专题15 排列组合、二项式定理、计数原理（10年汇编）（上海专用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编2017-2026年上海高考真题及模拟题，聚焦计数原理、排列组合、二项式定理三大考点，呈现从基础计算到跨知识综合应用的命题演变 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|约40题|计数原理（2026空间几何体路径）、排列组合（2025概率综合）、二项式定理（2026系数列新定义）|基础题（如2026选3人演讲）与创新题（新定义解答题）梯度分布| |解答题|5题|融合概率统计（2025身高茎叶图）、不等式（2026二项式系数最值）|体现2023年后多知识点综合趋势，强调逻辑建模与推理能力|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题15排列组合、二项式定理、计数原理 10年真题1年模拟 十年真题分类园 @ 考点01排列组合 1.6 2.329 3.210.5 3 4.7 5.23 1 6.5 7.3 8.(1)甲组第60百分位数为173厘米，乙组第60百分位数为166.5厘米； 7 2)120 (3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 17 9.(①45 (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差1427.27克2，平均数285.4克，预估平均质量为287.69克 考点02二项式定理 1.10 2.18 3.80 4.1 1/3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.10 6.15 7.49 8.17 9.10 10.66 11.20 12.15 13.21 @ 考点03计数原理 1.288 2.9 3.24 4.180 一年摸拟练测园 一、填空题 1.0 2.-30 3.7 4.10 5.-40 19 7.0.706 1 8.4 9.-35 1 10.2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.3 12.-220 13.9 4 2 15.8 16.80 17.64 18.15 19.160 20.240 21.0 22.10 23.48 24.12 313 专题15 排列组合、二项式定理、计数原理 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 计数原理（分类加法、分步乘法） 2017-2026 年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2024-2026 年均有基础填空 / 单选题，2023 年考查解答题基础问，2017-2022 年年均有高频考查 基础题核心考查分类加法、分步乘法计数原理的直接应用、分步方案数求解，难度较低，为必拿分考点；核心变化为 2023 年起结合新定义概念、几何图形场景、概率统计综合考查，2026 年创新结合空间几何体中点的路径问题考查，对分类讨论与逻辑建模能力要求提升 考点 02 排列组合 2018-2026 年连续考查，题型以填空题、解答题为主；2026 年考查填空压轴题，2025 年考查 3 问概率综合解答题，2018-2024 年均有高频基础题 基础题考查排列数、组合数公式应用、简单排队 / 分组问题求解，难度较低；核心变化为 2025 年起大量结合概率统计、数列通项、不等式求解综合考查，2026 年首次以本考点为核心命制新定义填空压轴题，从基础计算转向多知识点融合的综合推理，难度显著提升 考点 03 二项式定理 2017-2026 年高频考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2026 年首次考查 3 问新定义解答题，2025、2023、2020、2019、2018 年均有填空题，2026 年同时考查填空与解答压轴题 基础题考查二项式展开式通项公式、指定项系数、二项式系数性质，难度较低；核心变化极为显著：2026 年新增新定义 “二项式系数列”，融合不等式恒成立、系数最值、充要条件证明综合考查，近年大量结合函数单调性、数列求和、概率分布综合考查，从基础公式应用转向多知识点融合的逻辑推理，综合性与难度大幅提升 考点01 排列组合 1．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 2．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 3．（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________． 4．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 5．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合________ A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 7点8点 8点9点 9点10点 10点11点 11点12点 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟 6．（2018·上海·高考真题）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示） 7．（2017·上海·高考真题）若排列数，则________ 8．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 9．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 考点02 二项式定理 1．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 2．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 3．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________． 4．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 5．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 6．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______. 7．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为______. 8．（2023·上海·高考真题）设，则________________． 9．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 10．（2022·上海·高考真题）在的展开式中，含项的系数为________ 11．（2021·上海·高考真题）的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则的系数为______. 12．（2019·上海·高考真题）在的二项展开式中，常数项的值为__________ 13．（2018·上海·高考真题）在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 考点03 计数原理 1．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 2．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 3．（2019·上海·高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示） 4．（2020·上海·高考真题）从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况. 一、填空题 1．（2026·上海·三模）若的展开式中的常数项是________． 2．（2026·上海·三模）在的展开式中，项的系数为________． 3．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 4．（2026·上海·三模）已知为正整数且，则的值为___________ 5．（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 6．（2026·上海·三模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________． 7．（2026·上海黄浦·三模）某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001） 8．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 9．（2026·上海·三模）二项式的展开式中，系数为______． 10．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 11．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 12．（2026·上海·三模）若，则的展开式中含项的系数为__________. 13．（2026·上海长宁·二模）将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 14．（2026·上海黄浦·二模）某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______． 15．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 16．（2026·上海黄浦·三模）已知，则________. 17．（2026·上海普陀·二模）设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达） 18．（2026·上海静安·二模）在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答） 19．（2026·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为______. 20．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 21．（2026·上海闵行·二模）若，则______. 22．（2026·上海奉贤·二模）在的展开式中，的系数为___________． 23．（2026·上海嘉定·二模）由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 24．（2026·上海金山·二模）若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 排列组合、二项式定理、计数原理 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 计数原理（分类加法、分步乘法） 2017-2026 年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2024-2026 年均有基础填空 / 单选题，2023 年考查解答题基础问，2017-2022 年年均有高频考查 基础题核心考查分类加法、分步乘法计数原理的直接应用、分步方案数求解，难度较低，为必拿分考点；核心变化为 2023 年起结合新定义概念、几何图形场景、概率统计综合考查，2026 年创新结合空间几何体中点的路径问题考查，对分类讨论与逻辑建模能力要求提升 考点 02 排列组合 2018-2026 年连续考查，题型以填空题、解答题为主；2026 年考查填空压轴题，2025 年考查 3 问概率综合解答题，2018-2024 年均有高频基础题 基础题考查排列数、组合数公式应用、简单排队 / 分组问题求解，难度较低；核心变化为 2025 年起大量结合概率统计、数列通项、不等式求解综合考查，2026 年首次以本考点为核心命制新定义填空压轴题，从基础计算转向多知识点融合的综合推理，难度显著提升 考点 03 二项式定理 2017-2026 年高频考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2026 年首次考查 3 问新定义解答题，2025、2023、2020、2019、2018 年均有填空题，2026 年同时考查填空与解答压轴题 基础题考查二项式展开式通项公式、指定项系数、二项式系数性质，难度较低；核心变化极为显著：2026 年新增新定义 “二项式系数列”，融合不等式恒成立、系数最值、充要条件证明综合考查，近年大量结合函数单调性、数列求和、概率分布综合考查，从基础公式应用转向多知识点融合的逻辑推理，综合性与难度大幅提升 考点01 排列组合 1．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 【答案】6 【分析】结合组合知识求解即可. 【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可， 则一共有种选法. 故答案为：6. 2．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 【答案】329 【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可. 【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数. 先研究集合中无重复数字的三位偶数； （1）若个位为0，这样的偶数有个； （2）若个位不为0，这样的偶数有个； 所以集合元素个数最大值为个． 故答案为：329 3．（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________． 【答案】/0.5 【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率， 故答案为： 4．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 【答案】 【分析】 由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果． 【详解】 解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为＝＝， 故答案为：． 5．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合________ A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 7点8点 8点9点 9点10点 10点11点 11点12点 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟 【答案】 【分析】根据题意，可以判定选择任意3种及其以上否是符合要求的，只是在选择两种的情况下，有些是达不到要求的，利用组合求得总数，减去不合要求的种数即可. 【详解】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，的组 合是不符题意的，∴, 故答案为：23. 6．（2018·上海·高考真题）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】总的情况为种，符合题意的有5、2、2和5、3、1两种情况， ∴概率为, 故答案为： 7．（2017·上海·高考真题）若排列数，则________ 【答案】3 【详解】 由，所以，解得. 8．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 【答案】(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米； (2)； (3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可； （2）根据组合公式和古典概率公式计算即可； （3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）. 【详解】（1）甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． （2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件， . （3）， 要使两组平均身高都增大， 则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 9．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】(1) (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差克，平均数克，预估平均质量为克 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； （2）因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； （3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 考点02 二项式定理 1．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】 【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 2．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 3．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【分析】利用通项公式求解可得. 【详解】由通项公式， 令，得， 可得项的系数为. 故答案为：. 4．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 【答案】1 【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解. 【详解】展开式的通项为，令解得，∴． ∴． 故答案为：1 5．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 6．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______. 【答案】15 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果. 【详解】 展开式中令的项为， 所以 展开式中的系数为15. 故答案为：15 7．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为______. 【答案】49 【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，即可求出答案. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， ， ，若，则为奇数， 此时， ，又为奇数，的最大值为49. 故答案为：49. 8．（2023·上海·高考真题）设，则________________． 【答案】17 【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和的系数即可. 【详解】二项式 展开式的通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以， 故答案为：17 9．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 【答案】10 【分析】先写出二项展开式的通项公式，令 得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可. 【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ； 又的系数是常数项的5倍，所以，解得 . 故答案为：10 10．（2022·上海·高考真题）在的展开式中，含项的系数为________ 【答案】 【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，可得，因此，展开式中含项的系数为. 故答案为：. 11．（2021·上海·高考真题）的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则的系数为______. 【答案】 【分析】根据已知条件求出的值，利用二项式定理可求得的系数. 【详解】因为的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则， 故的二项展开式的通项为， 由可得，故的系数为. 故答案为：. 12．（2019·上海·高考真题）在的二项展开式中，常数项的值为__________ 【答案】15 【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为： 当时， 常数项为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 13．（2018·上海·高考真题）在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 【答案】 【分析】根据二项式的展开式，求出指定项的系数. 【详解】展开式的第项为， 则当时，，所以项的系数为21. 故答案为：21. 考点03 计数原理 1．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 2．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 【答案】9 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】因为空间中有三个点，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；    第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的; 不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解. 3．（2019·上海·高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示） 【答案】24 【分析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果. 【详解】在天里，连续天的情况，一共有种 剩下的人全排列： 故一共有：种 【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素. 4．（2020·上海·高考真题）从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况. 【答案】180 【分析】先从人中选出4人，再考虑限制条件，进行计算即可. 【详解】按照先选再排的方法可知共有种方法. 故答案为：180 【点睛】本题考查组合问题的计算，属基础题. 一、填空题 1．（2026·上海·三模）若的展开式中的常数项是________． 【答案】 【详解】因为展开式的通项为 ， 的幂指数为 ，令其为0得，非整数，故常数项不存在，系数为0. 2．（2026·上海·三模）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【详解】表示5个相乘， 要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项， 所以项的系数为. 3．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 【答案】7 【详解】 . 所以被8除所得的余数为7. 4．（2026·上海·三模）已知为正整数且，则的值为___________ 【答案】10 【分析】根据组合数的性质直接求解即可. 【详解】因为为正整数且，所以, 由组合数的性质可知，由于，故时，， 所以的值为. 5．（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 【答案】 【详解】当时，，所以. 展开式中，的系数为. 6．（2026·上海·三模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________． 【答案】 【分析】先求出从12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果． 【详解】从12人中选6人，有种； 由题意，当6人来自除高一（3）班、高一（7）班以外的8个班时，有种； 当6人有1人来自高一（3）班或高一（7）班，其余5人来自另外的8个班时，有种； 当6人有1人来自高一（3）班、1人来自高一（7）班，其余4人来自另外的8个班时，有种， 故共有种． ∴这6名主力队员来自不同的班级的概率为. 7．（2026·上海黄浦·三模）某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001） 【答案】0.706 【分析】先计算全班所有学生生日互不相同的概率，再用对立事件概率关系计算即可. 【详解】设全班30名学生生日全部互不相同为事件A，所以， 所以全班30名学生中至少有2名学生在同一天出生的概率为 8．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 【答案】 【分析】先计算所有满足每个家庭至少1人的总分配方法数，再计算甲恰好被安排在A家庭的分配方法数，二者的比值即为所求概率. 【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种. 志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况： ① A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种； ② A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种. 因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种. 故所求概率为. 9．（2026·上海·三模）二项式的展开式中，系数为______． 【答案】 【详解】展开式通项公式为，且为整数. 令，则， 则系数为. 10．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性、二项分布及组合数的性质得与同分布，与同分布，进而有与同分布，得，利用对称性求概率和. 【详解】由，则与同分布， 由，则， 显然，即与同分布， 随机变量X，Y相互独立，所以与同分布， 则，即的概率分布关于对称， 其中为连续性随机变量，则为连续型随机变量，故， 所以. 11．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 【答案】 【分析】用排列数公式计算总情况数，根据甲乙分别在两端计算甲和乙不相邻的情况数，再由古典概型概率公式求解概率. 【详解】3人全排列，总的基本事件数为种， 若3人排成一排，甲乙不相邻，则甲乙分别在两端，第三个人在中间，甲乙可交换顺序，共种符合条件的排列， 所以甲和乙不相邻的概率为：. 12．（2026·上海·三模）若，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】-220 【详解】因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 13．（2026·上海长宁·二模）将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 【答案】 【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得. 【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种； 要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种. 由古典概型概率公式，可得概率为：. 14．（2026·上海黄浦·二模）某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______． 【答案】 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数可得，结合对立事件概率公式求解. 【详解】设“社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动”为事件A， 则事件为社长与副社长两人均不参加联谊活动， 则，可得， 所以社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为. 15．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解. 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 16．（2026·上海黄浦·三模）已知，则________. 【答案】80 【详解】由， 当时，，当时，， 所以 17．（2026·上海普陀·二模）设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达） 【答案】 【分析】由展开式中的常数项是，求得，代入原式，令，即可得答案. 【详解】因为的展开式的通项为：， 又因为展开式中常数项是， 令，得， 所以，解得， 所以，即为， 在中令， 得所以项系数和为. 18．（2026·上海静安·二模）在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】15 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项展开式的通项公式为. 令，解得，则. 故的系数为15. 19．（2026·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为______. 【答案】160 【分析】利用二项式定理展开式求解即可. 【详解】由二项式定理可知展开式通项为， 令，得，此时. 所以常数值为160. 20．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【分析】利用相邻问题及不相邻问题列式求解. 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 21．（2026·上海闵行·二模）若，则______. 【答案】 【详解】由题意得， 令，得， 令，得， 则. 22．（2026·上海奉贤·二模）在的展开式中，的系数为___________． 【答案】10 【分析】由二项式定理写出展开式通项，求含的项即可知其系数. 【详解】由题设，展开式通项公式为， 当时，， ∴的系数为10. 故答案为：10. 23．（2026·上海嘉定·二模）由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 【答案】48 【分析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案. 【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法， 再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法， 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是. 故答案为：48. 24．（2026·上海金山·二模）若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 【答案】12 【详解】先安排甲的位置，有种排法； 再安排其余3人的位置，有种排法. 根据分步乘法计数原理，满足条件的排法有种. / 学科网（北京）股份有限公司 $