专题06 解三角形（10年汇编）（上海专用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合2017-2026年上海高考真题及模拟题，聚焦解三角形两大核心考点，系统呈现考情演变与综合应用趋势，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|约8题|正弦定理边角互化、余弦定理求边求角、外接圆半径计算，如2023年真题直接应用定理求边长|基础题占比稳定，2024年填空压轴题引入空间方位场景| |解答题|约7题|三角形面积最值（2025年）、多知识点融合（三角函数+向量+不等式，2026年模拟题）、实际应用（矩形切线+面积最值，2022年真题）|反映2021-2026年解答题从基础计算转向压轴题的演变，强调综合推理与建模能力|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06解三角形 10年真题1年模拟 高考品题透析园 考点分类 上海考情(2017-2026) 命题规律 基础题核心考查正弦定理边角互化、余 弦定理求边求角、三角形外接圆半径求 2017-2026年连续考查，题型覆盖单 解，难度较低：近年变化显著：大量结 选题、填空题、解答题；2021-2026 考点01正弦定理 合三角函数性质、平面向量、基本不等 年年均有解答题，2025、2026年出现 和余弦定理 式综合考查，解答题从基础计算转向三 压轴类解答题，2017-2024年以基础 角形面积最值、多知识点融合的压轴 填空、单选为主 题，2025年起压轴题占比大幅提升， 对综合推理与计算能力要求显著提高 基础题考查方位角、距离测量类实际场 2022、2024年有高考真题考查，题型 景的解三角形应用；核心变化为2022 为填空题、解答题；2022年出现2 年创新结合矩形几何图形、切线性质、 考点02解三角形 问解答题，2024年考查填空压轴题， 函数最值综合考查，2024年新增空间 的实际应用 2026年模拟题大量出现实际场景建模 方位类实际场景，2026年模拟题延伸 题 至球面三角、圆锥几何等拓展场景，对 数学建模与综合应用能力要求大幅提升 十年真题分类园 考点01正弦定理和余弦定理 1.(2024上海高考真题)三角形ABC中，8C=24管B 4,则AB= 2.(2023上海高考真题)在△ABC中，已知a=4,b=5,c=6,则sinA= 3.(2022上海高考真题)在△MBC中，∠A-. 3,AB=2,AC=3,则△4BC的外接圆半径为 119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2019上海高考真题)在4BC中，4C=3,3in4=2smB,且cosC、 =4:则AB= 5.(2025上海高考真题)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且c=5. a sin B ,C= ()若4 bsin A'C=2,求a: (2)若ab=20,求△ABC的面积的最大值， 6.(2023上海高考真题)在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、C,其中b=2 (1)若A+C=60°，且a=2c,求边长c的值； a若M-C=30°.a=V2 csin A S。ABC , 7.(2022上海·高考真题)在如图所示的五边形中，AD=BC=6,AB=20,O为AB中点，曲线CMD上 任一点到O距离相等，角∠DAB=∠ABC=120°，P,O关于OM对称； M I)若点P与点C重合，求∠POB的大小： (②)求五边形M0ABP面积S的最大值， 8.(2021上海商考真题)已知4、B、C为。BC的三个内角，ab,c是其三条边，a=2c0sC= I)若sinA=2sinB,求b、c: @法o4-孕-手求 .x2y2 9(2020上海商考真题)双曲线9：4示=1 ,圆C,:x+y=4+b(b>0)在第一象限交点为 x2 y2 r46=>x Ax,y》曲线x2+y=4+b,>x 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 A (1)若6 ,求b: (2)若b=5,C与x轴交点记为，店，P是曲线「上一点且在第一象限，并满足lPF=8,求∠FPS, b2 0,2+ b (3)过点 2 且斜率为2的直线1交曲线T于MN两点，用b的代数式表示OM.ON,并求出 OM.ON 的取值范围。 10.(2017-上海高考真题)设f(冈=cosx-sinx+2,x∈(0，) )求函数'f( 的单调增区间； ②设△1BC为锐角三角形，角A所对的边4=9， 9所对的边-=5若儿)-0.求48C的直积 考点02解三角形的实际应用 1.(2024上海高考真题)己知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD,存在点A满足 ∠BAC=16.5°，∠DAC=37° ∠BCA= ，则 (精确到0.1度) 319 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 2.(2022上海高考真题)如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA 为半径划定圆D作为保护区域，已知AB=30m,AD=l5m,点E为AB上的动点，点F为CD上的动点， 满足EF与圆D相切， I)若∠ADE=20,求EF的长； (②)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？ (长度精确到0.1m,面积精确到0.01m) 一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026上海黄浦·三模)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R, A,B,C BC 0。 B,C 0.0 为球面上三点，劣弧6C的弧长记为“，设“表示以为圆心，且过，C的圆，同理，圆， 的劣弧AC,AB的弧长分别记为b,C,曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角形，a=b=c,则称其为曲面等 边三角形，线段OA,OB,OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O-ABC设 ∠BOC=a∠AOC=B∠AOB=Y ,则下列结论正确的个数是() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b a, ①若平面△ABC是面积为4“的等边三角形，则a=b=c=R a2+B2=y2 ②若+b2=c,则“ @者a=6c-号，则球通0-C的体积r吕术 3 12 ④若平面aBC为直角三角形，且∠ACB 2,则a2+b2=c2 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2026上海三模)设抛物线C:r=4y的焦点为F,斜率为2的直线与抛物线交于A,B两点，若 AF +BF=7 则os∠AFB的值为() 4 3 万 A.0 B.5 C.2 D.4 3.(2026上海黄浦三模)△ABC中，AC=V2,AB=2,A=45°，P是△ABC外接圆上一点， P=B+“AC,则2+“的最大值是《） √2+1 √2-1 3-√2 5+√2 A.2 B.2 C.2 D.2 二、填空题 5/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2V3 4,(2026上海三模)在△1BC中，a=2,c= 3,A=120°，aABC 的面积为， S2026上海虹山三澳在4BC中，若B.sinC=4C,sB,C的玻影狗量为B则 cosA= 6(20a6上满黄浦模)在418C中，∠1=0,8C=2.则在C上的数章权影的位范围为 7.(2026上海三模)如图，4C为圆锥底面圆◇的直径，4C=4,50=v5,M为C的中点，点8是圆0 上的动点（点M,B在直径AC同侧），当△SBC的面积最大时，点B到平面SMC距离为 B 8.(2026上海·二模)某种健身拉力器的手臂固定支架为BE,需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放 置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、 C四点共线.将小臂视为线段DE,长度为r,大臂视为线段BD,长度为1.3r.在锻炼时要求保持肩关节B 和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之 以紧绷状态从CE拉伸至CA.已知某位运动者健身时CE=0.1r,当弹力绳拉至最长时，∠ABC=3∠ACB」 则此时∠ACB= 度.（结果精确到01度） 9.(2026上海长宁·二模)如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm,宽均为10cm.点 A、B、C、D在同一条直线上，点F在边BE上，点I在边GH上，测得B、C两点间距离为lOCm.为了 使∠BFC=∠HID,则C、D两点间距离为 cm.(精确到0.lcm) 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABC 10. C2026上海三模)在4BC中，B'BC=2:BM.CA=5,则eos∠4BC 11.(2026上海崇明二模)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若A=45°，C=30°， c=V 2,则a 12.(2026上海奉贤·二模)如图所示，A,B,C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分 别为4=29.3°，B=38.20y=25.10 计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得 AD=277米，BE=49米，BC=320米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为米.（结果精确 到1米) EB 13. (2026上海金山二模)已知在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，若点O为△ABC外接圆的圆 心，则BCB0 14.(2026·上海黄浦三模)如图，△ABC的顶点C∈平面Q,点A,B在平面C的同一侧，且 元元 AC=2√2，BC=2.若AC,BC与平面a所成的角分别为3'4，则△ABC的面积的取值范围为一· 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2026·上海三模)如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道.现从B地和C地测量得： ∠DBC=24.2°，∠DCB=35.4°，∠CBA=55.8°，∠BCA=52.9°.若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道 AD长为 公里.（结果精确到0.1公里） B 三、解答题 16.(2026上海三模)已知三角形4BC的角A:B'C所对的边为a’b,c,且b=2:2 +ccosB=a, 延长BC到点D B I)若CD=3,求AD的长； (2)若∠B=2LD,3BC=4CD,求AD的长. 17.(2026·上海三模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C. )若ab、c成等比数列，求证：cosB≥) 2 (②)若A、B、C成等差数列，且b=2,求△ABC的周长I的最大值. 18.(2026上海普陀·二模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 bsinA 5π acos AcosC+ccos2A 6 (1)求角A的大小： ②点0、D分别满足(@1+0)B=0,(O+0C)C=0.D=2DC,花D=0,求 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CO.AB CO.CB+CO.CA的值. 19.(2026·上海杨浦二模)已知函数 f(x)=2sinox (常数0>0). (I)若0=1，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c若 4*引-.a=，求的大 (②)若y=f(x)的最小正周期为兀，将其图像向左平移12个单位，再向上平移(h>0)个单位得到函数 、π =g的网像当引时恒有8)>0，求的政值范围 9/9 专题06 解三角形 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 正弦定理和余弦定理 2017-2026 年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2021-2026 年年均有解答题，2025、2026 年出现压轴类解答题，2017-2024 年以基础填空、单选为主 基础题核心考查正弦定理边角互化、余弦定理求边求角、三角形外接圆半径求解，难度较低；近年变化显著：大量结合三角函数性质、平面向量、基本不等式综合考查，解答题从基础计算转向三角形面积最值、多知识点融合的压轴题，2025 年起压轴题占比大幅提升，对综合推理与计算能力要求显著提高 考点 02 解三角形的实际应用 2022、2024 年有高考真题考查，题型为填空题、解答题；2022 年出现 2 问解答题，2024 年考查填空压轴题，2026 年模拟题大量出现实际场景建模题 基础题考查方位角、距离测量类实际场景的解三角形应用；核心变化为 2022 年创新结合矩形几何图形、切线性质、函数最值综合考查，2024 年新增空间方位类实际场景，2026 年模拟题延伸至球面三角、圆锥几何等拓展场景，对数学建模与综合应用能力要求大幅提升 考点01 正弦定理和余弦定理 1．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______ 【答案】 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【详解】三角形中，， ， 由正弦定理，，， 得． 故答案为：． 2．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则__________． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得. 【详解】， A为的内角， . 故答案为:. 【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题. 3．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________ 【答案】/ 【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解. 【详解】根据余弦定理： ， 得， 由正弦定理△ABC的外接圆半径为. 故答案为:. 4．（2019·上海·高考真题）在中，，且，则____________ 【答案】 【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出. 【详解】由正弦定理可知：，又 由余弦定理可知： 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题. 5．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 6．（2023·上海·高考真题）在中，内角、、所对的边为、、，其中 (1)若，且，求边长的值； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出B根据余弦定理求解； （2）根据正弦定理求出C及c，再由求面积即可. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 解得. （2）因为，所以，所以 因为，所以，， 所以， ， 所以. 7．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称； (1)若点P与点C重合，求的大小； (2)求五边形面积S的最大值， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得，则，设，则，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）解：若点P与点C重合，连接， ， 在中，， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）解：连接， 因为曲线CMD上任一点到O距离相等， 所以， 因为P，Q关于OM对称， 所以， 设，则， 则 ，其中， 当时，取得最大值， 所以五边形面积S的最大值为. 8．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ (1)若，求b、c； (2)若，求c． 【答案】(1)1，； (2)﹒ 【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值． (2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值． 【详解】（1）∵，由正弦定理得， 又，可得， 由于，可得． （2）∵，0＜C＜π， ∴，C＞＞A， . ∵， ∴， 又， 可解得或(舍)， 由正弦定理，可得． 9．（2020·上海·高考真题）双曲线，圆在第一象限交点为，曲线. （1）若，求b； （2）若，与x轴交点记为，P是曲线上一点且在第一象限，并满足，求∠； （3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围. 【答案】（1）2；（2）；（3）. 【解析】（1）由已知且A为曲线、的交点，代入方程并联立方程组求参数即可. （2）根据圆的性质判断P在双曲线上，法一：利用双曲线定义求，结合余弦定理即可求∠；法二：由P是以为圆心，8为半径的圆与双曲线的交点求其坐标，应用向量的坐标表示得到，，利用向量数量积公式即可求∠； （3）由题设得直线，由点线距知与直线l相切并可求切点坐标，再结合双曲线斜率为负的渐近线与直线l平行，即可确定且OM⊥MN，联立、并利用向量数量积的几何意义即可求的范围. 【详解】（1）若，点A为曲线与曲线的交点， ∵，解得， ∴. （2）∵，知，，结合题意有为曲线的两焦点，又P是曲线上一点且在第一象限， ∴当P在圆上，由，不符合圆的性质，故P一定在双曲线部分. 方法一：由双曲线定义知：，， ∴， 在中由余弦定理可得：，则∠. 方法二：，以为圆心，8为半径的圆为，P为其与双曲线在第一象限的交点，又， 可得，解得， ，， ，则∠. （3）设直线，可得原点O到直线的距离，所以直线是圆的切线，若切点为M，则， 设，与圆联立得，解得， ∴，又直线与双曲线得斜率为负得渐近线平行且OM⊥MN， ∴只有当时，直线才能与曲线有两个交点， 由，得，即有，解得或（舍）， 又∵由在上的投影可知：， ∴，即. 【点睛】关键点点睛： （1）由交点及其横坐标代入方程求参数值. （2）利用圆的性质：圆中所有弦中直径最长判断P的位置，再应用双曲线定义、余弦定理或向量数量积的坐标表示求角. （3）由已知确定直线l的方程，结合点线距、双曲线渐近线判断直线l与、的位置关系，进而可得时，直线才能与曲线有两个交点且OM⊥MN，最后联立方程求范围，及由向量几何意义求范围. 10．（2017·上海·高考真题）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，，令求解； （2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解. 【详解】（1）解：，， 令，解得， 所以其单调增区间为. （2）由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 考点02 解三角形的实际应用 1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 2．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切. (1)若∠ADE，求EF的长； (2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²） 【答案】(1)23.3m (2)当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为 【分析】（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，，在直角和直角中分别求出,从而得出答案. （2）先求出梯形的面积的最小值，从而得出梯形FEBC的面积的最大值. 【详解】（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则， 则，所以直角与直角全等 所以 在直角中， 在直角中， （2）设,，则， 所以梯形的面积为 当且当，即时取得等号，此时 即当时，梯形的面积取得最小值 则此时梯形FEBC的面积有最大值 所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为 一、单选题 1．（2026·上海黄浦·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的个数是（    ） ①若平面是面积为的等边三角形，则 ②若，则 ③若，则球面的体积 ④若平面为直角三角形，且，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，劣弧，的弧长分别记为， 记为球面，设，，， 若平面是面积为的等边三角形， 则，则，，故①不正确； 若，则，则，故②正确； 若，则，， 则平面的外接圆半径为，则到平面的距离， 则三棱锥的体积， 则球面的体积，故③正确； 由余弦定理可知 因为，所以，则， 取，，则，， 则，故④不正确. 2．（2026·上海·三模）设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法根据关系可求，再求，，，根据余弦定理求结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立，消可得， 方程的判别式，故， 设，，不妨设， 由已知为方程的根， 所以，， 设点，在准线上的投影分别为，， 因为，所以， 故，所以， 即为方程的根， 故，， 所以，， 又， 由余弦定理，. 故选：B.    3．（2026·上海黄浦·三模）中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 则△ABC为等腰直角三角形. 设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系， 则，，，设，， 则， ，， 因为，即， 所以， 所以， 所以当，即时； 故选：A 二、填空题 4．（2026·上海·三模）在中，的面积为___________ 【答案】 【详解】由余弦定理，代入得， 整理得，解得（负根舍去）； 故 . 5．（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【答案】 /0.5 【分析】由正弦定理边角互化可得，结合投影向量,余弦定理可得三角形为等边三角形，据此可得答案. 【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：. 因在上的投影向量为， 则， 由余弦定理：. 从而即三角形为等边三角形，则. 6．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 【答案】 【分析】确定点的位置，建立平面直角坐标系，根据正弦定理及投影的定义计算求解. 【详解】由正弦定理可得（为外接圆半径） 所以的外接圆半径， 所以点在为弦，圆周角为的两段圆弧上运动，如图所示， 以点为坐标原点，为轴，过点垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则外接圆的圆心在直线上，因为半径， 所以圆心坐标为， 根据对称性，只讨论圆心为这种情况即可， 由向量投影的定义可知 ，当点为直线与外接圆的交点时，投影取得最值， 即或， 结合图形可知，当时，在上的数量投影有最小值，最小值为， 当时，在上的数量投影有最大值，最大值为， 所以在上的数量投影的取值范围为. 7．（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    【答案】 【分析】根据圆锥的几何性质，结合已知条件得出互相垂直关系，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用三角形的性质，求出面积最大值时点坐标，求出平面法向量和相关向量，进而利用点到平面距离公式计算求解． 【详解】连接，由题意可知，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在底面圆上，且点在直径同侧，设， 母线长，为等腰三角形， ， 设边上的高为，则， ， 令，则，开口向下，对称轴为， 当时，面积最大，此时， ，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 点到平面距离为． 8．（2026·上海·二模）某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【分析】先由题意得出 ，，且 ．再设 ，则 ，利用正弦定理表示出 的长度，最后在 中由余弦定理列方程求得 的值． 【详解】由题意可得 B，D，E，C 四点共线，，，，且点 A 为点 E 绕点 D 旋转后的位置，所以 ． 因此 设 ，则 ，所以 在 中，由正弦定理可得所以 在 中，由余弦定理可得 将 ，， 代入，得 两边同除以 ，得 化简可得 令 ，则 解得 ，或 ，或 ． 因为 ，所以 ，故 ． 于是故此时. 9．（2026·上海长宁·二模）如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为.为了使，则、两点间距离为_________cm.（精确到） 【答案】 【分析】在中，分别求得，，再利用三角形相似及正弦定理可求解. 【详解】中，，所以. 所以，. 延长，交于点，则与相似，所以. 所以，所以， 所以. 中，由正弦定理得，即， 所以. 所以 所以、两点间距离为. 10．（2026·上海·二模）在中，，，，则________． 【答案】/ 【分析】根据数量积公式，可得的值，根据余弦定理，可得，代入余弦定理，即可得答案. 【详解】设， 由题意，所以， 又，得， 所以. 11．（2026·上海崇明·二模）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________． 【答案】2 【详解】由正弦定理得，解得. 12．（2026·上海奉贤·二模）如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米） 【答案】 【详解】在中，，，； 由正弦定理可得，整理可得. 在中，， 由正弦定理， 整理可得. 所以 . 13．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 14．（2026·上海黄浦·三模）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 15．（2026·上海·三模）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为____________公里．（结果精确到0.1公里） 【答案】 【分析】设，在，，中利用正弦定理，可求，进而可求. 【详解】由题意：. 设，则. 在中，即. 在中，. 在中，，即. 将以上三式相乘，得：， 从而有：， 所以：. 所以. 在中，，, 所以. 在中，. 故答案为： 三、解答题 16．（2026·上海·三模）已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先结合，利用正弦定理，可求，再在中，利用余弦定理可求. （2）设，，在和中，利用正弦定理构造关系，求的正弦，再在中，利用正弦定理求的长. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 因，代入可得， 因为，所以，由因,所以. 在中，，，， 由余弦定理，， 所以. （2）设，则，设，则. 在中，，由正弦定理，得①， 在中，，由正弦定理，得②. 由得：， 整理得： 可得 . 又为锐角，所以. 在中，由正弦定理，可得， 所以. 17．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【答案】(1)证明： 因为成等比数列，所以. 根据余弦定理： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 代入得：，原不等式得证. (2)6 【分析】（1）由等比数列性质可得，进而结合余弦定理写出的表达式，再利用基本不等式证明； （2）由等差数列性质求出角的值，再结合，利用余弦定理得到的关系式，结合基本不等式求的最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）略 （2）因为成等差数列，所以， 结合三角形内角和，得. 已知，由余弦定理：， 整理可得：，由基本不等式， 代入得：， 因此，当且仅当时取等号. 故周长， 所以周长的最大值为. 18．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得 ，即可解得； （2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和 推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 19．（2026·上海杨浦·二模）已知函数（常数）. (1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； (2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数解析式由，求出角A，再由，利用正弦定理求出，可得角B的大小； （2）由函数图象的变换，求出解析式，由时，求出的取值范围. 【详解】（1）时，函数，，， 中，，所以， ，由正弦定理可得，， 由，所以. （2）函数（常数），的最小正周期为π， 所以，得，即， 所以， 时，，则有，此时， 当时恒有，则有，解得， 所以的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06解三角形 10年真题1年模拟 十年真题分类园 考点01正弦定理和余弦定理 3v2+V6 1.3 万 2.4 2112i 3.3/3 4.vio 5.①)a=25 5V55 (2)4 2v分 6.(1)7 3+3 (2)3 7.(1)arcsin 33 14 e287a 1/4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 81,6 5V30 (2)2· 。11 9.1)2:(2)arccos6:(3)(6+2N5,+w π 10.a2 155 (2)4. © 考点02解三角形的实际应用 1.7.8 2.(1)23.3m ②)当AE=8.7时，梯形EBC的面积有最大值，最大值为255.14 一年模拟练测园 一、单选题 1.B 2.B 3.A 二、填空题 √3 4.3 1 5.20.5 6.【13] 3-5 7.2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.16.7 9.20.4 10.-5-0.2 11.2 12.805 14.[5-15+ 15.2.6 三、解答题 16.)19 239 (2)5 17.(1)证明： 因为a,b,C成等比数列，所以b2=ac 根据余弦定理：c0sB=a+c2-B口2+c2-ac 2ac 2ac 由基本不等式 +c2≥2ac(Q>0,c>0),当且仅当0=C时取等号， 代入得：cosB≥2ac-ac1 2ac2,原不等式得证. (2)6 5π 18.0)6: 3 4 19.a)8-君 2+） 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效