得 由于轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅲ的半径，所以卫星在轨道Ⅰ上的速度大于轨道Ⅲ上的速度，故A错误； B．卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速；由图乙可知，卫星两次变轨时的速度均减小，且最后卫星稳定运行的速度大于变轨前卫星稳定运行的速度，所以卫星是由轨道Ⅲ变至轨道Ⅰ，故B正确； C．根据开普勒第二定律可知，同一轨道上卫星与地心的连线相同时间内扫过的面积相等；但卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上，即在不同轨道上，卫星与地心的连线相同时间内扫过的面积不相等，故C错误； D．由于卫星是由轨道Ⅲ变至轨道Ⅰ，每次从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ的机械能，即卫星在时刻的机械能大于在时刻的机械能，故D正确。 故选BD。 9．中国计划于2028年前实施天问三号火星探测任务。假设天问三号火星探测器从地球发射后，由图（a）所示的A点沿地火转移轨道到C点，再依次进入图（b）所示的调相轨道和停泊轨道。已知地球、火星绕太阳做圆周运动的轨道半径分别为、，图（b）中阴影部分面积为探测器在不同轨道上运行时与火星中心连线在相同时间扫过的面积。则（　　） A．图（b）中两阴影部分的面积不相等 B．探测器从A点转移到C点的时间为年 C．探测器从调相轨道变到停泊轨道需要在P点加速 D．探测器在地火转移轨道上C点的速度大于地球绕太阳的速度 【答案】AB 【详解】A．相同时间内扫过的面积相等，是指绕同一中心天体运动且在同一轨道上的卫星，图（b）中阴影部分的面积为探测器在不同轨道上时相同时间扫过的面积，故图（b）中两阴影部分的面积不相等，故A正确； B．根据开普勒第三定律有 其中 可得地火转移轨道的周期为 故探测器在地火转移轨道上从A点转移到C点的时间年，故B正确； C．探测器从调相轨道变到停泊轨道是从高轨变到低轨，做向心运动，需要的向心力减小，故需要在P点减速，故C错误 D．地球、火星都绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，则有 解得 地球运行的轨道半径小于火星运行的轨道半径，故地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度；探测器在C点需要加速才能进入火星所在轨道，则探测器在转移轨道上C点的速度小于火星绕太阳的速度，所以地球绕太阳的速度大于探测器在地火转移轨道上C点的速度，故D错误。 故选AB。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 万有引力与航天（培优讲义） （开普勒三定律、三个宇宙速度、卫星的发射和变轨、双星和多星模型、卫星的追及相遇） 课标要点 1.了解开普勒行星运动三定律的基本内容，知道行星绕太阳运动的轨道、速度和周期的基本规律，理解开普勒第三定律中k的物理意义。 2.理解万有引力定律的内容、表达式及适用条件，知道引力常量G的测定及其意义，能运用万有引力定律分析天体运动问题（环绕速度、周期、向心加速度等）。 3.知道三个宇宙速度的含义，了解第一宇宙速度的推导方法，能分析卫星的发射、变轨、回收等过程中各物理量的变化规律。 1.通过对比开普勒行星运动定律与万有引力定律，理解“观测规律”与“理论解释”之间的关系——开普勒定律描述了行星“怎样运动”，万有引力定律解释了行星“为什么这样运动”，两者共同构成了天体运动的理论基础。 2.通过“中心天体模型”与“环绕天体模型”的建立，掌握万有引力提供向心力的核心思路，根据已知条件选择合适的表达式是解题关键。 3.通过卫星轨道参量随轨道半径变化的分析，掌握“半径决定论”——轨道半径 rr 是决定卫星运行参量的核心变量，v、ω、T、a均由r唯一确定（对圆轨道），形成越高越慢”的整体认知。 方法指导 考点01 开普勒三大定律 定 律 内 容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  ,是一个与行星无关的常量 【深化点拨】 1．开普勒行星运动定律的深入理解 （1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． （2）由开普勒第二定律可得，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． （3）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律． （4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关 【针对训练】2026年4月25日，我国“长征六号”运载火箭成功将巴基斯坦PRSC-EO3卫星送入预定轨道。若新发射卫星与另一颗在轨卫星分别在如图所示的椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ上沿逆时针方向运行，两轨道相切于近地点P，A、B为Ⅱ轨道上关于Ⅱ轨道长轴对称的两点。已知轨道Ⅰ、Ⅱ的长轴分别为、，两卫星运动的周期分别为、。则（    ） A． B． C．Ⅱ轨道卫星在A、B两点速度相同 D．在P点，Ⅰ轨道卫星的速度小于Ⅱ轨道卫星的速度 考点02 万有引力定律 1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2. 表达式：F＝G 其中G叫做引力常量，。牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值。R为两质点间的距离 在天体之间的大尺度的问题的研究中，都适用万有引力定律，且把天体间的运动近似的看成匀速圆周运动。 注意：适用条件 ①适用于质点间的相互作用； ②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离； ③两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。 【深化点拨】 1．万有引力定律的理解 宏观性 质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一。 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零； 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G。 【针对训练】开普勒定律发现之后，人们开始更深入地思考：是什么原因使行星绕太阳运动？牛顿结合他提出的力和运动的概念认为行星绕太阳运动是因为太阳对它有引力。若把质量为的行星围绕质量为M的太阳的运动近似看作匀速圆周运动，行星离太阳的距离为，运用开普勒第三定律，则可推得（     ） A．行星受到太阳的引力为 B．行星受到太阳的引力为 C．行星绕太阳做匀速圆周运动时，受到太阳的引力处处相同 D．不同质量的行星受到太阳的引力大小不同，质量越大的行星受太阳的引力一定越大 考点03 三大宇宙速度 1. 宇宙速度 （1） 第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度. （2）第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. （3）第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度. 归纳： 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙速度(环绕速度) 7.9 是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。 第二宇宙速度(脱离速度) 11.2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度(逃逸速度) 16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 【深化点拨】 1．第一宇宙速度推导 ①方法一： 由， ②方法二：由. 【技巧点拨】第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min. 2. 对第一宇宙速度的理解 1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度． 2.当卫星的发射速度v满足7.9 km/s<v<11.2 km/s时，卫星绕地球运行的轨道是椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上． 【针对训练】星下点监控可实时显示卫星的运行状态。卫星和地心的连线与地球表面的交点称为星下点，即卫星在地面上的投影点，如图甲所示。图乙是航天控制中心大屏幕上显示某气象卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹展开图，下方数值表示经度。已知卫星绕行方向如图甲所示。则下列说法中正确的是（     ） A．该气象卫星的轨道一定是圆形 B．该气象卫星线速度介于第一、二宇宙速度之间 C．该气象卫星的周期大于地球自转周期 D．该气象卫星受地球的引力一定大于静止卫星受地球的引力 考点04 同步卫星 同步卫星的理解和应用 1. 地球同步卫星 所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103 m/s， 同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着. 2. 倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。 3. 同步卫星的六个“一定” 【针对训练】（多选）木卫三和土卫六是太阳系第一、二大的卫星，两者的半径可视为相等。若木卫三和土卫六质量分布均匀，它们对同一物体的引力随物体到星球中心的距离r的变化图像如图所示。已知质量分布均匀的球壳对内部任意位置的物体的引力为零，木卫三的自转周期约是土卫六的2.2倍。下列说法正确的是（　　） A．木卫三可能全是水冰，土卫六可能是冰岩混合物 B．木卫三、土卫六的第一宇宙速度大小之比为 C．木卫三、土卫六的同步卫星轨道高度之比为 D．木卫三、土卫六的同步卫星加速度大小之比为 一、万有引力和重力的关系 如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为F=。 由于地球一直在自转，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个分力提供，根据力的分解可得万有引力的另一个分力就是重力mg。 根据以上的分析可得：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R； (2)在两极上：G＝mg0； (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 二、天体质量和密度的求解 1. 自力更生法：求解地球（中心天体）质量 解决思路：若不考虑地球（中心天体）自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球（中心天体）对物体的引力。 解决方法：mg＝G。 得到的结论：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球（中心天体）的质量。 知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。 2. 环绕天体法：计算天体的质量 解决思路：质量为m的行星绕太阳（中心天体）做匀速圆周运动时，行星与太阳（中心天体）间的万有引力充当向心力。 解决方法：＝mr。 得到的结论：m太＝，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳（中心天体）的质量。 三、卫星的变轨和相关物理量的比较 1. 卫星变轨：1→2→3 ①在1轨道Q点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，进入轨道2 ②在2轨道中，从Q点到P点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。 在2轨道P点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2运行回Q，从P到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。 ③在2轨道P点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将沿着3轨道运行，完成变轨操作 2. 各点物理量参数的关系 ①线速度大小： ②角速度关系： ③向心加速度关系： ④周期关系： ⑤能量关系： 四、双星模型和多星模型 1．双星模型 (1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示． (2)模型特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 . ②两颗星的周期及角速度都相同，即. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期：T＝2π. ⑥双星的总质量：m1＋m2＝. 2．三星模型 (1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行如图甲所示． 运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 (2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上。 三颗星体都绕三角形的中心做圆周运动，每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。 这里 。 三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等。 五、万有引力与航天中的追及相遇问题 1. 模型解读： 两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。 2. 模型分类： （1）从相距最近到相距最近 ①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 ②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 （2）从相距最近到相距最远 ①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。 ②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。 角度01 开普勒三定律 【拓展训练】如图所示，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星中心的连线单位时间扫过的面积。下列说法正确的是（     ） A．图中两阴影部分的面积相等 B．探测器在点的加速度小于在点的加速度 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的机械能变大 D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，在点需减速才能实现变轨 角度02 万有引力定律 【拓展训练】北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度高可靠定位、导航、授时服务。如图所示，a为北斗组网卫星中的极地卫星、b为组网中的地球静止卫星，c为赤道上随地球一起转动的物体。已知地球自转周期为T，地球半径为R，赤道上重力加速度为g，引力常量为G，则（     ） A．地球的质量为 B．b卫星距地面高度为 C．a、b、c的线速度大小关系为 D．a、b、c的周期大小关系为 角度03 三大宇宙速度 【拓展训练】2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。若火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比为，地球的质量为火星质量的9倍，火星的半径是地球半径的0.5倍，如图所示。根据以上信息可以得出（     ） A．火星与地球绕太阳公转的角速度之比为 B．火星与地球绕太阳公转的线速度之比为 C．火星与地球的第一宇宙速度之比为 D．下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之前 角度04 同步卫星 【拓展训练】已知地球北极点的重力加速度为，赤道上的重力加速度。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为，已知万有引力常量为，则由以上信息可得出（　　） A． B．近地卫星的运行速度大于同步卫星的运行速度 C．地球自转的周期为 D．地球的平均密度为 角度05 天体质量和密度的求解 【拓展训练】截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是（    ） A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．根据已知条件，可估算地球的密度为 D．根据已知条件，可估算地球的质量为 角度06 卫星的发射和变轨 【拓展训练】（多选）我国现有多款手机支持天通卫星通讯。“天通”卫星发射过程如图：先用火箭将卫星送上椭圆轨道1（、Q是远地点和近地点），随后变轨至圆轨道2，再变轨至同步圆轨道3。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相交于M、N两点。忽略卫星质量变化，下列说法正确的是（     ） A．卫星在轨道3上运动时处于平衡状态 B．卫星在轨道2上和轨道3上的运动周期均与地球自转周期相同 C．卫星在轨道1上通过P点时的加速度小于在轨道2上通过P点时的加速度 D．卫星在轨道1上P点的线速度小于在轨道3上的线速度 角度07 双星和多星模型 【拓展训练】（多选）如图所示，中国“天眼”球面射电望远镜发现了一对脉冲双星，该双星质量分布均匀，由一颗脉冲星和一颗白矮星组成，双星、围绕中心点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为，双星间距为。为白矮星的卫星，围绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为，且。与之间的引力远大于与之间的引力，不考虑对的影响。已知白矮星的质量为，引力常量为，则（　　） A．双星的质量和为 B．卫星围绕做匀速圆周运动的半径为 C．卫星围绕的向心加速度大小为 D．、、三星相邻两次共线时间间隔为 角度08 卫星的追及相遇问题 【拓展训练】如图所示，两颗已发射的卫星A、B在同一轨道平面内绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻两者与地心连线夹角为，轨道半径分别为。已知引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是（　　） A．两卫星的线速度之比为 B．两卫星的加速度之比为 C．再经过时间，两卫星相距最近 D．两卫星经过相同的时间，卫星B与地心连线扫过的面积更大 1．已知某卫星绕地球做椭圆运动，在近地点所受的地球引力为其在地面附近的，在远地点所受的地球引力为其在地面附近的。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，该卫星的运动周期为（     ） A． B． C． D． 2．离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 3．发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点，如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（     ） A．在点所受地球引力比月球引力大 B．在点所受地球引力和月球引力相等 C．在点所受月球引力比地球引力大 D．在点所受地球引力比月球引力大 4．郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 5．“土星环”是由绕土星运动的颗粒组成的带状薄圆环，图为拍摄的真实照片。已知土星的平均密度约为，引力常量，由照片信息估算位于“土星环”上的中间颗粒绕土星做圆周运动的周期是（     ） A． B． C． D． 6．月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为，地心与月心间距为，月球质量为，引力常量为，地表点背对月球，P、O和在同一直线上，如图所示，则点处质量为的海水所受月球引潮力大小为（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，某行星对单个卫星表面最远点与最近点的单位质量物体的“引力差值”可近似为，其中为常量，为行星质量，为卫星球体半径，为行星中心到卫星中心的距离。两卫星P和Q的球体半径之比为，它们绕该行星做匀速圆周运动的周期之比为 ，该行星对卫星P、Q的“引力差值”分别为、，则为（     ） A．1∶4 B．1∶16 C．1∶32 D．1∶64 8．海王星的卫星海卫二绕海王星的公转周期与地球公转周期近似相等。若太阳与海王星的质量比为 ，定义地球与太阳间的距离为1个天文单位（1 AU），则海卫二公转轨道的半长轴约为（     ） A． B． C． D． 空间科技 近年来，我国在空间科技领域取得了举世瞩目的成就，中国空间站全面建成并进入常态化运营，深空探测任务不断取得新突破。从航天器携带的核燃料电池，到空间站的轨道维持与调整，再到卫星在近地空间的电磁环境分析，无一不蕴含着丰富的物理学原理。 9．航天器中一种可能的铀核裂变方程为________。 A． B． C． D． 10．若某核反应发生前，所有参与反应物质的总静止质量为；反应完成后，所有生成物的总静止质量为。已知真空中的光速为，则该核反应过程中释放的核能________。 11．假设在某段时间内，某空间站轨道高度先后进行了两次自然衰减，第一次下降了小高度，第二次也下降了小高度。若这两次下降过程中，空间站引力势能的变化量绝对值分别为、，则二者的大小关系为________。 A． B． C． 12．某空间站绕地球做匀速圆周运动，其运动的轨道半径为，空间站自身质量为，则该空间站的动能为________。（已知地球质量为，引力常量为） 13．地球磁场会对运行在近地空间的带电物体产生影响。某人造地球卫星在赤道正上方自西向东飞行。若将该卫星视作一个高速运动的“正电子”（带正电荷），则在此位置其受到地球磁场力的方向为________。 A．向上 B．向下 C．向西 D．向东 1．“阿尔忒弥斯2号”载人飞船任务采用“八字形”自由返回轨道，该轨道的模型可做图示简化。飞船发射后，在离地球表面约的P点发动机第一次工作，使飞船进入离地最远点Q，形成的椭圆轨道Ⅰ。飞船再次回到近地点P时，发动机第二次工作，进入自由返回轨道Ⅱ，再借助月球引力改变航向，在环绕月球背面后沿对称的轨道返回。已知地球半径，地球质量，引力常量，同步卫星的轨道高度。下列说法正确的是（　　） A．飞船在椭圆轨道上运动的周期大于 B．飞船发动机第二次工作后的速度大于 C．飞船从Q点运动到P点的过程中动能减少 D．飞船分别沿轨道Ⅰ、Ⅱ经过P点的加速度大小相等 2．探索行星时经常使用的飞掠器，它沿着椭圆轨道运动，近地点几乎与行星表面相切。如图所示，行星中心为，半径为，飞掠器在点时速度大小为、方向与连线的夹角为，已知两点之间距离为，飞掠器只受行星的引力，则（     ） A．飞掠器的近地点为连线上的点 B．飞掠器的近地点为延长线上的点 C．飞掠器在近地点的速度大小为 D．飞掠器在近地点的速度大小为 3．地球和月球可视作一个双星系统，它们同时绕转它们连线上的点转动。同时在这个转动的平面内存在五个拉格朗日点，在这些点上的卫星能够在地球和月球的共同引力作用下也绕点转动，并且在转动过程中与地球和月球的相对位置保持不变。如图所示，在拉格朗日点L2处存在一个中继卫星；在拉格朗日点L4处存在一个监测卫星，与地球球心、月球球心的连线恰构成一个等边三角形。若地球的质量为月球的81倍，则下列说法正确的是（    ） A．地球球心与月球球心到点的距离之比为 B．监测卫星的运行周期小于中继卫星的运行周期 C．中继卫星是在月球和地球的共同吸引下做匀速圆周运动的 D．稳定运行时，监测卫星的加速度小于月球的加速度 4．如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（     ） A． B． C． D． 5．2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射并成功与天宫空间站对接，这是中国载人航天工程第一次应急发射任务。已知空间站的轨道高度为（小于地球同步卫星的轨道高度），空间站环绕地球做匀速圆周运动的周期为，地球半径为，万有引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．空间站运行的线速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．空间站运行的周期大于地球的自转周期 C．地球的质量为 D．空间站做圆周运动的加速度大小为 6．科学家通过引力波探测器观测到一个由两颗恒星组成的双星系统，它们围绕共同的中心做匀速圆周运动，科学家发现该双星系统的运动周期与两颗恒星的质量和距离之间存在某种关系。已知两颗恒星质量分别为和，它们之间的距离为，引力常量为。则关于该双星系统下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星所受的向心力大小相等 B．该双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比也越大 C．两颗恒星的运动周期与成反比，与成正比 D．研究发现该双星系统会通过引力波辐射损失能量，则该双星系统的距离L会逐渐减小，运动周期也会逐渐减小 7．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则卫星在各轨道上正常运行时，以下说法正确的是（     ） A．卫星在轨道3上的速度小于在轨道1上的速度 B．卫星在轨道3上的P点的速度大于在轨道2上经过P点时的速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上运动的周期大于在轨道3上运动的周期 8．某卫星在如图甲所示轨道之间变轨，轨道Ⅰ、轨道Ⅲ为圆形轨道，轨道Ⅱ是分别与两者相切于、点的椭圆轨道。卫星运动速度大小随时间变化的关系如图乙所示，、为运动图像上的两时刻。下列说法正确的是（    ） A．卫星在轨道Ⅰ上的速度小于轨道Ⅲ上的速度 B．卫星是由轨道Ⅲ变至轨道Ⅰ C．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上，与地心的连线相同时间内扫过的面积相等 D．卫星在时刻的机械能大于在时刻的机械能 9．中国计划于2028年前实施天问三号火星探测任务。假设天问三号火星探测器从地球发射后，由图（a）所示的A点沿地火转移轨道到C点，再依次进入图（b）所示的调相轨道和停泊轨道。已知地球、火星绕太阳做圆周运动的轨道半径分别为、，图（b）中阴影部分面积为探测器在不同轨道上运行时与火星中心连线在相同时间扫过的面积。则（　　） A．图（b）中两阴影部分的面积不相等 B．探测器从A点转移到C点的时间为年 C．探测器从调相轨道变到停泊轨道需要在P点加速 D．探测器在地火转移轨道上C点的速度大于地球绕太阳的速度 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $