专题2.1 函数的概念（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2.1 ·函数的概念 【复习目标】 1.理解函数的概念；了解函数的三种表示方法 2.掌握分段函数的含义 3.能够利用分段函数解决一些简单的实际问题 【考点 函数的概念及其表示法】 一、函数的概念及其表示 1.函数的定义域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域　；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域　. (2)如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系　完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法　、图象法和列表法． 二、分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 并集　. 三、函数的定义域 函数y＝f(x)的定义域 1．求定义域的步骤 (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母 不等于0　. (3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0　. (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R　. (5)函数f(x)＝x0的定义域为 {x|x≠0}　. (6)指数函数的定义域为 R　. (7)对数函数的定义域为 (0，＋∞)　. 四、基本初等函数的值域 1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R　. 2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 　；当a<0时，值域为 　. 3．y＝(k≠0)的值域是 {y|y≠0}　. 4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是 (0，＋∞)　. 5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是 R　. 【即时训练】 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一次函数的概念即可求解. 【详解】因为函数是一次函数，定义域为实数集R. 故选：A. 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的最值求解即可. 【详解】因为函数，图像开口向上， 则函数的最小值为，无最大值. 故值域为. 故选：A. 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不等于0，偶次根式被开方数大于等于0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须有，即， 解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4．若，则（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】在函数中令即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A 5．下列函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的相等逐项判断即可得解. 【详解】函数，定义域为， 选项，，定义域为，但与函数对应法则不同，故不是同一函数； 选项，定义域为，与函数定义域不同，故不是同一函数； 选项，，定义域为，与函数定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数； 选项，，定义域为，与函数定义域相同，对应法则不同，故不是同一函数. 故选：. 6．下列各点中，在函数的图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式验证即可. 【详解】因为函数为， A:将代入，解得，所以A选项错误， B: 将代入，解得，所以B选项正确， C: 将代入，解得，所以C选项错误， D: 将代入，解得，所以D选项错误. 故选:B. 7．下列函数中,定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出选项中的具体函数的定义域即可判断. 【详解】对A，，可得，故函数的定义域为，故A错误； 对B，，可得，解得，故函数定义域为，故B错误； 对C，，可得为全体实数，故函数定义域为，故C正确； 对D，，可得，故函数的定义域为，故D错误. 故选：C. 8．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同一函数的概念判断即可. 【详解】函数，定义域为； 对于选项A：函数，定义域为，定义域相同，对应关系相同，与表示同一函数，故A正确； 对于选项B：，定义域为，定义域相同，但对应关系不相同，与不表示同一函数，故B错误； 对于选项C：，定义域为，定义域不同，与不表示同一函数，故C错误； 对于选项D：，定义域为，定义域不同，与不表示同一函数，故D错误； 故选：A. 9．已知函数，则的值是（   ）． A．2 B．4 C．7 D．10 【答案】A 【分析】将代入解析式中求出的值，再将代入合适的解析式求值即可. 【详解】已知函数， 则，解得， 所以，则. 故选：A. 10．已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】将自变量依次代入对应的函数解析式计算即可. 【详解】, 所以. 故选：A. 二、填空题 11．函数的定义域是________________． 【答案】 【分析】根据函数的解析式列出不等式，结合绝对值不等式的解法求解. 【详解】由题意得，得，即，解得， 故函数的定义域为， 故答案为：. 12．已知函数，___________． 【答案】 【分析】将代入函数中即可得解. 【详解】因为函数，所以， 故答案为：. 13．已知函数，则_____. 【答案】2 【分析】根据题意，结合分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为函数， 所以. 故答案为：2. 14．函数，若，则_______________. 【答案】 【分析】将自变量代入即可求解. 【详解】函数， ， ， 故答案为： 15．已知函数若，则的取值范围为_______（用区间表示）． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，分类讨论和两种情况，即可求解. 【详解】由题意，若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时． 综上所述，的取值范围是，即． 故答案为：. 三、解答题 16．求下列二次函数解析式. (1)图象以为顶点，且经过点； (2)图象的最高点是，且图象与轴的一个交点的横坐标为； (3)二次函数的图象经过两点， ，且最大值是. 【答案】(1) ； (2)； (3). 【分析】（1）用顶点式法即可求出二次函数的解析式； （2）用交点式法即可求二次函数的解析式； （3）用顶点式法即可求二次函数的解析式. 【详解】（1） 因为二次函数的图象以为顶点， 所以可设其解析式为， 又因为该函数图象经过点， 所以将代入上式，得，解得， 所以，即. （2） 因为二次函数的图象的最高点是，所以其对称轴为直线， 又因为图象与轴的一个交点的横坐标为，即交点为， 所以该函数图象与轴的另一个交点为， 所以可设二次函数的解析式为， 将点的坐标代入上式得，，解得， 所以，即 . （3） 因为二次函数的图象经过两点， ，所以其对称轴为直线， 又因为最大值是，所以其顶点为， 所以可设其解析式为， 将代入上式得，，解得， 所以，即 17．已知二次函数，且，是方程的两个实根． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用韦达定理可求； （2）利用一元二次不等式的解法可求. 【详解】（1）因为或是方程的两个实根， 所以，从而，，即， 所以． （2）由（1）得，从而即，， 所以，解得或，即或 18．已知函数，且，求的解析式． 【答案】 【分析】根据函数的概念，代入求解即可． 【详解】因为函数，所以， 所以． 19．求函数下面函数的定义域． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由根号下的式子大于等于0，列式计算即可. （2）由分式的分母不为0列式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以有，因式分解有， 解得或， 所以函数的定义域为或. （2）因为， 所以，解得. 所以函数的定义域为. 20．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数的解析式求出定义域即可. （2）根据分段函数的解析式分段讨论即可. 【详解】（1）因为函数，故定义域为； （2）当时，，解得，结合，得； 当时，，解得，结合，得； 综上，的取值范围为. 21．求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据根式函数以及幂函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义， 则，解得. 因此函数的定义域为. 1．（2024湖南对口升学考试第19题）已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）解一元一次不等式和一元二次不等式易得答案； （2）求二次函数和幂函数的最值易得答案. 【详解】（1）时，不等式化为： 或 解得或 所以不等式解为； （2）当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 2．（2023湖南对口升学考试第12题）已知函数若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数性质计算. 【详解】若时，，，不符合题意. 故时，，解得为或4 而此时，故a为. 故答案为：. 3．（2021湖南对口升学考试第18题）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可； （2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解. 【详解】（1）函数的图象如图所示：    （2）， 当时， ，可得：， 当，，可得：， 所以的解集为：， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2.1 ·函数的概念 【复习目标】 1.理解函数的概念；了解函数的三种表示方法 2.掌握分段函数的含义 3.能够利用分段函数解决一些简单的实际问题 【考点 函数的概念及其表示法】 一、函数的概念及其表示 1.函数的定义域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 . (2)如果两个函数的定义域相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和列表法． 二、分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 . 三、函数的定义域 函数y＝f(x)的定义域 1．求定义域的步骤 (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母 . (3)偶次根式函数被开方式 . (4)一次函数、二次函数的定义域均为 (5)函数f(x)＝x0的定义域为 . (6)指数函数的定义域为 (7)对数函数的定义域为 四、基本初等函数的值域 1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是 . 2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 ；当a<0时，值域为 . 3．y＝(k≠0)的值域是 . 4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是 . 5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是 . 【即时训练】 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A．2 B．4 C． D．3 5．下列函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各点中，在函数的图像上的点是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中,定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 8．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，则的值是（   ）． A．2 B．4 C．7 D．10 10．已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 二、填空题 11．函数的定义域是________________． 12．已知函数，___________． 13．已知函数，则_____. 14．函数，若，则_______________. 15．已知函数若，则的取值范围为_______（用区间表示）． 三、解答题 16．求下列二次函数解析式. (1)图象以为顶点，且经过点； (2)图象的最高点是，且图象与轴的一个交点的横坐标为； (3)二次函数的图象经过两点， ，且最大值是. 17．已知二次函数，且，是方程的两个实根． (1)求的解析式； (2)解不等式． 18． 已知函数，且，求的解析式． 19．求函数下面函数的定义域． (1) (2) 20．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若，求的取值范围． 21．求函数的定义域. 1．（2024湖南对口升学考试第19题）已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 2．（2023湖南对口升学考试第12题）已知函数若，则 ． 3．（2021湖南对口升学考试第18题）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $