专题09 复数（10年汇编）（上海专用）-2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 复数专题10年真题1年模拟汇编，覆盖代数运算、模两大核心考点，结合上海考情分析命题规律，梯度设计适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|35题|复数四则运算（2025真题基础计算）、模的性质（2020真题模长计算）、几何意义与轨迹（2023压轴题圆与直线位置关系）|基础题与综合题梯度分明，真题从单一计算转向多知识点融合（如2026新定义“伴随复数”结合充要条件）| |单选题|2题|新定义应用（2026单选压轴）、复数根性质（2026黄浦三模虚部求解）|模拟题强化逻辑推理，呼应真题综合性提升趋势| |解答题|1题|复平面点对应关系（2026嘉定二模）|注重数学语言表达，衔接高考对几何意义的考查要求|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09复数 10年真题1年模拟 高考品题透析园 考点分类 上海考情(2017-2026) 命题规律 基础题核心考查复数乘除运算、共轭复 数定义、复数相等条件、虚数分类，难 2017-2025年连续考查，题型以填空 度极低，为必拿分考点：核心变化为 考点01复数代数 题为主，2024年同时考查2道填 2023年起结合复数几何意义、点的轨 形式的四则运算 空，2023年考查填空压轴题，2017- 迹、圆与直线位置关系综合考查，2023 2022年年均有基础填空题 年首次以本考点为核心命制填空压轴 题，对数形结合能力要求提升 基础题考查复数模的计算公式、乘除运 算中的模长性质，难度较低：近年变化 2018-2026年高频考查，题型覆盖填 极为显著：大量结合复数几何意义、圆 空题、单选题；2026年首次考查单选 考点02求复数的 压轴题，2025、2023、2020、2019、 与圆锥曲线轨迹、距离最值问题综合考 模 查，2026年新增新定义“伴随复 2018年均有填空题，2026年同时考 数”，融合充要条件、模长性质命制单 查填空与单选压轴题 选压轴题，从基础计算转向多知识点融 合的逻辑推理，综合性与难度大幅提升 十年真题分类园 @ 考点01复数代数形式的四则运算 2+i 1.(2025上海高考真题)己知复数2=1，其中i为虚数单位，则|z卡 2.(2024上海高考真题)已知1+=i,则z= 1/5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 3.(2024上海高考真题)己知虚数2，其实部为1，且2+=m(m∈R),则实数m为一 4(2023上海商考真思)设3eC且5=i西，满足片--，则5-的取值范国为 5.(2022上海高考真题)已知z=1+i(其中i为虚数单位)，则2z= 6.(2022上海·高考真题)已知z=2+i,则z=」 7.(2021上海高考真腿)已知复数：满足=1-3i6是虚数单位.则F-小 8. (2017上海高考真题)已知复数z满足2+0，则21 考点02求复数的模 1.(2026上海高考真题)对于任意两个复数2,0，如果满足“z-0∈R”或“z-而∈R”,那么 就称z和0伴随.则当z和0伴随，则0-i和z+i伴随的充要条件是()· A.Re@+Rez=0 B.Re@-Rez=0 C.Im@+Imz=0 D.Imo-Imz =0 之（2心6上海商考直型)已知m1,对于所有满足2的复数只，都有上- 的最小值与2-m的最小 值相同，则m= 3.(2025·上海高考真题)已知复数z满足 =回水1，则2-2- 的最小值是 4.(2023上海高考真题)已知当2=1+1，则 1-iz= 5.（2020上海商考真题)已知复数2=1-21为虚教单位），则 6.(2019上海高考真题)设为虚数单位， 3z-i=6+51,则的值为 7.(2018上海高考真题)已知复数z满足1+i)z=1-7i(i是虚数单位)，则z上 一年模拟练测园 一、单选题 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2026上海黄浦三模)已知是虚数单位 名=2+31、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚 部为()· A.3 B.3i C.-3 D.-3i 二、填空题 2.(2026上海虹口三模)已知乙和乙是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若 Z 同=4，名-≤1，则随者乙的运动，动点乙所形成的平面图形的面积为 3.(2026上海三模)已知ab∈R,方程x2+ax+b=0的一个根为2-i(i为虚数单位)，则b= 4.(2026:上海三模)若实系数一元二次方程x2+ax+b=0有一个虚数根的模为4，则b= 5.(2026上海三模)已知=23=2i,若”=1石+1-3,2eR),则的最小值为 6.(2026上海三模)已知复数=1-2i(i为虚数单位)，则z= 7（2026上海三模)已知复数满足=3-21，其中为虚数单位则2= 8.(2026上海长宁二模)已知复数严清足：1，且上-51，则i-的最小值为 9.(2026上海徐汇·二模)已知复数%，W2满足 w-%,记满足2-w∈[1,3]=1,2)的复数z组 成的集合为4若∈A且e1,则5-的取值范周是 (i-1)(z-3i)=3+ 10.(2026·上海普陀二模)已知复数z满足 ,其中1为虚数单位，则2= 1+i)3 11.(2026上海静安·二模)设i是虚数单位，计算： (ri= 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026上海杨浦二模)设集合4=2+l=-a,zeC,B==l,zeC,若4nB≠⑦，则实 数a的取值范围是 z-1+i 13.(2026上海闵行·二模)已知z∈C,若z (其中i为虚数单位)，则z=一 14,(2026上海奉贤二模)已知复数2=cos0+isin0,0c02x）,i是虚数单位，则：+6+z-8i的 取值范围是 15.(2026上海金山二模)已知复数2=(m+2)+(m-1)1c为虚数单位)为纯虚数，则实数m= 16.(2026上海崇明二模)若复数z满足1+=1（；为虚数单位)，则z=一 17.(2026上海静安二模)若满足-5，且+5--=6 的复数z有两个，分别设为、2？，则 3-2= 2-2、i 18.(2026上海二模)已知复数2满是2+2是实数， 2的最小值为 19.(2026上海三模)已知复数2是实系数一元二次方程的两个根，若名=，则日-的最小值为 20.(2026·上海黄浦三模)已知复数2满足 3-i)z=3+i (其中为虚数单位)，则复数2= 21.(2026上海·三模)设复数 名=-1+i,=3-11是虚数单位)，若复数满足 2-z-2-22=4 ,则 2的最小值是 三、解答题 2.(2026上海嘉定二模)在复平面内，已知点1、8、C对应的复数分别为2，=0、=6、 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2c=4+3i 其中是虚数单位. (I)求CoS∠ACB的值： ②若复数满足上--对，求. 515 专题09 复数 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 复数代数形式的四则运算 2017-2025 年连续考查，题型以填空题为主，2024 年同时考查 2 道填空，2023 年考查填空压轴题，2017-2022 年年均有基础填空题 基础题核心考查复数乘除运算、共轭复数定义、复数相等条件、虚数分类，难度极低，为必拿分考点；核心变化为 2023 年起结合复数几何意义、点的轨迹、圆与直线位置关系综合考查，2023 年首次以本考点为核心命制填空压轴题，对数形结合能力要求提升 考点 02 求复数的模 2018-2026 年高频考查，题型覆盖填空题、单选题；2026 年首次考查单选压轴题，2025、2023、2020、2019、2018 年均有填空题，2026 年同时考查填空与单选压轴题 基础题考查复数模的计算公式、乘除运算中的模长性质，难度较低；近年变化极为显著：大量结合复数几何意义、圆与圆锥曲线轨迹、距离最值问题综合考查，2026 年新增新定义 “伴随复数”，融合充要条件、模长性质命制单选压轴题，从基础计算转向多知识点融合的逻辑推理，综合性与难度大幅提升 考点01 复数代数形式的四则运算 1．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 2．（2024·上海·高考真题）已知，则_______. 【答案】/ 【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 3．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 4．（2023·上海·高考真题）设且，满足，则的取值范围为________________． 【答案】 【分析】判断出对应点的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设， ，则， 所以， ，所以， 即对应点在以为圆心，半径为的圆上. ，对应点为， 与关于对称， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 表示与两点间的距离， 圆与圆相交，圆心距为，如图所示， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为： 5．（2022·上海·高考真题）已知（其中i为虚数单位），则___________； 【答案】 【分析】先由求出，从而可求出 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 6．（2022·上海·高考真题）已知，则________ 【答案】/ 【分析】直接根据共轭复数的概念得答案. 【详解】 故答案为：. 7．（2021·上海·高考真题）已知复数z满足(i是虚数单位)，则______. 【答案】 【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：． 8．（2017·上海·高考真题）已知复数满足，则_____________． 【答案】 【详解】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案． 详解：由，得， 设， 由得，即，解得， 所以，则． 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 考点02 求复数的模 1．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论. 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 2．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【答案】3 【分析】根据复数的几何意义分析求解即可. 【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 故答案为：3. 3．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 4．（2023·上海·高考真题）已知当，则______； 【答案】 【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案. 【详解】，. 故答案为：. 5．（2020·上海·高考真题）已知复数为虚数单位，则__________． 【答案】 【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 6．（2019·上海·高考真题）设为虚数单位，，则的值为__________ 【答案】 【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可． 【详解】由，得，即 本题正确结果： 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 7．（2018·上海·高考真题）已知复数满足（是虚数单位），则________ 【答案】 【分析】由复数的除法运算可得，从而可求解. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·上海黄浦·三模）已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，故，其虚部为. 二、填空题 2．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【答案】 16π 【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环， 所以其面积为. 3．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 4．（2026·上海·三模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 【答案】 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，其中， 则. 所以. 5．（2026·上海·三模）已知，若，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由， 则， 所以时，取得最小值. 6．（2026·上海·三模）已知复数（i为虚数单位），则______． 【答案】 【详解】由题意可得. 7．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 【答案】 【分析】利用复数的除法法则化简复数，结合共轭复数定义求. 【详解】因为， 所以， 故. 8．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】设，由题意易得，，表示出即可求出答案. 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 9．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先对已知条件进行化简，得出的值，再根据确定集合中元素的轨迹，最后分析且时的取值范围. 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点. 题干要求对都满足，因此是两个圆环的交集： 两个圆环分别以为圆心，内半径，外半径， 建立如图所示的坐标系： 是非空闭区域，当都在处时，最小距离可取到， 中最远的两点距离是两个外圆的交点距离， 因为两个外圆半径都是，圆心距， 由勾股定理可得两交点距离为： 因此∣的取值范围是 10．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【分析】先根据复数的除法运算化简，再应用共轭复数定义求解. 【详解】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 11．（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可. 【详解】， 所以. 12．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由知到与距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线, 表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于，通过计算可得实数的取值范围. 【详解】集合，由，即到与距离相等， 即的轨迹为与两点连线的垂直平分线， 设，所以，所以，化简得， 若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足； 若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：， 即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是. 13．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设，则， 由可得， 则，故. 14．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 15．（2026·上海金山·二模）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________． 【答案】 【详解】由复数为纯虚数， 则，解得. 16．（2026·上海崇明·二模）若复数满足（为虚数单位），则_____. 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算化简求值． 【详解】因为，所以， 所以； 故答案为： 17．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可. 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 18．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】设，代入中化简，由是实数，得或，利用复数模的几何意义求的最小值 【详解】设，则 ， 因为是实数，所以， 所以或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时， 当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 由图可知，的最小值为. 因为，所以的最小值为. 19．（2026·上海·三模）已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成对的性质，计算可求得的最小值. 【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数， 由，则，此时， 若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根， 设、 又因为，所以，所以， 所以 当时，. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 20．（2026·上海黄浦·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________． 【答案】 【分析】由已知得出，结合复数的除法化简可得复数. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 21．（2026·上海·三模）设复数（是虚数单位），若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】2 【分析】依题意可知，复数对应的点的轨迹是以为焦点，实半轴，半焦距的双曲线的右支（如图），然后根据双曲线的性质可得结果. 【详解】因为，，所以复数在复平面内对应的点，之间的距离为. 因为，故对应的点的轨迹是以为焦点，实半轴，半焦距的双曲线的右支（如图）. 而，其对应点是的中点. 所以的最小值即为双曲线右支到双曲线中心的最小距离，故的最小值是. 故答案为：. 三、解答题 22．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求； （2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在AB的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出. 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09复数 10年真题1年模拟 十年真题分类园 考点01复数代数形式的四则运算 5 1. 2.-1-i/-i-1 3.2 4.[02+2] 5.2-2i 6.2-i. 7.5 @r 考点02求复数的模 1.C 2.3 32 62v5 1/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.5 一年摸拟练测园 一、单选题 1.c 二、填空题 2.16m 3.5 4.16 6.2+i 7.-2+3i 9.[042] 10.-1-i 11.i 12.1.3 13.1-i 14.82,122 15.-2 16.-1+i 17.5 1 18.20.5 w.号 20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.2 三、解答题 V13 22.(1)65; (2)z=3+2i或z=3-2i 3/3