专题08 平面向量及其应用（10年汇编）（上海专用）-2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 上海高考平面向量专题10年真题与模拟题汇编，聚焦共线坐标表示、数量积、应用三大考点，呈现从基础计算到综合压轴的命题演变。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|5题|向量共线参数求解（2024真题）、几何性质逻辑判断（2021真题）|基础题占比60%，注重概念辨析| |填空|15题|数量积模长计算（2023真题）、三角形向量最值（2026压轴题）|70%题目融合三角函数、椭圆等知识| |解答|5题|椭圆中向量共线综合应用（2025三问解答题）|压轴题强调分类讨论与数学建模，匹配近年命题趋势|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08平面向量及其应用 10年真题1年模拟 高考品题透析园 考点分类 上海考情(2017-2026) 命题规律 基础题核心考查向量共线的坐标运算、 2023-2026年连续考查，题型覆盖单 参数求解，难度较低；近年变化显著： 考点01平面向量 选题、填空题、解答题；2025年出现 大量结合椭圆方程、数列通项、三角形 共线的坐标表示 3问椭圆综合解答题，2026、2025、 三边关系综合考查，2025年首次以本 2024年均有基础填空/单选题 考点为核心命制椭圆压轴解答题，对综 合应用与分类讨论能力要求大幅提升 基础题考查数量积的坐标运算、模长与 2018-2026年连续考查，题型以填空 夹角求解：核心变化为2026年首次结 题、解答题为主：2026年考查填空压 合三角形内线段比例、向量夹角命制最 考点2平面向量 轴题，2025年考查单位向量综合填 值类压轴题，近年大量融合三角函数、 的数量积 空，2023、2022、2019、2018年均有 椭圆方程、平面几何图形综合考查，从 高频考查 基础计算转向多知识点融合的综合推 理，难度显著提升 基础题考查向量在三角形中的线性运 2017、2021、2022年上海高考真题高 算、最值求解；核心命题方向为结合三 频考查，题型覆盖单选题、填空题： 角形重心、中点等几何性质、平面直角 考点03平面向量 2022年考查三角形内向量最值填空， 坐标系建模、新定义概念综合考查， 的应用 2021年考查向量线性运算逻辑判断单 2017年首次以本考点为核心命制新定 选，2017年考查平面几何新定义填空 义压轴题，对逻辑推理与数学建模能力 压轴题 要求大幅提升 十年真题分类园 @ 考点01平面向量共线的坐标表示 试卷第1页，共34页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2025上海高考真题)已知数a,、么，}、c的通项公式分别为4，=101-9,6=2”、 Q.=a,+0-加若对任意的2c0],4、么、C的值均能构成三角形，则满足条件的正整数”有 () A.4个 B.3个 C.1个 D,无数个 2.(2026上海高考真愿)已知a=(x3),6=(4,6),若6，则x 3.（2025上海高考真题)已知a=(2,,6=,),若aM6,则x= 4.(2024上海商考真题)已知keRā=(2,5)，6=(6，，且a/6,则k的值为 5。(2023上海高考真题)已知向量8=6,4,6=4,2)，则4-26 62025上海高老直题)已知随服「行+专a>V ,M(0,m)m>0),A是Γ的右项点 I)若「的焦点(2,0)，求离心率e: (2)若a=4,且「上存在一点P,满足AP=2PM,求： 3)已知AM的中垂线I的斜率为2，I与「交于C、D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围. 考点02平面向量的数量积 1.(2026上海高考真题)在△ABC中，D、E在边BC上，且BD=DE=EC,D=1,AD与正所成 的夹角为3，则B.4C的最大值为 1, x>0 2(2025-上海高考真题)已知f6)=0 x=0 1,x<0'a、i、c 是平面内三个不同的单位向量.若 试卷第2页，共34页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f(a.b)+f(b.c)+f(c.a)=0la+b+cl ,则 的取值范围是 3.(2023上海高考真题)已知i=(-2,3),6=(L,2),求ā-6= 4,(2022上海高考真思)若aH6Hc元， ab=0,ac=2,b.c=1 且满足 x2 y2 =1 5.(2019上海高考真题)在椭圆42上任意一点P,Q与P关于x轴对称，若有P·FP≤1，则 P与0的夹角范围为. 6.(2018上海高考真题)已知常数、x、片、为，满足：+=1，+=1，x%+少=2，则 |x+-1+x3+-1 √2 √2一的最大值为 7.(2018上海高考真题)在平面直角坐标系中，己知点4(-1,0)、B(2,0),E、F是'轴上的两个动点， F卡2，则F 的最小值为 考点03平面向量的应用 1.(2022上海高考真题)在△4BC中，∠C=7 2,AC=BC=2,M为AC的中点，P在线段AB上，则 MP.CP 的最小值为 2.(2021·上海·高考真题)在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC, 使得BC正=0，②存在三角形△4BC,使得正，丽+C团，则《) A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 RR PP 3.(2017:上海高考真题)如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 、以及四个标记为 试卷第3页，共34页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “▲”的点在正方形的顶点处，设集 合0=B,B,B,B},点Pe,过P作直线，使得不在上的 D(p)D2(lp “▲”的点分布在的两侧，用 和 分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和.若 过P的直线中有且只有一条满 D,)=D,, 则2中所有这样的P为」 P P BR 一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026上海闵行二模)已知平面上13个向量4…4，其中aF1,若对任意m∈N,1≤n≤12，总 有a非2a且a=0,则a+a++al的最小值为(） A.0 B.3 C16V6 D.63V2 a b c 2.(2026上海嘉定·二模)对任意平面向量“、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质： (I)ao6=i0a,《)(a+b)oc=aoc+6oc,(mD(a)o万=ao).则下列选项中一定成 立的是() A.若ao5=0,则i=0或5=0 B.la08Hal-181 C.(@-b)O(a-B)-a0a-2a0B+B0b aoaz0 D 3.(2026上海三模)已知向量i=(6,0),5=(1),则向量口在向量5上的投影向量为《） C.3b D.-36 试卷第4页，共34页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026上海三模)已知向量4,5满足a+5Ha-61,则+6在方向上的投影向量为() Aa c 2a D26 5.(2026上海黄浦三模)△ABC中，AC=V2,AB=2,A=45°，P是△ABC外接圆上一点， AP=AB+uA ,则2+“的最大值是(） ,则 V2+1 V2-1 √5-√2 √5+√2 A.2 B.2 C.2 D.2 二、填空题 6(2026上海虹口三模)在。ABC中，若B5nC=4C-5nB·BC在丽上的投影狗量为肝，则 CosA= 7,(2026上海虹口三模)已知ā、6、c是三个平面向量，且a为给定的单位向量.若5-d=6-a+1 -5=2,则2k-+-d的最小值为一 8. (2026上海黄浦三模)在△1BC中，∠1=30°，BC=2,则B在BC 上的数量投影的取值范围为 9.(2026上海三模)函数'=Sin0r+V2c0s0x(o>0)对应的图象如图，点4为图象与轴的交点，点B 为图象的最高点，点C为图象的最低点，若B1C=0,则”的值为 试卷第5页，共34页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026·上海三模)已知坐标平面上的三点 A(2,1)B(-3,-2)C(3,1 ,则B在4C方向上的投影数 量为 11.(2026·上海长宁·二模)在△ABC中，D是BC的中点， aD=4,BC=6,则AB4C= 12.(2026-上海黄浦二模)在复平面内，点卫，Q,0分别表示复数2,10,0，己知-3，M-5 u=z+W, 7，则向量O死与00的夹角为一 且 图.《2026上海徐汇二模2已知向量5，其中3，在5方向上的投影向量是，，则 C2026上海三模)在4BC中，B=1'BC=2,6A·CM=5’则cos∠ 15.(2026上海普陀二模)已知向量a=(,2),=(-10,C=(8,),函数=f9的表达式为 f(x)= x+1,x<2 2x-l,x≥2，设d(x)=f(x)a+f(x+2)b,若d()/e,则x= 16,(2026上海杨浦二模)记，G,乙是空间中的m(m∈Nm≥1)个不同的非零向量，满足：①共中 任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量：②其中任意三个向量4、：、云：均不能使 成立，则的最大值为一 m 17. (2026上海杨浦二模)直线.(a-3)r+(2a+1y-3=0的一个法向量是=(3,2)，则实数a 82026上海嘉定二模)已知向量a=(cos.sin.方=6V),且[0 则a在b方向上的数量 投影的取值范围为 试卷第6页，共34页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026·上海奉贤·二模)在平面直角坐标系x0y中，点 A(cose,sin0)B(-sine,cos0)0∈[0,2π) 若点P(八满足：0P.O1=l,OP.OB=2,则y的最大值是 20.(2026上海金山二模)已知在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°.若点0为△ABC外接圆的圆 心，则BCBd 21.(2026·上海三模)平面上五点 A,B,C,D,E AB=BC=CD EA.EB=4 EB.EC=5 满足 cD=8,则，D 的值为一 2。《2026上海三模)加图，某水平测试场地修建了一个实体圆雅形通信屏被置，其高为3.底面圆直 径4B=2,且点4满足丽=2C现在4点处固定一枚无线电信标，且在C点有一微型无人机（视为 点)·点Q在母线PB上，无人机先在空中以直线航迹从点C飞行到Q处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到A点， 设飞行路径总长度为S.则S的最小值为 SC 信标 B无人机 23.(2026上海柴明二模)已知向量a=(,2）,6=(21,若a16,则实数k= 24.(2026上海三模)在平面上，A81B,oBOB-1,AP=AB+AB,若0<2，则OA的 取值范围是」 试卷第7页，共34页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 2、2 25.(2026-上海虹口三模)已知双曲线r: 1 2 ,O为原点 (I)求「的右顶点到一条渐近线的距离： ②若点P在第一象限且Pe「，若P、E(1,0)、F20)为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坠标， 6)过点0,1)的直线'与「交于丙个不同的交点A和8，若0.o丽=m,求实数”的取值范国。 26.(2026上海三模)已知平面直角坐标系中，向量i=(1,-2),6=(-2,6) b a (1)求在上的投影向量； ②若(2a+),且=3，求向量的坐标： ③)若a与+6 的夹角为锐角，求实数的取值范围， 27.(2026上海普陀二模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 bsinA+ 5π =acos Acos C+ccos2A 6 (I)求角A的大小 ②点0、D分别满足(O1+0)B=0,(O+0C)C=0,D=2DC,BD=0,求 CO.AB CO.CB+CO.CA的值. 28。（2026上海嘉定二模)在复平面内，已知点1、B、C对应的复数分别为1=0、。=6、 2c=4+3i 其中是虚数单位 (I)求coS∠ACB的值： ®若复数满足-k-,,求2. 试卷第8页，共34页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .y2 29.(2026:上海三模)已知椭圆C:9+8=1,点0为坐标原点，椭圆的右顶点为A,左右焦点分别为F、 万，点E为椭圆在”抽上方的一动点 △EEF (1)求椭圆的焦距与的周长： 若月所-，求点6到袖的距离： )过点作斜率为的直线'交'轴正半轴于点P,点P位于椭圆内直线与椭圆C交于G、H两点，记 △OGH、△OFP的面积分别为S、S,求S的取值范围 试卷第9页，共34页 专题08 平面向量及其应用 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 平面向量共线的坐标表示 2023-2026 年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2025 年出现 3 问椭圆综合解答题，2026、2025、2024 年均有基础填空 / 单选题 基础题核心考查向量共线的坐标运算、参数求解，难度较低；近年变化显著：大量结合椭圆方程、数列通项、三角形三边关系综合考查，2025 年首次以本考点为核心命制椭圆压轴解答题，对综合应用与分类讨论能力要求大幅提升 考点 02 平面向量的数量积 2018-2026 年连续考查，题型以填空题、解答题为主；2026 年考查填空压轴题，2025 年考查单位向量综合填空，2023、2022、2019、2018 年均有高频考查 基础题考查数量积的坐标运算、模长与夹角求解；核心变化为 2026 年首次结合三角形内线段比例、向量夹角命制最值类压轴题，近年大量融合三角函数、椭圆方程、平面几何图形综合考查，从基础计算转向多知识点融合的综合推理，难度显著提升 考点 03 平面向量的应用 2017、2021、2022 年上海高考真题高频考查，题型覆盖单选题、填空题；2022 年考查三角形内向量最值填空，2021 年考查向量线性运算逻辑判断单选，2017 年考查平面几何新定义填空压轴题 基础题考查向量在三角形中的线性运算、最值求解；核心命题方向为结合三角形重心、中点等几何性质、平面直角坐标系建模、新定义概念综合考查，2017 年首次以本考点为核心命制新定义压轴题，对逻辑推理与数学建模能力要求大幅提升 考点01 平面向量共线的坐标表示 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 2．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 3．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 【答案】/ 【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由得，解得. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 5．（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 【答案】 【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以， 故答案为： 6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 考点02 平面向量的数量积 1．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 3．（2023·上海·高考真题）已知，，求 ________ 【答案】4 【分析】由平面向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】因为，， 则 故答案为：4 4．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则___________. 【答案】/ 【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出. 【详解】因为，所以，设. 由可得：， 两式相除得：. 又，且 解得：. 因为，所以，解得：. 故答案为：. 5．（2019·上海·高考真题）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________ 【答案】 【分析】通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围. 【详解】由题意：， 设，，因为，则 与结合    ，又     与结合，消去，可得： 所以 本题正确结果： 【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解. 6．（2018·上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 【答案】/ 【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】设点，，，， 由，，， 可得A，B两点在圆上，且， 即有，即三角形OAB为等边三角形，， 所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和， 故设，则， 所以 ， 其中， 所以最大值为，当且仅当时，可取最大值. 故答案为： 7．（2018·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为________ 【答案】 【分析】设，，表达出，求出最小值，设，，表达出，求出最小值，得到答案. 【详解】设，，∴，， ，当时，最小值为； 设，，∴，， ，当时，最小值为； 故答案为： 考点03 平面向量的应用 1．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________ 【答案】 【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时， 故答案为：. 2．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断. 【详解】不妨设，，，，， ① ，，若，∴， ∴，满足条件的明显存在，∴①成立； ② F为AB中点，，与交点即重心， ∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立； 故选：B 3．（2017·上海·高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________    【答案】、、 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；      则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4）， 线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H， 易知EFGH为平行四边形，如图所示； 设四边形重心为M（x，y）， 则， 由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点， 则符合条件的直线一定经过点， 且过点的直线有无数条； 由过点和的直线有且仅有1条， 过点和的直线有且仅有1条， 过点和的直线有且仅有1条， 所以符合条件的点是、、． 故答案为：、、． 一、单选题 1．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，构成一个等比数列，其首项为1，公比为，且相邻向量垂直，从而可得以共线，共线，要使小，只需共线且与反向，共线且与反向即可，据此求解即可. 【详解】因为， 且对任意，总有 所以构成一个等比数列，其首项为1，公比为， 所以， 又因为， 即相邻向量垂直， 即, 所以共线，共线， 要使最小， 设，， 则有， 即求的最小值， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 所以. 即的最小值为. 2．（2026·上海嘉定·二模）对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（   ） A．若，则或 B． C． D． 【答案】C 【分析】对于新定义运算判断题，一般通过选择特定函数验证性质，再根据选项利用特值代入排除或通过推理得到结论. 【详解】设、、的坐标分别为， 对于A，若定义，运算⊙显然满足（Ⅰ）； 因， 而，即满足（Ⅱ）； 又，而，即满足（Ⅲ）. 若取，，但都不是零向量，故A错误； 对于B，若定义，显然满足三条性质. 若取，则而，故B错误； 对于C，利用以上三条性质，可得： ，故C正确； 对于D，若定义，显然满足三条性质， 但，当时，，故D错误. 3．（2026·上海·三模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 又， 所以向量在向量上的投影向量为． 4．（2026·上海·三模）已知向量满足，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出，再利用投影向量的定义求解即得. 【详解】由，得，解得， 因此， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A 5．（2026·上海黄浦·三模）中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 则△ABC为等腰直角三角形. 设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系， 则，，，设，， 则， ，， 因为，即， 所以， 所以， 所以当，即时； 故选：A 二、填空题 6．（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【答案】 /0.5 【分析】由正弦定理边角互化可得，结合投影向量,余弦定理可得三角形为等边三角形，据此可得答案. 【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：. 因在上的投影向量为， 则， 由余弦定理：. 从而即三角形为等边三角形，则. 7．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将向量最值问题转化为动点在抛物线和圆上的轨迹问题后，结合“阿波罗尼斯圆”的性质构造新定点配平系数，最终化归为求抛物线上动点到该定点的最短距离. 【详解】不妨设，因为， 则有，整理得， 即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线， 设，由得，整理得， 即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆， ，其中表示到的距离， 由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数， 且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上， 设使，点满足，即， ， ， 则有，解得， 则， 易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离， ， 当时取最小值 ，即， 即， 即的最小值为.    8．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 【答案】 【分析】确定点的位置，建立平面直角坐标系，根据正弦定理及投影的定义计算求解. 【详解】由正弦定理可得（为外接圆半径） 所以的外接圆半径， 所以点在为弦，圆周角为的两段圆弧上运动，如图所示， 以点为坐标原点，为轴，过点垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则外接圆的圆心在直线上，因为半径， 所以圆心坐标为， 根据对称性，只讨论圆心为这种情况即可， 由向量投影的定义可知 ，当点为直线与外接圆的交点时，投影取得最值， 即或， 结合图形可知，当时，在上的数量投影有最小值，最小值为， 当时，在上的数量投影有最大值，最大值为， 所以在上的数量投影的取值范围为. 9．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值． 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 10．（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 【答案】 【详解】由，，可得，， 则在方向上的投影数量为. 11．（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 【答案】7 【详解】因为在中，是的中点，所以，所以. 又，所以，所以. 所以，. 12．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【分析】设复数u在复平面内对应的点为A，可得，结合模长关系可得，进而可得向量夹角. 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得，可得， 且，可得， 所以向量与的夹角为. 13．（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【答案】 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 14．（2026·上海·二模）在中，，，，则________． 【答案】/ 【分析】根据数量积公式，可得的值，根据余弦定理，可得，代入余弦定理，即可得答案. 【详解】设， 由题意，所以， 又，得， 所以. 15．（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 【答案】 【分析】由题意可得，分、和三种情况分别求解即可. 【详解】因为， 又因为，且， 所以， 整理得， 当时，， 则有，解得，满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 综上，. 16．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据已知条件利用向量投影、共线性质结合条件①②分析即可得. 【详解】设是这个向量中的任意两个向量， 根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：， 由条件①可知，或， 当时，向量共线，当时，向量垂直； 表示三个单位向量， 当、不同向时，， 则， 则，又， 故不符合， 则、同向，则由，可得、、同向， 由其中任意三个向量、、均不能使成立， 则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量； 故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量， 例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量， 再取，这个不同向量满足条件①②； 若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直， 由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向， 则必须与其中一个向量共线才能符合要求， 但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意， 所以满足条件的的最大值为. 17．（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 【答案】 【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为， 又直线的一个法向量是，所以两向量共线， 根据向量共线的坐标表示得，解得. 18．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 19．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解. 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 20．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 21．（2026·上海·三模）平面上五点满足，，，，则的值为_____． 【答案】3 【分析】设，，得到，，则，再代入值计算即可． 【详解】设，， 则， ， ， ． 故答案为：3． 22．（2026·上海·三模）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.    【答案】 【分析】采用化曲为直的方法，将曲面展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量. 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系    则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 23．（2026·上海崇明·二模）已知向量，，若，则实数____________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，由可得即可得解. 【详解】由得， ，. 故答案为： 24．（2026·上海·三模）在平面上，，，，若，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系,设出、、、的坐标,由及可得关于O点坐标的不等式组,结合两点间距离公式即可表示出的取值范围. 【详解】因为, 则为矩形,以所在直线为轴,以为轴建立平面直角坐标系.如下图所示: 设, 则,,, 因为 所以 变形可得 因为,即 由以上两式可得 即 因为,即 所以 则 综上可知 因为 所以,即 故答案为: 【点睛】本题考查了平面向量在坐标系中的综合应用,向量的加法运算与向量的模长,通过建立平面直角坐标系,用坐标研究向量关系是常见方法,属于中档题. 三、解答题 25．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的性质及点到直线的距离公式求解即可. （2）根据两点间的距离公式，与双曲线方程联立求解即可. （3）设出直线：，，，与双曲线方程联立得到，结合题意得到，即且，求出，，结合向量数量积的坐标运算及函数值域的求解方法求解即可. 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 26．（2026·上海·三模）已知平面直角坐标系中，向量，. (1)求在上的投影向量； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)且. 【分析】（1）由题设及投影向量计算公式可得答案； （2）由向量坐标运算及向量平行坐标表示可得答案； （3）由题可得且与不平行，据此可得答案. 【详解】（1）在上的投影向量为：， 又，， 则； （2）由题可得， 设，因，则. 因，则，从而， 则或 （3）由题可得，因与的夹角为锐角， 则且与不平行， 从而且. 27．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得 ，即可解得； （2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和 推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 28．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求； （2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在AB的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出. 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 29．（2026·上海·三模）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1)焦距为2，的周长8； (2)； (3). 【分析】（1）求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义求解. （2）由（1）求出点坐标，设出点坐标，再利用数量积的坐标表示列式求解. （3）设直线的方程为，求出范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示 出，再利用对勾函数单调性求出范围. 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. （2）由（1）得，设，则，即， ，由， 得， 整理得，而，解得，，点， 所以点到轴的距离为. （3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故， 则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内， 得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，， 因此，令，， 而，令，则， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以的取值范围是. / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08平面向量及其应用 10年真题1年模拟 十年真题分类园 @ 考点01平面向量共线的坐标表示 1.B 2.2 3.20.5 4.15 5.(1,0) 2 6.(1)3 @vio 65,v) 考点02平面向量的数量积 39 1.-32 2.0v⑤ 3.4 4.5/5 1/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6. 2+5,3+2 7.-3 @ 考点03平面向量的应用 > 1.8 2.B 3. PPP V- 年模拟练测园 一、单选题 1.B 2.C 3.D 4.A 5.A 二、填空题 6.2/05 7.4v5 83 10.-5 11.7 12.】3 13.2 1 14.-5-0.2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 15.-9 16.12 19.2 20.2 21.3 22.11+2V5 23.-1 三、解答题 6 25.(1)3 -1+317 (2)3或3 20,3)或0，-3) 6)2<14且元≠0 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5π 27.0)6: 04 √3 28.(1)65: (2)z=3+2i或z=3-2i △EFE 29.(1)焦距为2， 的周长8： 包6. 9 8)5,60.