专题13 数列（10年汇编）（上海专用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合2017-2026年上海高考数列真题及模拟题，按基本量计算、递推与前n项和、综合应用分类，覆盖基础到压轴题，体现命题规律与创新趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/填空|约25题|等差等比通项、前n项和、参数范围（如2026年无穷等比闭区间问题）|基础题重传统考点，新增极限存在条件、举反例辨析| |解答题|约11题|新定义（接近数列）、跨学科融合（三角/导数）、存在性证明（如2025年三角形三边构成问题）|压轴题突出创新载体，符合上海高考“分层命题、能力立意”趋势|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13数列 10年真题1年模拟 十年真题分类园 @ 考点01数列基本量计算 1.C 3.54 1 4.3 5.（0,4) 6.9≥2 7.（-4,0)0(0,4) 8.21 9.(1)4=1 （2)4=4,=4,=0,4=2a,或4=号，经枪验，4=受： 42 号-导或4=-%=号（含），4=4 4； 28,或0，=4=异（合），片4= 8: 4=受治，或4==受（舍），4%： 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 综上，a、a、a成等比数列，公比为4； 21 (3)64 |2-3=1,|5-3=2,11-3=2 10.(1)对于第一个数列有 ，满足题意，该数列满足性质尸 3-4=1,|2-4=2,15-4=1 p 对于第二个数列有 不满足题意，该数列不满足性质 (2)9∈(-0，-2]U(0,+o) (3)设4P,pe3,4m-3,m-2} 为4-44-a…a-a.,故4-a,1 因 所以”可以取P一或者P+, 若4=P.a=0-,则4=p+1, 救a=p+2或=p-2(合，因为4，-a4>ha). 所以4=p-2c合，因为4-a小>4-a) 若8=p.4=p+1 则%p1 故8，=p+2(合，因为4aa),或0=P-2 所以4=p+2(合，因为-a>aa) 所以Pe位4，m-3m-2乃均不能同时使a,私，}都具有性质P 当=l时，即有-a54-45…5a.-4 故4≤as…sa。 a2=2,a3=3,…,am=m 故 故有数列a,}。12,3.,m-山m满足愿意 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当=2时.则41且≤4-2≤≤0-2 a3=3,…,am=m 且 故 故有数列a,}21.3m-1m满足腿高 当P=m ， a1-a2≤a-a3≤…≤41-an 放%≥42…20 a2=m-1,a3=m-2,…,am=1 ,故 故有数列a}:%m-1…32 满足题意， 当P=m- 2=m1≤m-1-a3≤…≤m-1-anm 时，则 且 故9=m-2,0.=1 故有数列 an}m-1,m,m-2,m-3,…3,2,1 满足题意 故满足题意的数列只有上面四种。 考点02数列递推公式与前n项和 1.C 2.D 3.B 4.12 5.189 6.98 7 1.8 8.14 9.2 10.(1)7或9： (2)因为4,44成等差数列，所以d=2,a.=2n-1∈[l,8],n∈N) 所以%=24-Q=30-4<30 318 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 逆命题9：若 .0,<30 1,2…8 为等差数列是假命题，举例： a1=1,42=3,a3=5, 则 a4=7,a5=9,a6=11,a1=13,ag=2a,-a=17,a,=2a-a1=21, 故命题9为假命题 1,n=1 -3 B)2,=5x32,n=2k+1,k∈N 32,n=2k,k EN' 11.(1)4； eloy 12.4)S,=2r+n:2)(10u0): 13.(1)935: (2)-10n+470>n+5→n≤42，即第42个月底，保有量达到最大 (a+a2+a,+…+a2)-(6+b+b+…+b2)= [3654420+0x38]_6+472-8782 2 2 Sa=4(42-46)+8800=8736,六此时保有量超过了容纳量 考点03数列的综合应用 1.B 2.A 3.48 1 +4（,则在a,1a》处的切线为 y-Ina=-(x-a) a 当=0时，y=na,-1,即=na,-， ,即 所以当正整数m≥2时. 2时，a。=ha4-1 2)0m≤01-2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)存在，k=3 S= 202: 2π 5.(1) (2 d=5或d=r;(3)T=3,45,6 6(1山)数列，与 {an} 接近，理由如下： 由题意，a,=(宁，b,=a+1=(°+1， -a=分+1-=1-身r, ne时，0<s小1-r<1, 满足对任意neN,16,-a,≤1 ,数列与a, 接近； (2)3或4： 3)d>-2 一年模拟练测园 一、单选题 1.B 2.D 3.c 4.B 5.c 二、填空题 6.a,=2n-1(neN) 7.40 「1 1） 8.2130’213 9.=-n2+3n 10.】5s9s1 518 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(0,1)U1,2). 12.7 13.1011 14.-64 15.35 16.2026 17.20 18.48 19.25 20.63 三、解答题 21.)f(x)=x 关于数列c,不具有“性质P(10)。，f()=关于数列c具有“性质 (100) ②不存在满足要求的等比数列a,} (3)设严格增的等差数列=1+i-)1,其中公差d>0。 今s0-2ca)-2c1+t-1a) 因为函数=代的图象是连续曲线，所以8⊙是关于1的连续函数。 已知集合f小>0和f)<0, 均不为空集， 因此存在实数，"使得fu)<0.f)>0 取足够小的正数d.令5=”，此时所有的4=W+-1口 limg(u）=f(u)∑c<0 当d→0*时，所有4→“，可得0 将数列整体向右平移，令=v-(n-)d 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时所有的8=v+6-l)d-(n-)d→v 当d→0*时，可得 .limg(v-(n-1)d)-f(v)-e>0 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得8)=0， 厨应的等差数列4=6+平格递遵，清足ca)0 n(n≥3) 因此，对于任意给定的 个正数9,9，，c, 均存在严格增的有限等差数列口，} 使得函数=/对数列C}具有“性质P(四。 3 22.)证明：因为数列{a,}的前n项和S,=20,-”, 3 所以当m=1时，S=a=24-1,解得a=2,所以a+1=3: 3 当n≥2时，S=20-(n-), 由双-=6，-小侵a- 33 3 化简得0，-20,20-120，=201-1， 所以2，=3a+2,两边加1得+1=3(a,+ 所以数列a,+川是首项为3、公比为3的等比数列： b =2n-1 (2) 23.山微列的前5项依次为 ,2,5,8,9,32 718 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)5,=n(2n-1)+ (4”-1） 3学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13数列 10年真题1年模拟 高考品题透析园 考点分类 上海考情(2017-2026) 命题规律 基础考通项、公差公比、前n项和： 考点01数列基本 2017-2026年年考查，单选填空为 变化：无穷等比区间、闭区间恒成立成 量计算 主，2021、2026出现3问解答 为新热点，侧重参数范围求解 传统Sn与an转化不变：新增数列增 考点02递推公式 2017-2025高频，2022、2023为单选 减性、极限存在条件判断，常搭配举反 与前n项和 压轴，解答常结合单调性 例辨析命题真假 核心变化：以“接近数列”“。加速 考点03数列综合 2017-2026解答压轴必考，2025、 数列”等新定义为载体，融合三角、 应用 2026创新题型最多 导数、三角形三边、排列计数，侧重存 在性证明与最值探究，难度显著拔高 十年真题分类园 考点01数列基本量计算 1.(2026上海·高考真题)下列数列中是等差数列也是等比数列的是() A.1,-1,1,-1,1 B.1,2,3,4,5 C.5,5,5,5,5 D.1,2,3,5,7 2.(2026上海高考真题)已知等差数列a,}中，4=0，公差为4，其前”项和5在区间0,1)内至少有 两项，则公差d的取值范围是 3.(2026上海高考真盟)已知a,}为等比数列，4=2，a=6, 则 1/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4(2025上海高考真题)已知a,}是首项为1、公差为1的等差数列，亿}是首项为1、公比为9g>0) 的等比数列.若数列a,6的前三项和为2，则9 5(2024上海高考真题)数列a,},4,=n+cS,<0 c的取值范围为 6.(2024上海高考真题)无穷等比数列a,}满足首项4>0,9>1，记1，={-y∈[4,4[a,a} 若对任意正整数”集合“是闭区间，则9的取值范围是」 7.（2021上海高考真题)在无穷等比数列a,中，ima-a,)=4 ,则“的取值范围是 8(2021上海高考真题)等若数列a,中，4=31=2，则- {an} 9.(2021上海·高考真题)已知数列”满足 0n≥0 20,对任意”≥2,0和”中存在一项使其为另一项与 a,-的等差中项 1=5a2=3a4=2 (1)已知 ，求的所有可能取值： (2)已知4=a=4,=0.4、44、 。 、4为正数，求证：“、4、“成等比数列，并求出公比9， (3)己知数列中恰有3项为0，即2=0=0=0,2<1<5<1，且.4=2， +a,+a1的最 ,求 大值 10.(2020上海·高考真题)有限数列 a,若满足-a4-4…4-a.,m是顶数，则称a} 满足性质P. 3,2,5,14,3,2,5,1 (1)判断数列和 是否具有性质，请说明理由 (2)若9=1 ,公比为9的等比数列，项数为10，具有性质P,求9的取值范围 (3)若”是2m (m≥4，b=ak+(k=1,2m-1),{an},bn} 的一个排列 都具有性质，求所有满足条件的 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 fa,) 考点02数列递推公式与前n项和 1,《2023上海高考真题)已知数列a,的各项均为实数，S为其前n项和，若对任意k>202,都有 S,>5,则下列说法可能成立的是（） A.,,4,,0为等差数列， a,a4,…,am为等比数列 B a,4,0,…,a为等比数列， a2,a4,0…,4为等差数列 C. 4,4,4,,402为等差数列， a2,424om4,0为等比数列 D 6山4个一行特北数列.西e一为湾关数列 2.(202上海高考真题)已知等比数列口的前”项和为，前”项积为7，则下列选项判断正确的是 Rans A.若Sm>S,则数列a n 是递增数列 B.若>m,则数列a,是递增数列 {an} Sn} 2022之02021 C.若数列 是递增数列，则 {Tn} D.若数列 是递增数列，则”≥am 3.(2017-上海高考真题)在数列a,中，=（宁，neN,则▣u 1 A.等于2 B.等于0 c.等于 D.不存在 4.(2025上海高考真墨)已知等差数列a,}的首项4=-3，公差d=2,则该数列的前6项和为 3/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2023·上海·高考真题)已知等比数列 a的前”项和为，且4=3.9=2，求5 6.(202上海高考真盟)已知等差数列a,的公差不为零，S为其前m项和，若=0，则 S(i=1,2…,100) 中不同的数值有 个 a1+a2++a= 7.(2020上海高考真题)己知{a}是公差不为零的等差数列，且4+a0=4,则 a10 8。(2018上海高考真题)记等若数列a,的前”项和为3， ians a3=0a6+a,=14 2= ，则 9.(2017上海高考直愿)已知数列a,和，3，其中，=”，neN,妆的项是互不相等的正整数， 1g(b,b,b,b6)」 若对于任意n∈N,}的第a,项等于{a,}的第b项，则g(6bb,b,) 10.(2022上海高考真腿)数列{a对任意neN,且n≥2，均存在正整数 ie[l,n-1] 满足 an1=2an-a,a1=1,a2=3 (1)求可能值： 41,0208 (2)命题p:若 成等差数列，则4<30 ,证明P为真，同时写出P逆命题q,并判断命题q是真是 假，说明理由： 3)若4m=3,(meN 成立，求数列{a,的通项公式 1.(202上海高考真题)已知数列a,4=1,a的前”项和为3 @若a为等比数列，5=3，求m ②若a,为等差数列，公差为4，对任意n∈N,均满足5≥”，求d的取值范围， 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12（2019上海务考真想)已知数列包.马-3.前”项和为 （)若a,}为等差数列，且“=15， lim S,<12 (2)若a,为等比数列，且m氵 ,求公比9的取值范围 13。(2017上海高考直思)根据预测，某地第n∈N)个月共享单车的投放量和损失量分别为“和6 (单位：辆)， 5n4+15,1≤n≤3 其中 -10n+470,n之4，bn=n+5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的 累计投放量与累计损失量的差 (1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量： (②)已知该地共享单车停放点第”个月底的单车容纳量8，=-4-46+80 (单位：辆)·设在某月底， 共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 考点03数列的综合应用 1.(2025上海高考真腰)已知数列a,}、,}、c,的通项公式分别为”，=101-9,6=2”、 , 6,=a+-沙芳对任查的2c0,。、么、的值均能构成三角形，测满足条件的正整数”有 () A.4个 B.3个 C.1个 D.无数个 2.(2017上海高考真题)已知“、b、C为实常数，数列行 的通项=am+bn+cn∈N {xn} 则“存在 k∈N 使得m、m、w成等差数列”的一个必要条件是（） A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a-2b+c=0 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2024上海高考真题)4=2,4=44，=84，=16 b,b,b,b,∈R ,任意 ,满足 a+a1≤1<j钱=物+61≤1<j≤秋，求有序数列，4有对 4.(2023上海高考直愿)令f(:=x,取点a,/a》过其曲线y=f()作切线交y轴于0,4，取点 (a,f(a》过其作切线交y轴于（0,4），若4<0则停止，以此类推，得到数列a,} 1)若正整数m≥2， 证明4。=na1-1 )正整数m≥2，试比较”与”2， 大小： ⊙)若正整数23，是否存在k使得，4…0依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在。 试说明理由. 5.(2019上海高考真题)已知等差数列a,的公差1e(0,数列}满足么，=sna）,东合 S=xx=b,nEN (1)若4=0，d=2 3,求集合S: π (2)若4=2，求d使得集合s恰好有两个元素： (3)若集合S恰好有三个元素：b+r=b,T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值 6.(2018上海高考真思)给定无穷数列a,若无穷数列收满足：对任意”eN,都有 bn-an|≤1 则称}与a,} “接近”· (1)设a,是首项为1，公比为2的等比数列，b,=a+l,n∈N,判断数列，}是否与a,}接近，并说明 理由； ②没数列a,的前四项为：4-，4=2,4=4，=8，是个与a,接近的数列，记东合 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M={x|x=b,i=1,2,3,4} M ,求中元素的个数： '是公差为的等差数列，若存在数列， an d 3)已知 满足： 6与a缸，t4-.6-店， b1一m中至少有100个为正数，求的取值范围， 一 年模拟练测园 一、单选题 a+log2k、a+log4k、a+logsk 1.(2026上海·三模)已知 >1,则等比数列 的公比为() A月 1 1 B.3 C.4 D.8 2.(2026上海虹口三模)若函数”=满是：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当， 无，。成等差数列，有()，)，()成等比数列，则称”满足“性质P”.对于以下两个 结论，说法正确的是()· ①函数少x 不满足“性质P”: ②对于任意的正实数“，'=tan(ar) 都满足“性质P”、 A.①、②都正确B.①、②都错误C.①正确，②错误D.①错误，②正确 3.(2026上海二模)一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列a,},使得（). A.{sina.}为严格增数列 B.{cosa,}为公差不为零的等差数列. 1 C.cosS}为等比数列（其中，8之）D sin- an为周期数列 4.(2026上海杨浦二模)已知数列a,给出以下定义：若存在常数k>0,对于任意的neN,祁有 a?a,≥k(a,1一a,）,则称数列a}为“k-加速数列”，现给出下列命腿： 7/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①若4，则对任意k>Q,数列{a}都不是“k加速数列” ②若数列a,是“1-加速数列”，且4e乙，4=a=2026,则数列a,存在最小项， ③若数列a,是“2-加速数列”，且4=1,4，=2，则存在M>0,使得a,<M: ④正数列 是等比数列且公比91，则a是“k加速数列”的充要条件是k=1 其中正确的命题是() A.①②③ B.② C.②④ D.③④ ia 5.(2026上海黄浦三模)记°“为数列的前”项和，已知'和 a,}知.-k为常数)均为等比数列， 则k的值可能为 A.a B.9 C D.ata 二、填空题 6.(2026上海黄浦三模)已知数列a,的前”项和为S,=心(”为正整数)，则数列a的通项公式为 7.(2026上海虹口三模)己知等差数列{a.}的公差为2，若4=4，则台 8.(2026上海普陀二模)设k≥2，n≥1，k,n∈N,S是等比数列a}的前n项和，且4>0，公比为 1 bn=Sn 3,令 Sn,若恰存在2个k的值，对任意的n<k,皆有b,>b成立，则%的取值范围为一 9.(2026上海音陀二模)设n≥lneN,是等差数列引a}的前n项和，且公差d≠0，者a,=8 S,= 且“，a,4“成等比数列，则 10.(2026上海崇明二模)已知首项为1的等比数列a,满足对任意的正整数m,n都有 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a。-a≤m-川，则等比数列a}的公比g的取值范国是 11.(2026上海闵行·二模)己知等比数列1a,}的公比为9，若合 ,则有 的取值范围是 12.(2026·上海嘉定·二模)已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该 四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束.甲先开始，则甲获胜的概率为 则46- 13.(2026上海嘉定二模)己知a}是等差数列，a,=1,4=11, 14.(2026上海金山二模)已知5，是数列a,的前”项和，且5，=21-1，n≥1且neN.若 f)=(6m+asm+a,)-(6i血x+a）,则fa国 15.(2026上海金山二模)已知等差数列-3，-1,1，…，则该数列的第20项为 16。(2026上海三模)将数列“中随机剔除两项、0（其中1≤1<j≤m/e八，）然后在原数列中添 ,1111 加一项a+a,+aa,叫做数列a,的一次变换，那么数列l23…,2025’2026经过2025次变换后数列中还剩 下的一项为一 1,(2026上海黄浦三模)在等比数列a中，4+4+a=5,4+a,+4=10,则4+a。+a1 18.(2026·上海·三模)已知数列a}是首项为3公差为2的等差数列，则台 (2026上海三模)记5为等差数列a的前n顶和。若4=-24+a,=2,则5。 19. 20.(2026上海长宁·二模)设等比数列 {a的前”项和为S,若9，=3，S=15,则S,= 三、解答题 21.(2026上海虹口三模)对于定义域为R的函数=/(0以及给定的” (n≥3) 个实数9,9，…，6， 9/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若存在项数为”且严格增的有限数列4，，，0，满足/(a)+6f(a,)++cf(a,)=0 ,则称函数 f()关于数列c}具有“性质 (n） 1)若9=6==c9=G0=1 请分别判衡f(四，方（四=是否关于数列c,具有“性质P(0)。 (无需说明理由)： ②设9=(-号，1-1,2”9·是香存在首项和公比相答且严格增的有限等比数列Q},使得函 数=×关于数列C具有“性质P(9)。?若存在，请写出一个满足要求的等比数列a, ；若不存在， 请说明理由； 6)若函数=/四的图象是连续曲线，集合付f()>0和d/()<0均不为空集，且f)=0以为有限 集，求证：对于任意给定的2)个正数9,9，，，均存在严格增的有限等差数列a,}使得函 数=的对数列G}具有“性质 (n) 2卫。（2026-上海黄浦三模)已知数列a,}的前n项和为S,且5-0-ma∈N) ①)证明：数列a,+是等比数列： (2)定义集合 M,=a0,+a,+a,jeN且j≤m,记M的元素个数为，求b, 23.(2026上海静安二模)已知等差数列a,的首项4=1，公差为2，等比数列}的首项A=1,公比 an,当n为奇数时 为2，数列{c,}满足，=b,当n为偶数时(n为正整数)· Q依次写出数列c的前6项 ②设数列的前”项和为5，求5 专题13 数列 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 数列基本量计算 2017-2026 年年考查，单选填空为主，2021、2026 出现 3 问解答 基础考通项、公差公比、前 n 项和；变化：无穷等比区间、闭区间恒成立成为新热点，侧重参数范围求解 考点 02 递推公式与前 n 项和 2017-2025 高频，2022、2023 为单选压轴，解答常结合单调性 传统 Sn 与转化不变；新增数列增减性、极限存在条件判断，常搭配举反例辨析命题真假 考点 03 数列综合应用 2017-2026 解答压轴必考，2025、2026 创新题型最多 核心变化：以 “接近数列”“- 加速数列” 等新定义为载体，融合三角、导数、三角形三边、排列计数，侧重存在性证明与最值探究，难度显著拔高 考点01 数列基本量计算 1．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】C 【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C 2．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解. 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 3．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【详解】设数列的公比为，则，则. 4．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 【答案】 【分析】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比. 【详解】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为： 5．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先利用等差数列的定义判定为等差数列，再利用等差数列性质即可求解. 【详解】因为，则， 可知数列为等差数列， 则，解得， 所以c的取值范围为. 故答案为：. 6．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围. 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 7．（2021·上海·高考真题）在无穷等比数列中，，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】由无穷等比数列的概念可得公比的取值范围，再由极限的运算知，从而得解． 【详解】解：无穷等比数列，公比，，， ， ， ，，． 故答案为：，，． 8．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则______. 【答案】 【分析】直接代入等差数列的通项公式可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 9．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）. 【分析】（1）根据等差中项分别验证求解； （2）根据等差数列，分别计算，即可证明； （3）由或可知或，结合（2）可求最大值. 【详解】（1）由题意，或， ∴，此时，满足 ，此时，， 所以 （2）∵，∴，或，经检验，； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； 综上，、、成等比数列，公比为； （3）由或，可知或， 由第（2）问可知，， ∴，， ∴， 同理，，，∴， 同理，，∴的最大值为 【点睛】关键点点睛：由，再利用，再结合①或②，按②变换次，按①变换次，求出，同理求出其他，属于难题. 10．（2020·上海·高考真题）有限数列，若满足，是项数，则称满足性质. （1）判断数列和是否具有性质，请说明理由. （2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围. （3）若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的. 【答案】（1）第一个数列具有性质，第二个数列不具有性质；理由见解析；（2）；（3）答案见解析. 【分析】（1）结合题设中的定义可判断给定的两个数列是否具有性质； （2）等比数列具有性质等价于对任意的恒成立，就分类讨论后可得的取值范围. （3）设，先考虑均不存在具有性质的数列，再分别考虑时具有性质的数列，从而得到所求的数列. 【详解】（1）对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质 对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质. （2）由题意可得， 两边平方得： 整理得： 当时，得， 此时关于恒成立， 所以等价于时，所以， 所以或者，所以取. 当时，得， 此时关于恒成立， 所以等价于时，所以， 所以，所以取. 当时，得. 当为奇数的时候，得， 很明显成立， 当为偶数的时候，得， 很明显不成立， 故当时，矛盾，舍去. 当时，得. 当为奇数的时候，得， 很明显成立， 当为偶数的时候，要使恒成立， 所以等价于时，所以， 所以或者，所以取. 综上可得，. （3）设，， 因为， 故， 所以可以取或者， 若，，则， 故或（舍，因为）， 所以（舍，因为）. 若，，则， 故（舍，因为），或 所以（舍，因为）. 所以均不能同时使，都具有性质. 当时，即有， 故，故， 故有数列：满足题意. 当时，则且，故， 故有数列：满足题意. 当时，， 故，故， 故有数列：满足题意. 当时，则且， 故， 故有数列：满足题意. 故满足题意的数列只有上面四种. 【点睛】本题为新定义背景下的数列存在性问题，先确定时均不存在具有性质的数列是关键，依据定义枚举再依据定义舍弃是核心，本题属于难题. 考点02 数列递推公式与前n项和 1．（2023·上海·高考真题）已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法可能成立的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 【答案】C 【分析】令(是等差数列的前n项和),由题意可得当时，单调递减，结合二次函数的性质和选项逐一判断即可. 【详解】解：令,由题意当时，单调递减， 对于首项为，公差为的等差数列， 则前n项和(不含常数项)， 此时， 由二次函数的性质知：当足够大时，不可能为单调递减函数， 所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意； 对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比时，满足，故符合题意； 对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当足够大时，不满足，即不可能为单调递减函数，故不合题意 故选：C. 【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和是关于n的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前n项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化. 2．（2022·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合等比数列的性质和特例，以及等比数列的单调性和前项和公式，可判定A、B、C都不正确；由数列是递增数列，得到和，可判定D正确. 【详解】对于A中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以A不正确； 对于B中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确； 对于C中，如果数列，公比为，可得，数列是递增数列，但是，所以C不正确； 对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以D正确； 故选：D． 3．（2017·上海·高考真题）在数列中，，，则 A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在 【答案】B 【详解】 数列中，，则，故选B. 4．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 5．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______； 【答案】189 【分析】由等比数列前项和公式求解， 【详解】由题意得， 故答案为：189. 6．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个. 【答案】98 【分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果． 【详解】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，， ，解得， ， ，1，，中，，， 其余各项均不相等， 1，，中不同的数值有：． 故答案为：98． 7．（2020·上海·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，且，则________ 【答案】 【分析】根据已知结合等差数列的通项公式，求出首项与公差的关系，将所求的式子用公差表示，即可求解. 【详解】由条件可知， . 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算，以及等差数列性质的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 8．（2018·上海·高考真题）记等差数列的前项和为，若，，则________ 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式，和等差数列各项之间的关系，求出前7项和. 【详解】已知，∴， 则， 由公式得， 故答案为：14. 9．（2017·上海·高考真题）已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________ 【答案】2 【详解】由，若对于任意的第项等于的第项， 则，则 所以， 所以. 10．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 【答案】(1)7或9； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用递推公式可得，进而可求出； （2）由题意可得，则，从而命题为真命题，给出反例即可得出命题为假命题； （3）由题意可得，，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式. 【详解】（1）因为，所以或，所以可能值为7或9； （2）因为成等差数列，所以，, 所以， 逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题， （3）因为，所以 ，所以， 因此， 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立： 当时，明显成立； 假设当时命题成立，即， 则，即，即命题得证； 回到原题，分类讨论求数列的通项公式： 1.若，则矛盾； 2.若，则，所以，所以， 此时， 所以， 3.若，则，所以，所以， 所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾， 综上. 【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 11．（2022·上海·高考真题）已知数列，，的前项和为. (1)若为等比数列，，求； (2)若为等差数列，公差为，对任意，均满足，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出等比数列的公比，求出，即可求得； （2）分析可得，分、两种情况讨论，结合数列的单调性可求得的取值范围. 【详解】（1）解：，则，所以，等比数列的公比为， ，因此，. （2）解：由已知可得，则， 即，可得. 当时，可得； 当时，则，所以，， 因为数列为单调递增数列，而，故. 综上所述，. 12．（2019·上海·高考真题）已知数列，，前项和为. （1）若为等差数列，且，求； （2）若为等比数列，且，求公比的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果. 【详解】（1）由且     （2）由题意可知 则    且     或 又     【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果. 13．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆）， 其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的 累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析： （1） （2），即第42个月底，保有量达到最大 ，∴此时保有量超过了容纳量. 考点03 数列的综合应用 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 2．（2017·上海·高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在， 使得、、成等差数列”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 存在，使得成等差数列，可得， 化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是. 3．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对. 【答案】48 【分析】先确定，再结合，设，可得到，进而求出这四个数，从而求得答案. 【详解】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合推出时，这四个数的值，进而结合题意求得答案. 4．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在， 【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明， （2）构造函数后由导数证明不等式， （3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解， 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 5．（2019·上海·高考真题）已知等差数列的公差，数列满足，集合. （1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素； （3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值. 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知. 【详解】（1）， ，， ，，， 由周期性可知，以为周期进行循环 （2），， 恰好有两个元素 或 即或 或 （3）由恰好有个元素可知： 当时，，集合，符合题意； 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，，符合条件    当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，，符合条件 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取时，，符合条件 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故     又，故 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件； 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件； 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或 若，即，不是整数， 若，即，不是整数， 故不符合条件； 综上： 【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题. 6．（2018·上海·高考真题）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与 “接近”. (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由； (2)设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数； (3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围. 【答案】(1)数列与接近，理由见解析 (2)3或4； (3). 【分析】（1）计算出，时，，满足对任意，，数列与接近； （2）与接近，，则，，，，分三种情况，当时，时，，时，求出中元素的个数为3或4； （3）推出，，若，则恒成立，不合要求；若，令，，满足，数列与接近，且为奇数时，至少存在、、、这100个数为正，从而得到的取值范围为. 【详解】（1）数列与接近，理由如下： 由题意，，， ∴， ∵时，，∴， 满足对任意，，∴数列与接近； （2）∵，，，，又与接近，∴， ∴，则，，，， ∴当时，中有、、三个元素； 或时，中有、、三个元素； 当，时，中有、、、四个元素； ∴中元素的个数为3或4； （3）∵，∴，， ∴，即，， ①若，则恒成立，不满足“至少有100个为正数”，不符； ②若，令，，∴， 满足，数列与接近，此时， 当为奇数时，， ∴在、、、这200个数中， 至少存在、、、这100个数为正， 故时，存在数列满足题意， ∴的取值范围为. 一、单选题 1．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，再代入计算公比即可. 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 2．（2026·上海虹口·三模）若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（     ）． ①函数不满足“性质”； ②对于任意的正实数，都满足“性质”． A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【分析】对于①，取特殊值，结合，，成等差数列可得，假设，，成等比数列，可得，进而解方程求解判断即可；对于②，取特殊值，结合，，成等差数列可得，进而验证即可判断. 【详解】对于①，由，，成等差数列，则， 取，即， 则，， 若，，成等比数列，则， 即，则， 即或，则或（舍去）， 当时，，当时，， 所以函数满足“性质”，故①错误； 对于②，由，，成等差数列，则， 取，则，， 所以 ， 而，则， 所以对于任意的正实数，都满足“性质”，故②正确. 3．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列及三角函数性质对各选项逐一分析是否存在符合条件的无穷等差数列. 【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列， 但，且是周期函数，在一个周期内有增有减， 对无穷等差数列，当，则， 所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误， 在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则，所以， 由于是关于的周期变化的函数， 所以不是常数， 即不是公差不为零的等差数列，B错误， 在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则， 若为等比数列，则， ，，， ， 当，时，则， 该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为 ，此时数列， 当为奇数时，为奇数，， 当为偶数时，为偶数，， 故为数列，是公比为的等比数列， 所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确， 在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列， 所以，即， 所以会趋近于， 而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项， 所以不可能是周期数列，D错误. 4．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 5．（2026·上海黄浦·三模）记为数列的前项和，已知和（为常数）均为等比数列，则的值可能为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的公比是否为1分类，可排除，再利用也是等比数列列方程即可得到，分别令，，，，可得只有时才存在满足方程，问题得解． 【详解】当时，令（其中为非零常数）， 整理得：，要使得它对任意的恒成立， 则：，解得：，这与为等比数列矛盾. 所以， 令（其中为非零常数），则，整理得： ，要使得它对任意的恒成立， 则，整理得：， 令，则，解得：，这与为等比数列矛盾. 令，则，整理得：，此方程无解． 令，则，整理得：，记， ，，所以在上必有一零点．即至少有一个实根. 令，则，整理得：，解得：，这与为等比数列矛盾. 故选C. 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及求和公式，考查分类思想及转化能力，还考查了计算能力及方程思想，属于中档题． 二、填空题 6．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 7．（2026·上海虹口·三模）已知等差数列的公差为2，若，则_____________． 【答案】40 【分析】先求等差数列的通项公式，再求和即可. 【详解】由题可知：， 由等差数列求和公式得：. 8．（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【分析】由的结构，可先研究函数在正数范围内的大小变化规律，再结合等比数列前 项和公式把题意转化为关于的不等式组求解． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 9．（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 【答案】 【分析】本题利用等差数列的通项公式和前n项和公式代入可得,然后代入前n项和公式计算即可。 【详解】，,计算可得； 又成等比数列， ,变换可得,代入，计算可得,。 10．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得. 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. 11．（2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 【答案】. 【详解】根据题意可知，即或. 因为，所以. 所以. 故取值范围为. 12．（2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 【答案】 【分析】根据题意，求出甲在第（奇数）次获胜的概率，再由等比数列求和得解. 【详解】由题意，甲抛掷一次获胜的概率为，失败的概率为， 甲胜的概率分为无数种情况：第次掷获胜，第次掷获胜，，第次获胜，， 概率分别为，， 故为以为首项，为公比的等比数列， 故甲获胜的概率. 13．（2026·上海嘉定·二模）已知是等差数列，，，则___________． 【答案】1011 【详解】设等差数列的公差为，依题意，， 则. 14．（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 【答案】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. 15．（2026·上海金山·二模）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________． 【答案】 【分析】根据等差数列定义，计算出公差，进而得到通项即可． 【详解】不妨取， 所以，等差数列公差， 等差数列通项，则， 则该数列的第20项为． 16．（2026·上海·三模）将数列中随机剔除两项（其中）然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为______. 【答案】2026 【分析】根据变换的特点，构造一个新的乘积式：，正好是新添加的项求解. 【详解】题目中一次变换是：删除两项，添加， 观察这个变换的特点，构造一个新的乘积式：， 这正好是新添加的项， 也就是说，整个数列所有项的的乘积在变换前后是不变的。 原数列是共 2026 项， 初始乘积为：， 每一次变换会让数列的项数减少，初始有 项，经过次变换后， 数列只剩项，设为，根据不变量，有：， 解得， 故答案为：2026 17．（2026·上海黄浦·三模）在等比数列中，，，则_____． 【答案】20 【分析】根据等比数列性质利用整体的比值求出公比满足，即可计算出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即得； 因此. 故答案为： 18．（2026·上海·三模）已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则_________． 【答案】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】. 故答案为：48. 19．（2026·上海·三模）记为等差数列的前n项和．若，则__________． 【答案】 【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案. 【详解】是等差数列，且， 设等差数列的公差 根据等差数列通项公式： 可得 即： 整理可得： 解得： 根据等差数列前项和公式： 可得： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 20．（2026·上海长宁·二模）设等比数列的前项和为，若，，则_______ 【答案】63 【详解】因为等比数列，所以也成等比数列，即，填63. 三、解答题 21．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【答案】(1)关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质” (2)不存在满足要求的等比数列 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“性质”的定义，判断是否存在严格增的有限数列，，…，，使得和. （2）假设存在满足条件的等比数列，根据“性质”的定义列出等式，通过分析等式是否成立来判断是否存在这样的等比数列. （3）利用函数的连续性、零点存在定理以及等差数列的性质，构造出满足“性质”的严格增的有限等差数列. 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 22．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 【答案】(1)证明：因为数列的前项和， 所以当时，，解得，所以； 当时，， 由，得， 化简得， 所以，两边加1得， 所以数列是首项为3、公比为3的等比数列； (2) 【分析】（1）根据，结合条件及待定系数法，化简整理，即可得证. （2）根据所给定义，整理可得，根据的范围，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，所以， 集合中的元素形如， 因式分解得：， 因此的元素对应，其中，， 则的取值范围为，且对任意整数， 均存在，使得， 所以的不同值个数为，从而； 23．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)数列的前项依次为 (2) 【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出和的通项，再按​的分段定义，依次代入到，区分奇偶项计算得到前项； （2）将​拆分为前项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是的前个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是的前个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到​． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． / 学科网（北京）股份有限公司 $