第二章 平面向量（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣高教版中职数学拓展模块上册第二章平面向量，设A/B卷分层训练，B卷通过20选择+5填空+5解答题（120分），强化知识整合与解题能力，适配单元复习，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|20/60|共线向量（题2）、单位向量坐标（题5）、向量数量积（题3）|基础概念辨析与几何直观结合| |填空题|5/20|向量模（题21）、夹角（题24）、数量积（题23）|聚焦核心运算与性质应用| |解答题|5/40|向量共线（题26）、三点共线（题27）、夹角计算（题28）|综合考查知识网络构建，如题27结合不共线向量考方向相反及三点共线，提升推理与应用能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 2．下列四个命题：①零向量与任何向量都平行；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若和都是单位向量，则；④方向相同的向量是共线向量． 其中，是真命题的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 3．已知正方形ABCD的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．在四边形中，，且，则四边形是（　　） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 5．如图所示，的单位向量的坐标是（    ）      A． B． C． D． 6．下列命题中不正确的是 （    ） A． B． C． 与共线 D． 7．如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（   ）    A． B． C． D． 9．如图，已知是边长为2的等边三角形，点分别是的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．如图所示，已知，，点在线段上，且，则等于（    ）    A． B． C． D． 11．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 12．在中，，点E在上，若，则（   ） A． B． C． D． 13．已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（ ） A． B． C． D． 14．已知 三点在一条直线上，则m的值为（    ） A．3 B． C． D．1 15．已知平面向量满足，与方向相同，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 16．若向量， ，与方向相同，则等于（    ）. A．6 B．7 C． D．5 17．已知向量，则等于（   ） A．5 B． C． D．6 18．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 19．在中，，点M满足，则（    ） A． B． C．5 D．6 20．已知点，点Р在函数图象的对称轴上，若，则点P的坐标是（    ）. A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知向量，则___________． 22．已知，若，且，则______． 23．在边长为3的正三角形中，__________. 24．已知向量满足，则与的夹角为___________. 25．已知是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足，则________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知. (1)当为何值时，与共线？ (2)若且三点共线，求的值. 27．已知是平面上两个不共线的向量，，，， (1)若方向相反，求的值； (2)若三点共线，求的值． 28．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 29．已知向量． (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角． 30．设平面三点，，，试求： (1)向量与的夹角的余弦值； (2)与垂直的单位向量的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【分析】根据向量的概念，平行向量与共线向量，零向量与相反向量的概念判断选项即可. 【详解】A选项，长度一样的两个向量，方向不一定相同，不一定相等，故A选项错误； B选项，平行的两个向量为共线向量，故B选项正确； C选项，零向量的大小为0且方向任意，故C选项错误； D选项，方向相反且大小相等的两个向量互为相反向量，故D选项错误. 故选：B. 2．下列四个命题：①零向量与任何向量都平行；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若和都是单位向量，则；④方向相同的向量是共线向量． 其中，是真命题的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由向量的定义依次判断即可. 【详解】①零向量的方向是任意的，根据定义零向量与任何向量都平行，故①正确； ②模相等的两个平行向量除了相等向量，还有相反向量，故②错误； ③若和都是单位向量，的方向可能相反，故③错误； ④由共线向量的定义可知，方向相同的向量是共线向量，故④正确． 故选：C. 3．已知正方形ABCD的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量加法计算所求式即，根据勾股定理求出对角线长度即可求解. 【详解】, 根据正方形边长可得：，则. 故选：D. 4．在四边形中，，且，则四边形是（　　） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】根据相等向量和向量的内积等于0易判断四边形的形状. 【详解】因为, 所以, 所以四边形是平行四边形, 因为, 所以, 所以平行四边形是矩形. 故选:B. 5．如图所示，的单位向量的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量坐标的线性运算，即可求解. 【详解】由图得， 则的单位向量为. 故选：B. 6．下列命题中不正确的是 （    ） A． B． C． 与共线 D． 【答案】B 【分析】根据相等向量，共线向量，零向量等相关概念逐个判断即可. 【详解】对于A，若两个向量相等，则向量的模相等，故A正确， 对于B，向量本身不能比较大小，故B错误， 对于C，若两个向量相等，则两个向量一定共线，故C正确， 对于D，模为0的向量为零向量，故D正确， 故选：B. 7．如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的概念与加法运算可求. 【详解】由题可知，，故A错误； 向量，方向不同，则，故B错误； 因为向量，方向不相反，则，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 8．如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可. 【详解】因为A，B，C三点共线，且，所以， 所以，即， 化简得. 故选：A. 9．如图，已知是边长为2的等边三角形，点分别是的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边三角形、中点以及向量的基本性质分析判断. 【详解】根据向量的加法法则，，A错误； 根据向量减法法则，，B错误； 依题意可知，是等边三角形，故，，则与的夹角为. ， ，C正确； ，D错误． 故选：C． 10．如图所示，已知，，点在线段上，且，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可. 【详解】因为，所以是线段的四等分点， 则. 故选：A. 11．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量的运算，即可求解. 【详解】因为向量， 所以. 故选：C. 12．在中，，点E在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线的性质即可得解. 【详解】因为，所以，    则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 13．已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理及基本定理即可求解. 【详解】因为，是不共线的单位向量， ，，且， 所以存实数，使得，即， 所以，解得. 故选：C 14．已知 三点在一条直线上，则m的值为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 又因为三点共线，. . 故选：B. 15．已知平面向量满足，与方向相同，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与方向相同得出两向量共线的关系，再结合向量模的条件求解. 【详解】因为与方向相同，所以设， 又因为，所以（负值舍去）， 所以. 故选：C. 16．若向量， ，与方向相同，则等于（    ）. A．6 B．7 C． D．5 【答案】C 【分析】由题可设，据此可得的值，计算出的坐标，再利用向量模的坐标表示可求解. 【详解】由题可知，，即， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 17．已知向量，则等于（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标公式求解. 【详解】向量，则， 又，则， 则， 故选：C． 18．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积和公式及向量夹角范围、钝角范围的概念即可求解． 【详解】设为与的夹角，， “与的夹角为钝角”； “与的夹角为钝角”； 综上，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件． 故选：B． 19．在中，，点M满足，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量的坐标表示和已知条件求出点M的坐标，再根据向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示： 由，得， 设点，则 又，则， 所以， 所以. 故选：D. 20．已知点，点Р在函数图象的对称轴上，若，则点P的坐标是（    ）. A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题可设，根据向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】由函数可知，其对称轴为， 因为Р在函数图象的对称轴上，故设， 又，故， 因为， 所以，即，解得或， 所以点P的坐标是或. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知向量，则___________． 【答案】 【分析】根据向量内积的公式，分析求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以方向相反，即夹角为， 所以. 故答案为：. 22．已知，若，且，则______． 【答案】13 【分析】根据向量减法几何意义，向量模的定义，结合勾股定理计算． 【详解】，． ， 故答案为：. 23．在边长为3的正三角形中，__________. 【答案】 【分析】首先求出的夹角，再结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】因为三角形为正三角形，所以. 进而. 又因为三角形的边长为3， 所以. 故答案为：. 24．已知向量满足，则与的夹角为___________. 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量数量积的运算法则即可得解. 【详解】向量满足，， ， 解得， 因为，所以， 故答案为：. 25．已知是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足，则________． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算及内积运算可求. 【详解】    因为等边三角形边长为，设， 则，，， 因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知. (1)当为何值时，与共线？ (2)若且三点共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示列出与的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. （2）由向量线性运算的坐标表示列出的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】（1）已知， , ，因为与共线， ，即，得. （2）已知， 则， ， 三点共线， 即，解得. 27．已知是平面上两个不共线的向量，，，， (1)若方向相反，求的值； (2)若三点共线，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据题意，结合向量共线定理，即可求解； （2）根据题意，结合向量的线性运算，及向量共线定理，即可求解. 【详解】（1）由题意知 ，则存在 ，使得 ， 即 ， 所以 ，解得 ，或 ， 又 方向相反，则 （2）由题意知 ， 由 三点共线得，存在 ，使得 ，即 ， 从而 ，即， 解得 或 ， 所以 或 ． 28．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量内积的定义即可得解； （2）利用向量内积的运算律即可得解； （3）利用向量内积的运算律与向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以. （2）由（1）得，， 所以. （3）因为， 设与的夹角为， 则， 所以，因为，所以. 29．已知向量． (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示求解； （2）由题知，，结合已知条件及向量内积的运算求解即可． 【详解】（1）由题知，，所以， 所以． （2）设向量与向量的夹角为， 由题知，，， 所以，即， 解得，因为，所以， 所以向量与向量的夹角为． 30．设平面三点，，，试求： (1)向量与的夹角的余弦值； (2)与垂直的单位向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量夹角公式求解； （2）根据向量垂直的坐标表示及单位向量的定义求解. 【详解】（1）已知，，，可得，， 则，，， 根据向量夹角公式. （2）由，，可得， 设与垂直的单位向量为， 因为单位向量的模长为，所以，即①， 又因为，所以，即，化简得②， 联立①②解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $