专题11 对数（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 对数 【复习目标】 1．理解对数的概念，熟练掌握指数式与对数式的互化； 2．能准确认出并计算特殊对数值； 3．熟练默写并运用对数运算法则； 4．掌握换底公式，并能解最简单的一元一次对数方程． 【考点1 指对互化】 1.对数的定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 指数式与对数式的互化 3. 常用对数和自然对数 以10为底的对数叫作常用对数,并把记作 .以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为 . 4.对数的性质： ①loga1＝ ； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)． 【即时训练】 1．将化为对数式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．将化为指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 4．将对数式转化为指数函数式为（   ） A． B． C． D． 5．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是（　  　） A．与 B．与 C．与 D．与 6．函数，则（ ） A．1000 B．100 C．310 D．30 7．设，则底数x的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．若，则________. 9．已知，那么x的值是（   ） A．8 B．42 C．12 D．21 【考点2 对数式的化简、求值】 1. 常用对数和自然对数 以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N. 2.对数的性质： ①loga1＝ ； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)． 3.对数恒等式： alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0) 4.对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 5.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【即时训练】 1．计算的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．设，下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算等于（    ） A．1 B．0 C．3 D． 4．给出下列等式： ①；②； ③；④． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（    ） A． B． C．2 D． 6．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 7．计算（   ） A．12 B． C． D．7 8．（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．________ 10．计算：________. 11．计算__________. 12．计算：______；______． 13．________． 【考点3 已知条件求值】 1.指数式与对数式的互化 2. 对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 3.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【即时训练】 1．，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，用表示为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（　　） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A．3 B．9 C． D．1 6．已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值（    ） A． B． C． D． 8．已知，那么用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 1.（2025·河北对口升学·真题T09）已知，，则 （ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 2. （2023·河北对口升学·真题T18）计算：______. 3. （2022·河北对口升学·真题T18）_______________. 4. （2021·河北对口升学·真题T02）___________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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D:因为，故互换正确. 故选:C. 6．函数，则（ ） A．1000 B．100 C．310 D．30 【答案】A 【分析】利用指数式与对数式的互化可求. 【详解】由，得，则. 故选：A. 7．设，则底数x的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】将对数式转化为指数式后可求解. 【详解】由，可得， 解得. 故选：B 8．若，则________. 【答案】81 【分析】根据对数式与指数式之间的转换即可求解. 【详解】， 故答案为：81 9．已知，那么x的值是（   ） A．8 B．42 C．12 D．21 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴，解得. 故选：A. 【考点2 对数式的化简、求值】 1. 常用对数和自然对数 以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N. 2.对数的性质： ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)． 3.对数恒等式： alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0) 4.对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 5.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【即时训练】 1．计算的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】原式. 故选：B. 2．设，下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】对于A，，故A选项错误， 对于B、C，，故B选项错误；C选项正确， 对于D，，故D选项错误， 故选：C. 3．计算等于（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】B 【分析】由对数的运算性质计算即可. 【详解】. 故选:B． 4．给出下列等式： ①；②； ③；④． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则即可判断. 【详解】解：①正确， ②，错误， ③正确， ④，错误. 所以正确的个数是2个. 故选：B． 5．（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据换底公式化简求解即可. 【详解】. 故选：D. 6．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换底公式结合对数的运算计算即可. 【详解】. 故选：B. 7．计算（   ） A．12 B． C． D．7 【答案】B 【分析】利用对数运算及换底公式化简求值即可. 【详解】 ； 故选：B. 8．（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质可求解. 【详解】. 故选：B 9．________ 【答案】/0.5 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：. 10．计算：________. 【答案】9 【分析】根据指数和对数的运算法则即可求解. 【详解】原式. 故答案为：9. 11．计算__________. 【答案】3 【分析】根据对数的运算计算即可. 【详解】. 故答案为：. 12．计算：______；______． 【答案】 3 2 【分析】由对数的积和商的运算性质求解即可. 【详解】； . 故答案为：3；2. 13．________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 【考点3 已知条件求值】 1.指数式与对数式的互化 2. 对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 3.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【即时训练】 1．，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据对数的运算法则及换底公式，结合题意即可求解． 【详解】因为， 所以． 故选：C． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】， 故选：B. 3．已知，，用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质进行求解即可. 【详解】 故选：C 4．已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】已知，， 则. 故选：B. 5．已知，则（    ） A．3 B．9 C． D．1 【答案】B 【分析】根据对数的换底公式列方程求解即可. 【详解】已知， 则，即， 所以，即， 解答. 故选：B. 6．已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指对互化得，再把利用换底公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， . 故选：C. 7．已知，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：C. 8．已知，那么用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数换底公式，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 1.（2025·河北对口升学·真题T09）已知，，则 （ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合对数的定义求出的值即可得解. 【详解】，， 所以， 故选：. 2. （2023·河北对口升学·真题T18）计算：______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂、对数、三角函数以及组合数的运算性质，即可求解. 【详解】 . 故答案为： 3. （2022·河北对口升学·真题T18）_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题利用度数转化为弧度，对数运算公式，指数幂的化简运算可得结果. 详解】解：由题可知，， ，，， 即知原式为. 故答案为：. 4. （2021·河北对口升学·真题T02）___________. 【答案】2021 【解析】 【分析】根据指数幂和对数的运算公式、特殊三角形的正弦值及组合数的性质和计算即可求解. 【详解】因为，，，， 所以. 故答案为：2021 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $