第二章 平面向量（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣高教版中职数学拓展模块上册第二章平面向量核心考点，设A卷基础巩固，覆盖向量概念、运算及应用，适配单元复习，助力夯实知识要点。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|20题/60分|向量定义（单位向量方向）、线性运算（化简）、坐标表示（垂直条件）|结合几何图形（正六边形）考查几何直观，落实数学眼光| |填空|5题/20分|数量积（单位向量夹角）、共线条件（充要关系）|聚焦概念辨析，强化数学思维的严谨性| |解答题|5题/40分|坐标求解（平行四边形顶点）、夹角计算、三点共线证明|通过分步设问（用向量表示、求值）培养推理能力，体现数学语言表达|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法不正确的是（   ） A．向量是既有大小又有方向的量 B．单位向量的模长为1，无方向 C．零向量的模长为0，方向任意 D．互为相反的两个向量之和等于 【答案】B 【分析】根据平面向量的相关概念即可得解. 【详解】向量是既有大小又有方向的量，故正确； 单位向量的模长为1，方向不固定，故错误； 零向量的模长为0，方向任意，故正确； 互为相反的两个向量之和等于，故正确， 故选：. 2．下列说法正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断，即可求解. 【详解】单位向量是指模等于的向量，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反，当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以A选项错误； 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，所以B选项错误； 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行，因为零向量与任意向量都平行，所以C选项错误； 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，所以D选项正确. 故选：D. 3．如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由相等向量的定义，可直接写出与相等的向量. 【详解】相等向量指长度相同方向相同的向量. 由图可知，与相等的向量有. 故选：D. 4．已知，是两个非零向量，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与反向共线 D．存在正实数，使得 【答案】D 【分析】根据已知条件可判断两向量为同向向量，即可选出正确答案. 【详解】因为，是两个非零向量，且， 所以向量与为同向向量，即存在正实数，使得． 故选：D. 5．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量加法、减法运算求解即可. 【详解】. 故选：B. 6．如图所示，正六边形ABCDEF的边长为1，则（   ）    A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量加法的几何运算求解即可. 【详解】根据图知，，所以.    因为正六边形ABCDEF的边长为1，所以， 进而. 故选：D. 7．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量减法法则进行坐标计算易得答案. 【详解】因为. 故选:B. 8．在平行四边形中，为一条对角线.若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算可求. 【详解】在平行四边形中，，， 所以， 所以； 故选：C. 9．已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的夹角为，则由题意求得，再利用两个向量的数量积的定义求得的值，可得的值. 【详解】已知， 设与的夹角为，则， 求得， 故选:B. 10．已知向量不共线，实数满足，则的值等于（    ） A．0 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由两向量相等，由待定系数法列方程组求解即可. 【详解】已知向量不共线， 且， 得，解得， 所以， 故选：B. 11．如图所示，D是边AB的中点，记，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题图结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为是边的中点，， 由题图，得， 故选：A. 12．已知向量与的夹角为，且，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】使用向量内积的定义求解. 【详解】已知向量与的夹角，且， 可得：. 故选：D. 13．已知，，，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量内积的运算律，结合模的运算即可求解. 【详解】由题意知，，， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 14．已知向量，则下列向量中，与向量反向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出与向量反向的单位向量的坐标，根据单位向量的模长为列出方程即可得解. 【详解】由题意可设与向量反向的单位向量的坐标为， 则，解得， 所以与向量反向的单位向量的坐标为， 故选：B. 15．已知向量，，若，则实数（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，所以，， 因为，所以， 即，解得. 故选：A. 16．如图，在中，是中点，，则（    ）    A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】解法一：根据向量的内积公式求解即可； 解法二：先化简为，再由内积的运算律进行求解. 【详解】解法一：由题意得，在中，，则， 在中，，则，则， 所以. 解法二：由题意得，在中，，所以， 因为，又， 所以. 故选：D. 17．已知，，若与垂直，则实数（    ） A．0 B．0或 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示得到与，然后根据向量垂直对应坐标的关系，列出方程即可求解. 【详解】∵，，∴， ∴， ∵与垂直， ∴， ∴或. 故选：B. 18．如图所示，网格中的单元格都是边长为1的正方形，向量，的端点都是网格线的交点，则等于（    ）    A． B． C．8 D．9 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，表示出向量，的坐标，求解出的坐标，结合模长公式求解即可. 【详解】如图所示，以向量的始点为坐标原点，建立平面直角坐标系，    则，， ， 所以. 故选：B. 19．已知等边三角形的边长为1，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义及运算律计算即可. 【详解】由题意， ． 故选：C． 20．已知向量，，若，则=（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的坐标运算求出，再根据向量的模的坐标表示求出即可. 【详解】由向量，，， 可得， 解得， 即， 所以， 那么. 故选:A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．设，为两个单位向量，夹角为，则等于_______. 【答案】/0.5 【分析】由向量的内积的定义求解即可. 【详解】因为，为两个单位向量，夹角为， 所以，且， 所以. 故答案为：. 22．已知向量，，若，则实数________. 【答案】/ 【分析】根据向量线性运算以及向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 因为，所以，解得. 故答案为：. 23．若向量是空间的非零向量，则“”是“”的______条件． 【答案】充分不必要 【分析】利用内积公式、相等相反向量的概念结合条件的充分性及必要性即可求解. 【详解】向量互为反向向量， “”“”， 但“”推不出“”是“”，比如向量互为同向向量， “”是“”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 24．已知向量，若向量与垂直，则_______________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可． 【详解】因为，所以，解得， 故答案为：. 25．已知正方形的边长为2，若分别是的中点，则__________. 【答案】4 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，结合向量的坐标表示，及向量内积的坐标运算，即可求解. 【详解】由题意，以A为原点，建立平面直角坐标系， 因为正方形的边长为2，且分别是的中点， 则， 所以， 所以. 故答案为：4. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．如图，已知平行四边形的三个顶点､､的坐标分别是､､，    (1)求向量； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由､的坐标可得的坐标； （2）设出的坐标，可得的坐标，再由，求解即可. 【详解】（1）四边形是平行四边形， 且顶点､的坐标分别是､， ； （2）设，又， ， 又， ， 即，解得， 顶点的坐标为. 27．已知向量，，. (1)求向量与的夹角大小： (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用向量求夹角的公式，代入数据求出，即可得知两向量之间的夹角. （2）对进行平方，根据向量的内积进行运算，即可求出. 【详解】（1）设向量与的夹角为，， 向量，，， 根据向量夹角公式代入得， 所以， 即向量与的夹角大小为. （2）因为向量，，. 所以， 所以. 28．在平面直角坐标系中，已知． (1)的值． (2)的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干将向量用坐标表示，然后计算即可求解. （2）根据向量的数量积公式，结合（1）即可求解. 【详解】（1）由题， ， 得到. （2）根据向量的数量积公式，， 由（1）可知， ， ， 故的余弦值为. 29．已知向量不共线，且，，． (1)用表示； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量减法运算可直接得到结果； （2）由向量共线可直接构造方程求得结果. 【详解】（1）. （2）因为， 所以，即， 又向量不共线，所以 解得，即的值为． 30．已知非零向量不共线． (1)如果，求证：A、B、D三点共线； (2)欲使和共线，试确定实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平面向量共线定理证明，共线即可； （2）由题意可知，存在实数，使，从而可得的方程组，求解即可. 【详解】（1）因为． 所以，共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线． （2）因为与共线． 所以存在实数，使，则， 由于与不共线，只能有 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法不正确的是（   ） A．向量是既有大小又有方向的量 B．单位向量的模长为1，无方向 C．零向量的模长为0，方向任意 D．互为相反的两个向量之和等于 2．下列说法正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 3．如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（    ）    A． B． C． D． 4．已知，是两个非零向量，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与反向共线 D．存在正实数，使得 5．化简：（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，正六边形ABCDEF的边长为1，则（   ）    A．3 B． C． D．2 7．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．在平行四边形中，为一条对角线.若，，则（ ） A． B． C． D． 9．已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．已知向量不共线，实数满足，则的值等于（    ） A．0 B．3 C．2 D． 11．如图所示，D是边AB的中点，记，，则（      ） A． B． C． D． 12．已知向量与的夹角为，且，则等于（    ） A．1 B． C． D． 13．已知，，，则等于（    ） A．1 B． C． D． 14．已知向量，则下列向量中，与向量反向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 15．已知向量，，若，则实数（   ） A． B．1 C． D．0 16．如图，在中，是中点，，则（    ）    A． B． C．4 D．2 17．已知，，若与垂直，则实数（    ） A．0 B．0或 C． D． 18．如图所示，网格中的单元格都是边长为1的正方形，向量，的端点都是网格线的交点，则等于（    ）    A． B． C．8 D．9 19．已知等边三角形的边长为1，则（   ） A． B． C．0 D．1 20．已知向量，，若，则=（    ） A．5 B． C．6 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．设，为两个单位向量，夹角为，则等于_______. 22．已知向量，，若，则实数________. 23．若向量是空间的非零向量，则“”是“”的______条件． 24．已知向量，若向量与垂直，则_______________. 25．已知正方形的边长为2，若分别是的中点，则__________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．如图，已知平行四边形的三个顶点､､的坐标分别是､､，    (1)求向量； (2)求顶点的坐标. 27．已知向量，，. (1)求向量与的夹角大小： (2)求. 28．在平面直角坐标系中，已知． (1)的值． (2)的余弦值． 29．已知向量不共线，且，，． (1)用表示； (2)若，求的值. 30．已知非零向量不共线． (1)如果，求证：A、B、D三点共线； (2)欲使和共线，试确定实数k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $