综合测试卷（四）-《数学 下册》（劳保版第8版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 本套训练以教材章节为基准，通过AB卷分层巩固与综合卷实战模拟，系统整合数列、排列组合、概率统计等知识，强化数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|单选1-4、填空16、解答19|基础概念（通项、等差等比性质）与实际应用（挂灯笼）结合|从定义推导到求和公式，体现“概念-性质-应用”逻辑链| |排列组合|单选5-8、填空18|含限制条件（甲乙种子、老师坐法）的计数问题|基于分步/分类原理，训练“特殊元素优先”等解题策略| |概率|单选9-12、填空19|互斥对立事件、独立事件、古典概型|从事件关系判断到概率计算，培养逻辑推理与模型应用意识| |统计及其他|单选13-15、填空17、解答21-22|二项式定理、程序框图、分层抽样与频率分布|整合数据处理与算法思想，提升数据意识与综合应用能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 下册》（劳保版第8版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 2. 若数列为等差数列，，则的值为（   ） A． B．0 C． D． 3. 某古街元宵节挂灯笼，第一座牌楼下挂6盏灯笼，从第二座起，每座牌楼下比前一座多挂2盏，一共挂了10座牌楼.那么这10座牌楼共挂了（   ）盏灯笼. A．24 B．150 C．166 D．176 4. 在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A． B．2 C． D． 5. 甲、乙两人计划从，，三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（    ） A．3种 B．6种 C．9种 D．12种 6. 从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子里展览，如果甲乙两种种子不允许放入1号瓶子里，那么不同的方法总数为（   ） A． B． C． D． 7. 用种不同的颜色对下图个区域涂色，每个区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则不同的涂法有（    ）      A．种 B．种 C．种 D．种 8. 有5名学生和2名老师并坐一排合影，若老师不能坐在两端，且要坐在一起，则不同坐法的种数是（   ） A．70 B．240 C．480 D．960 9. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A． “至少有一个黑球”与“都是黑球” B． “至少有一个黑球”与“都是红球” C． “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” 10. 甲乙两人独立解决一道难题的概率分别为和，则该题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 11. 4人参加4×100接力比赛，其中甲不跑第一棒的概率为（   ） A． B． C． D． 12. 用0、1、2、3这四个数字组成一个两位数（数字可以重复），这个两位数不大于30的概率为（    ） A． B． C． D． 13. 在的展开式中，若第2，3，4项的二项式系数成等差数列，则的值是（   ） A．2 B．7 C．9 D．2或7 14. 若数组,,,则等于（    ） A． B． C． D． 15. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16. 已知等比数列的前n项和为，若，则______. 17. 不等式的解为________． 18. 现有4个邮件要找3个快递公司投送，要求每个快递公司至少要有1个邮件，则共有__________种分配方法 19. 有一道数学题，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则两人中至少有一人答对的概率为_____. 20. 如图是一个程序框图，运行输出的结果___________．    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. 已知数列是等差数列，公差，其前n项和为，，且，，，成等比数列 (1)求，，； (2)求数列的通项公式和前n项和 22. 某服装公司有高级设计师2名，中级设计师4名，初级设计师2名，现要选择3名设计师外出进行技术培训． (1)若高级与中级设计师至少各选1名，则有多少种不同选法？ (2)若高级设计师最多选择1名，则有多少种不同选法？ 23. 如图，为美化校园环境，学校将在四块花圃中分别种植甲、乙、丙、丁四种不同的花卉，每种花卉只种在一块花圃中. (1)不同的花卉种植方案共有多少种？ (2)求甲花卉种植在花圃的概率； (3)求甲花卉种植在花圃或花圃的概率. 24. 近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求．为做好职业教育宣传，某地区统计了40名宣传员一年内的宣传服务时间样本（单位：小时）． 时间 频数 3 5 10 12 a 4 (1)求样本中数据落在的频率； (2)现在要从服务时间在中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行调研，求这3人中至少有一人服务时间在的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 下册》（劳保版第8版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析数列的符号、分子、分母的变化规律，整合后即可得到通项公式. 【详解】观察可发现该数列奇数项为正，偶数项为负，因此符号部分为， 各项分子依次为，因此分子为（）， 各项分母依次为，因此分母为（）， 综上，数列的通项公式为. 故选：C. 2. 若数列为等差数列，，则的值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先由等差数列的定义求出公差，再根据等差数列的通项公式进行求解. 【详解】设等差数列的公差为d，因为， 所以， 所以. 故选：B. 3. 某古街元宵节挂灯笼，第一座牌楼下挂6盏灯笼，从第二座起，每座牌楼下比前一座多挂2盏，一共挂了10座牌楼.那么这10座牌楼共挂了（   ）盏灯笼. A．24 B．150 C．166 D．176 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意可知，每座牌楼下挂的灯笼构成一个首项为，公差为的等差数列， 则， 故选：. 4. 在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则， 解得， 当时，计算得，与条件矛盾， 故不成立， 经检验，时成立，所以， 故选：. 5. 甲、乙两人计划从，，三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（    ） A．3种 B．6种 C．9种 D．12种 【答案】B 【分析】根据乘法计数原理结合排除法即可求解. 【详解】甲、乙两人从，，三个景点中各选两个游玩，共有（种）， 但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故共有种选法. 故选：B. 6. 从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子里展览，如果甲乙两种种子不允许放入1号瓶子里，那么不同的方法总数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，在除甲、乙之外的8种种子中任选1种，放进第一号瓶子内，②，在剩下的9种种子中，任选5种，安排在剩下的5个瓶子中， 分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】甲乙两种种子不能放入1号瓶子里，则要从另外8种作物种子里选1种放入1号瓶子中，有种. 再从其余9种不同作物种子中选出5种放入剩余5个不同的瓶子展览，有种，所以由乘法原理得总共有种方法. 故选：B. 7. 用种不同的颜色对下图个区域涂色，每个区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则不同的涂法有（    ）     A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】依题意得一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行.区分1，4同色或异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】解：由题意得一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同. 可分步进行，不同色，区域有种涂法，有种涂法， 有种，有种涂法，有种. 同色，区域有种涂法，有种涂法，有种， 有种. 所以共有种不同的涂色方案． 故选：D 8. 有5名学生和2名老师并坐一排合影，若老师不能坐在两端，且要坐在一起，则不同坐法的种数是（   ） A．70 B．240 C．480 D．960 【答案】D 【分析】根据题意结合排列数的计算即可得解. 【详解】先排5名学生，排法有； 老师不能坐在两端，且要坐在一起，所以在中间个空位中选一个，排法有； 则坐法的种数是， 故选：D. 9. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” 【答案】D 【分析】根据题意，并结合互斥事件和对立事件的概念分析题目，之后再逐个分析每个选项即可求解. 【详解】对于中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生， 所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以不符合题意； 对于中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生， 所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”对立事件，所以不符合题意； 对于中，当从口袋中取值一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以不符合题意； 对于中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意； 故选：. 10. 甲乙两人独立解决一道难题的概率分别为和，则该题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件及对立事件的概率公式求解. 【详解】设“甲解决难题”为事件，“乙解决难题”为事件，所以事件与事件相互独立， 已知，， 可得，， 该题未被攻克的概率为， 所以该题被攻克的概率为：. 故选：B. 11. 4人参加4×100接力比赛，其中甲不跑第一棒的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合排列数求对立事件的概率，再由概率性质求解即可. 【详解】4人参加接力比赛，四人四棒进行全排列有种情况， 其中甲跑第一棒，则剩下三人三棒进行全排列有种情况， 则4人参加接力比赛，记“甲跑第一棒”的事件为，则概率为， 则“甲不跑第一棒”的概率为. 故选：C. 12. 用0、1、2、3这四个数字组成一个两位数（数字可以重复），这个两位数不大于30的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用古典概型公式即可得解. 【详解】因为十位上的数不能为， 所以用0、1、2、3这四个数字组成一个两位数（数字可以重复），个数为； 这个两位数不大于30，则为，共种， 所以概率为， 故选：. 13. 在的展开式中，若第2，3，4项的二项式系数成等差数列，则的值是（   ） A．2 B．7 C．9 D．2或7 【答案】B 【分析】利用通项公式可得展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质列方程求解即可. 【详解】在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数分别为：， 由题可得：，所以， 即， 解得或或. 又展开式中存在第4项，故, 所以. 故选：B 14. 若数组,,,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数组的计算即可得解. 【详解】. 所以. . 所以. 故选:. 15. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意求出样本容量，根据高中生所占比例算出样本容中的高中生人数，根据频率分布直方图即可求出高中生中近视的人数. 【详解】样本容量为：. 样本中高中生人数为：. ∴样本中的高中生近视人数为：. 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16. 已知等比数列的前n项和为，若，则______. 【答案】或 【分析】设出等比数列的公比，根据题意列出等式，再根据通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，已知，. 则，整理得. 因式分解得，解得或. 时，. 时，. 因此的值为或. 故答案为：或. 17. 不等式的解为________． 【答案】 【分析】根据组合数的计算公式化简已知不等式，从而求得不等式的解. 【详解】依题意，所以且， 由得， ， 所以不等式的解为. 故答案为： 18. 现有4个邮件要找3个快递公司投送，要求每个快递公司至少要有1个邮件，则共有__________种分配方法 【答案】36 【分析】根据排列与组合的实际应用，结合分步乘法计数原理，即可求解． 【详解】根据题意，第一步先将4个邮件分为数量为的三组，共有种方法， 第二步，将三组邮件全排到3个快递公司，共有种方法， 故共有种分配方法． 故答案为：36． 19. 有一道数学题，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则两人中至少有一人答对的概率为_____. 【答案】 【分析】计算其对立事件的概率，再用减去对立事件的概率即可求解. 【详解】甲答对的概率为，乙答对的概率为， 则两人都未能答对的概率为， 故至少有一人答对的概率为. 故答案为：. 20. 如图是一个程序框图，运行输出的结果___________．    【答案】4 【分析】模拟执行程序图，即可得出结果. 【详解】模拟执行程序框图， 输入， 满足条件,计算得； 满足条件,计算得； 满足条件,计算得； 不满足条件，退出循环，输出. 故答案为：4. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. 已知数列是等差数列，公差，其前n项和为，，且，，，成等比数列 (1)求，，； (2)求数列的通项公式和前n项和 【答案】(1) ，， (2) 通项公式为，前项和 【分析】（1）先利用等差数列前3项和的性质求出，再结合等比中项性质求出公差，即可得到. （2）根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】（1）等差数列的公差为. 已知，解得. 因为成等比数列，所以， 又，， 所以，化简得， 整理得，解得或（舍）， 所以，. （2）根据（1）知， 则. . 22. 某服装公司有高级设计师2名，中级设计师4名，初级设计师2名，现要选择3名设计师外出进行技术培训． (1)若高级与中级设计师至少各选1名，则有多少种不同选法？ (2)若高级设计师最多选择1名，则有多少种不同选法？ 【答案】(1)32 (2)50 【分析】（1）分情况讨论高级与中级设计师的选择组合，利用组合数公式及分类加法计数原理求解； （2）分情况讨论高级设计师的选择情况，利用组合数公式及分类加法计数原理求解. 【详解】（1）情况一：选1名高级设计师和2名中级设计师，选法有种； 情况二：选2名高级设计师和1名中级设计师，选法有种； 情况三：选1名高级设计师、1名中级设计师和1名初级设计师，选法有种， 根据分类加法计数原理，可得总的选法有种. （2）情况一：不选高级设计师，选法有种； 情况二：选1名高级设计师，选法有种， 根据分类加法计数原理，可得总的选法有种. 23. 如图，为美化校园环境，学校将在四块花圃中分别种植甲、乙、丙、丁四种不同的花卉，每种花卉只种在一块花圃中. (1)不同的花卉种植方案共有多少种？ (2)求甲花卉种植在花圃的概率； (3)求甲花卉种植在花圃或花圃的概率. 【答案】(1)24. (2). (3). 【分析】（1）根据全排列的公式求解. （2）根据排列的概率公式求解. （3）先求出甲花卉种植在花圃或花圃的方案数，再根据古典概率公式求解即可. 【详解】（1）在四块花圃中分别种植甲、乙、丙、丁四种不同的花卉， 每种花卉只种在一块花圃中，属于全排列， 所以有不同的花卉种植方案共有种； （2）甲花卉种植在花圃，剩余三种全排列， 有种方案， 由（1）得不同的花卉种植方案共有种， 则甲花卉种植在花圃的概率. （3）甲花卉种植在花圃有6种方案，同理可得在花圃的也有6种， 两者为互斥事件，所以甲花卉种植在花圃或花圃的方案共有12种， 所以所求概率为. 24. 近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求．为做好职业教育宣传，某地区统计了40名宣传员一年内的宣传服务时间样本（单位：小时）． 时间 频数 3 5 10 12 a 4 (1)求样本中数据落在的频率； (2)现在要从服务时间在中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行调研，求这3人中至少有一人服务时间在的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再根据频率计算公式求解即可. （2）根据分层抽样的特点求出每个区间抽取的人数，再根据对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）根据题意样本容量为40． ，可得． 数据落在的频率为． （2）根据分层抽样方法，在中抽5人， 中抽3人，中抽2人． 设{这3人中至少有一人服务时间在}， . 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $