专题2.2 函数的性质（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2.2 ·函数的性质 【复习目标】 1.理解函数的单调性和奇偶性的概念; 2.能判断一些简单函数的单调性和奇偶性; 3.能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象; 【考点 函数的性质】 一、函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的 ． 二、函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的 M为函数y＝f(x)的 三、函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 ，那么函数f(x)是偶函数 都有 ，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 对称 关于 对称 【即时训练】 一、单选题 1．下列函数在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象经过原点，则函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数在定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数是奇函数的是 （    ） A． B． C． D． 6．函数是偶函数，则实数的值是（    ） A． B．2 C． D． 7．下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 8．若函数为奇函数，则（   ） A．3 B． C．2 D． 9．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 10．下列函数是奇函数的个数有 （   ） ①      ②      ③         ④   A．1 B．2 C．3 D．4      二、填空题 11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_____. 12．若函数是定义在上的奇函数，则________． 13．已知函数为奇函数，为偶函数，且，则_____________． 14．已知为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是________ 15．若函数在区间上是减函数，则______（填“”“”“”） 三、解答题 16．求函数的定义域和单调递增区间． 17．已知函数的图像如图所示，试说明该函数的定义域、值域、最大值、最小值及其单调性． 18．已知函数 (1)求函数的单调区间 (2)求函数的值域 19． 函数是定义在上的增函数，若，求实数的范围. 20．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 20． 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，求实数a的取值范围. 1．（2025湖南对口升学考试第3题）下列函数是增函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024湖南对口升学考试第3题）函数的图像（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 3．（2024湖南对口升学考试第10题）已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（2023湖南对口升学考试第4题）已知奇函数在上是减函数，且，则在上的最小值为（    ） A．-3 B．-2 C．0 D．3 5.（2022湖南对口升学考试第4题）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2.2 ·函数的性质 【复习目标】 1.理解函数的单调性和奇偶性的概念; 2.能判断一些简单函数的单调性和奇偶性; 3.能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象; 【考点 函数的性质】 一、函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． 二、函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的 最大值　 M为函数y＝f(x)的 最小值　 三、函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 【即时训练】 一、单选题 1．下列函数在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合一次函数、反比例函数、分段函数、二次函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为是一次函数，且一次项系数为， 故该函数在R上为减函数，故选项A不符合题意； 因为是反比例函数，且在区间和上是减函数， 故选项B不符合题意； 因为，故函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 故选项C符合题意； 因为是二次函数，图像开口向下，对称轴为轴， 故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数， 故选项D不符合题意； 故选：C. 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质可判断结果. 【详解】由函数可知， 其图象开口向上，且对称轴为， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 3．已知二次函数的图象经过原点，则函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象经过原点求出，再由二次函数的图象和性质判断其单调区间即可. 【详解】因为二次函数的图象经过原点， 所以，， 所以， 函数图象开口向下，对称轴为， 所以函数的单调减区间为. 故选：D. 4．下列函数在定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，二次函数和幂函数的单调性逐个分析即可. 【详解】A，中，，在定义域内为增函数，故A错误， B，中，，图象开口向下， 在上为增函数，在上为减函数，故B错误， C，中，在定义域内为增函数，故C错误， D，中，，在定义域内为减函数，故D正确， 故选：D. 5．下列函数是奇函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是R，关于原点对称， 又， 所以函数不是奇函数，故选项A不符合题意； 因为函数的定义域是R，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，故选项B符合题意； 因为函数的定义域是，不关于原点对称， 故函数是非奇非偶函数，故选项C不符合题意； 因为函数的定义域是R，关于原点对称， 又， 所以函数不是奇函数，故选项D不符合题意； 故选：B. 6．函数是偶函数，则实数的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， 化简得，解得. 故选：C. 7．下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性的性质以及单调性的性质判断选项即可. 【详解】A选项，是反比例函数，其图像关于原点对称，是奇函数， 在，上是减函数，故A选项错误； B选项，是一次函数，其图像关于原点对称，是奇函数， 又在其定义域内为增函数，故B选项正确； C选项，是二次函数，其图像关于y轴对称，是偶函数，故C选项错误； D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故D选项错误. 故选：B. 8．若函数为奇函数，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质求出即可得解. 【详解】因为函数在上为奇函数， 所以，解得， 故函数，， 故选：． 9．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合偶函数的定义，及函数的单调性，即可求解. 【详解】函数为偶函数，， 函数在区间上单调递增，且， ，即． 故选：B. 10．下列函数是奇函数的个数有 （   ） ①      ②      ③         ④   A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义和常见函数的奇偶性判断. 【详解】① 的定义域为，且，所以是偶函数.     ② 的定义域为，且，所以是奇函数. ③ 的定义域为，且，所以是非奇非偶函数. ④的定义域为，且，所以是奇函数. 所以奇函数的个数为2. 故选：B. 二、填空题 11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_____. 【答案】0 【分析】由已知求出的值，再根据奇函数的定义可得结果. 【详解】因为当时，， 所以. 是定义在R上的奇函数，. 故答案为：0 12．若函数是定义在上的奇函数，则________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 则． 故答案为：0. 13．已知函数为奇函数，为偶函数，且，则_____________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，为偶函数， 且， 则， 所以. 故答案为：. 14．已知为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】已知为R上的减函数， 由， 得，即， 所以，得， 即，解得， 所以实数x的取值范围是. 故答案为：. 15．若函数在区间上是减函数，则______（填“”“”“”） 【答案】 【分析】根据减函数的性质即可比较大小. 【详解】已知函数在区间上是减函数， 因为，所以， 故答案为：. 三、解答题 16．求函数的定义域和单调递增区间． 【答案】定义域为，单调递增区间为 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，列不等式确定函数的定义域，再由复合函数的单调性即可解答. 【详解】要使函数有意义， 必须有，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在定义域单调递增， 且的图像开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 17．已知函数的图像如图所示，试说明该函数的定义域、值域、最大值、最小值及其单调性．    【答案】定义域：；值域：，最大值，最小值；单调性：该函数在上是增函数，在上是减函数. 【分析】由函数的图像结合函数的定义域、值域、最值、单调性即可得解. 【详解】由图像可知，函数的定义域为； 值域为，最大值为，最小值； 单调性：该函数在上是增函数，在上是减函数. 18．已知函数 (1)求函数的单调区间 (2)求函数的值域 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的对称轴即可求出单调区间. （2）根据函数的最小值即可求解值域. 【详解】（1）∵函数， ∴对称轴，函数图象开口向上， ∴函数的单调减区间为，单调增区间为. （2）∵函数图象开口向上， 在处，函数有最小值为， ∴函数的值域为. 19．函数是定义在上的增函数，若，求实数的范围. 【答案】或. 【分析】利用函数的单调性可得，从而求出的范围. 【详解】函数是定义在上的增函数且， ，， ，或， 实数的范围为或. 20．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 【分析】（1）（2）根据奇函数与偶函数的定义求解即可. 【详解】（1），定义域为，关于原点对称， ， ，是偶函数． （2），定义域为，且关于原点对称， ， ，是奇函数. 21．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用偶函数的对称性将函数在不同区间的单调性进行转化，然后根据单调性去掉函数符号求解不等式. 【详解】，， 因为是上的偶函数，且在上单调递增， 所以图象关于轴对称，所以在上单调递减. 由于，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 1．（2025湖南对口升学考试第3题）下列函数是增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的单调性即可求解. 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A项错误； 对B：函数是线性函数，斜率为1，当时，随的增加而增加，所以是增函数，故B项正确； 对C：函数在和上分别单调递减，不是增函数，故C项错误； 对D：函数是常数函数，不是增函数，故D项错误. 故选：B. 2．（2024湖南对口升学考试第3题）函数的图像（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数， 奇函数图像关于原点对称. 故选：A. 3．（2024湖南对口升学考试第10题）已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判断出函数为偶函数，再结合单调性由不等式得到，解绝对值不等式求自变量的取值范围即可. 【详解】由可知，函数为偶函数， 且函数在上单调递增，则在上单调递减， 则由可得：， 即，即， 故选：A． 4.（2023湖南对口升学考试第4题）已知奇函数在上是减函数，且，则在上的最小值为（    ） A．-3 B．-2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】由奇函数在上是减函数可知在上也是减函数，再利用单调性求最值即可. 【详解】因为是奇函数且在上是减函数， 所以在上也是减函数， 所以在上的最小值为， 又因为是奇函数，， 所以. 故选：B. 5.（2022湖南对口升学考试第4题）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性. 【详解】A、为偶函数，但在不具有单调性，不符合题意； B、令，，，不是偶函数，不符合题意； C、令，，函数为偶函数，函数图像开口向上，对称轴为，所以函数在为增函数； D、定义域为不具有奇偶性，不符合题意. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $