1.3.2 补集（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的补集运算，涵盖全集与补集的概念、符号表示、Venn图及数轴表示、基本性质与运算。通过班级调查“不喜欢数学人数”和数字卡片“非偶数”情境导入，衔接集合子集知识，搭建“整体与部分”认知支架。 其亮点在于以互动探究为主线，小组讨论建构概念、动手画图理解补集、合作发现德摩根定律，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理性质、用数学语言表达关系的核心素养。题型覆盖基础运算、参数求解等，典例与变式结合，助力学生掌握，教师教学更高效。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第2课时 补集 1.3 集合的基本运算 学 习 目 标 1 2 理解全集和补集的概念，能准确叙述补集的定义 掌握补集的符号表示 能够用Venn图和数轴表示补集 掌握补集的基本性质，并能进行简单运算 体会”整体与部分”的辩证关系，感受数学概念的严谨性 通过生活情境引入，激发学习兴趣，体会数学的应用价值 新课引入 情境一：班级调查问题 提问： 我们班有50名同学，老师想了解”不喜欢数学的同学”有多少人。直接问”不喜欢数学的举手”似乎不太合适，有什么好办法？ 预计： 可以先问”喜欢数学的举手”，然后用总人数减去喜欢的人数。 引导： 这就是”整体减去部分”的思想。在集合中，我们把”全班同学”看作一个整体（全集），“喜欢数学的同学”是一个子集，那么”不喜欢数学的同学”就是这个子集相对于全集的”补集”。 新课引入 情境二：数字卡片游戏 1-20的数字卡片，定义集合 A={x∣x 是1-20中的偶数}。 提问： 1-20中”不是偶数”的数有哪些？它们与集合A有什么关系？ 回答： 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19。它们和偶数合起来就是全部的数。 互动探究 互动环节一：概念建构（小组讨论） 集合的全集与补集 情境 全集U 集合A 不属于A的元素 1-10中的数 {1,2,…,10} {2,4,6,8,10} {1,3,5,7,9} 某班50人 全班50人 男生25人 女生25人 实数集 R Q（有理数） 无理数 讨论问题： 序号 问题 1 每个情境中，“不属于A的元素”有什么共同特征？ 2 这些元素是否一定在某个范围内？这个范围是什么？ 3 如果改变全集U，补集的结果会改变吗？ 补集定义的关键要素——必须相对于某个全集而言。 互动探究 互动环节二：Venn图操作（动手画图） 集合的全集与补集 活动要求： 请同学们在练习本上画出Venn图，用阴影表示 展示交流： 变式画图： 若 A=U，则 =? （空集） 2. 若 A=⌀，则 =? （全集U） 3. 在数轴上表示：U=R，A={x∣x>3}，画出 A 互动探究 互动环节三：性质探究（合作发现） 集合的全集与补集 探究任务： 根据Venn图，小组合作完成下表 性质 数学表达 Venn图验证 补集的基本关系               德摩根定律     互动设计 互动环节四：快速问答（课堂抢答） 集合的全集与补集 规则： 教师出示题目，学生抢答，答对加分 设 U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，则 =? 设 U=R，A={x∣x≥2}，则 =? 若 ={3,4}，U={1,2,3,4}，则 A=? =? （三重补集） 构建体系 集合的补集 1. 全集（Universal Set） 类别 内容 定义 在研究集合问题时，如果一个集合包含我们所研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集。 记法 通常记作 （或 、） 注意 1. 全集是相对的，根据研究问题而定2. 全集并非包含“一切事物”，而是包含所研究问题的全部相关元素3. 举例：研究实数问题时，；研究整数问题时， 构建体系 集合的补集 2. 补集（Complement） 类别 内容 定义 设 是全集， 是 的一个子集（），由 中所有不属于 的元素组成的集合，叫做子集 在 中的补集。 记法 （读作“A在中的补集”） 符号表示 Venn图表示   对全集概念的三点说明 (1)全集的概念可以理解为在研究集合与集合之间的关系时,所 要研究的集合都是某一个集合的子集,就把这个给定的集合称为 全集. (2)全集是对于所研究的问题而言的一个概念,它不是一成不变 的,它会根据所研究问题的不同而有不同的选择,所以说全集是 一个相对的概念. (3)全集通常用大写的字母U表示,但没有硬性规定,只要交代清 楚,可以用任何一个大写的字母来表示全集. 对补集概念的两点说明 (1)补集是相对于全集给出的一个概念,如果没有全集也 就连不上补集,当全集变化时,补集也随之变化,所以 在说补集时必须交代清楚是相对于哪个全集的补集. (2)集合A在全集U中的补集隐含着集合A是集合U的子集 的条件. 构建体系 集合的补集 3. 补集的基本性质 性质 表达式 说明 并集性质 一个集合与其补集合起来是全集 交集性质 一个集合与其补集没有公共元素 双重补集 补集的补集是原集合（对合性） 全集补集 全集的补集是空集 空集补集 空集的补集是全集 包含关系 原包含则补反包含 构建体系 集合的补集 4. 德摩根定律 在集合运算中，补集与并集、交集有如下重要关系： 口诀记忆： “并的补等于补的交，交的补等于补的并” 补集的运算技巧 （1）数轴法（适用于实数集的子集）注意端点： 原集合含端点则补集不含，原不含则补集含 （2）列举法（适用于有限集） 直接列出全集中不属于A的元素 （3）公式法 利用性质和德摩根定律进行转化运算 典例分析 题型1 补集的基本运算 例1 设全集 U={x∣x 是小于9的正整数}，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求： (1) (2) (3) (4) 解： U={1,2,3,4,5,6,7,8} (1) ={4,5,6,7,8} (2) ={1,2,7,8} (3) A∪B={1,2,3,4,5,6} ={7,8} (4) ={4,5,6,7,8}∩{1,2,7,8}={7,8} 观察： (3)和(4)结果相同，验证了德摩根定律！ 典例分析 题型2 用描述法表示的补集 例2 设全集 U=R，求下列集合的补集： (1) A={x∣x>3} (2) B={x∣1≤x<5} 解： (1) ={x∣x≤3} 用区间表示：=(-∞,3] (2) ={x∣x<1 或 x≥5} 用区间表示：=(-∞,1)∪[5,+∞) A B 典例分析 题型3 利用补集性质求参数 例3.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,a,3}，={2,4}，求a的值。 解：由=U可知，A={1,3,5}，故a=5。 例4. 已知全集U={2, 3, +2a-3}，A={|2a-1|, 2}， A={5}，求实数的值. 解析 A={5}，∴5∈U，且5∉A. ∴+2a-3=5，解得a=2或a=-4. 当a=2时，|2a-1|=3≠5，此时A={3, 2}，U={2, 3, 5}，符合题意； 当a=-4时，|2a-1|=9≠5，此时A={2, 9}，U={2, 3, 5}，不符合题意，故a=-4舍去. 综上可得，实数a=2. 求集合运算中的参数问题的解题思路及注意点 对于已知集合的运算结果求参数的值或取值范围的问题,一般先观察得到的集合 中的元素,再列方程(组)或不等式(组)求解,与不等式有关的集合可借助数轴直 观求解.解题时,注意两点: ①在处理含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,防止违背集合中元 素的有关特性,尤其是互异性. ②对于涉及AUB=A或A∩B=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关 集合之间的关系求解,注意空集的特殊性. 典例分析 题型4 综合运算 例5 设全集 U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，={1,3}，求 A∩B。 解： 方法一（直接法）： - 由 ={1,3}，得 B={2,4,5,6} A∩B={1,3,5}∩{2,4,5,6}={5} 方法二（利用性质）： A∩B=A∩， 先求 ={1,3}，则 ={2,4,5,6} ， A∩B={1,3,5}{2,4.5.6}={5} 虽然不一定简单，但不失为一种尝试。 典例分析 题型4 综合运算 例6 设 U=R，A={x∣-2≤x<4}，B={x∣x≥1}，求： (1) (2) ∪B (3) A∩ 解： (1) ={x∣x<-2 或 x≥4} =(-∞,-2)∪[4,+∞) ， B=[1,+∞) ， ∪B=(-∞,-2)∪[1,+∞) 典例分析 题型4 综合运算 例7. (1)已知全集U = {x|x≤4},集合A={x|-2<x<3}, B = {x|-3≤x≤2},求 A∩B, ∪ B, A ∩ (). (2)设全集U = {x|x≤7, x∈N},若() ∩ B = {1, 6}, A ∩ () ={2, 3}, (A ∪ B)={0,5},求集合A, B. 【解析】(1)在数轴上表示出全集U及集合A,B,如图所示, 则A= {x|x≤-2或3≤x≤4}, B = {x<-3或2 < x ≤ 4}. 所以A∩B = {x|-2< x ≤2}; (A) ∪ B = {x≤2或3 ≤ x ≤4}; A∩ (B) = {x|2 < x <3}. （2)根据题目中的条件画出Venn图,如图所示, 所以A={2, 3, 4, 7}, B={1, 4, 6, 7}. 举一反三 1.设全集U={-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-2,0,2}，B={-1,0,1,2,3}，则 (A∩B)=( ) A. {-2,-1,1,3} B. {-2,1,3} C. {-1,1,3} D. {-2,-1} 解析：集合A={-2,0,2}，B={-1,0,1,2,3}，则A∩B={0,2}， 所以 (A∩B)={-2,-1,1,3}。故选：A. 2. 已知集合A={x∣|x-2|≥1}，B={x∣2≤x<4}，则下图中阴影部分表示的集合是( ) A. {x∣1<x<2} B. {x∣2≤x<3} C. {x∣1≤x<4} D. {x∣2<x≤4} 解析： ∵A={x∣|x-2|≥1}={x∣x≤1 或 x≥3}， ∴ A={x∣1<x<3}， ∴( A)∩B={x∣2≤x<3}。故选：B. 举一反三 3.在① B={x∣-3<x<5}，②B={x∣x≥+6}且A∪B={x∣x>a}，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答该问题。已知非空集合A={x∣a<x<8-a}，______，若A∩B=⌀，求实数a 解析：若选①∁_R B={x∣-3<x<5}，则B={x∣x≤-3 或 x≥5}， 因为非空集合A={x∣a<x<8-a}且A∩B=⌀， 所以 解得3≤a<4， 即实数a的取值集合为{a∣3≤a<4}； 举一反三 3.在① B={x∣-3<x<5}，②B={x∣x≥+6}且A∪B={x∣x>a}，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答该问题。已知非空集合A={x∣a<x<8-a}，______，若A∩B=⌀，求实数a 解析：若选①B={x∣-3<x<5}，则B={x∣x≤-3 或 x≥5}， 因为非空集合A={x∣a<x<8-a}且A∩B=⌀， 所以解得3≤a<4， 即实数a的取值集合为{a∣3≤a<4}； 若选② B={x∣x≥+6} 且 A∪B={x∣x>a}， 又非空集合 A={x∣a<x<8-a} 且 A∩B=⌀， 所以解得 a=1 或 a=-2， 即实数 a 的取值集合为 {-2,1}。 举一反三 4.设集合 M={x∣x>1,x∈R}，N={y∣y=2,x∈R}，P={(x,y)∣y=x-1,x∈R,y∈R}， 则 ()∩N=▁(  )，M∩P=▁(  )。 解析：因为 M={x∣x>1,x∈R}，所以 M={x∣x≤1,x∈R}， 又 N={y∣y=2,x∈R}={y∣y≥0}，所以 ( M)∩N={x∣0≤x≤1}。 因为 M={x∣x>1,x∈R} 表示数集，而 P={(x,y)∣y=x-1,x∈R,y∈R} 表示点集， 所以 M∩P=⌀。 学海拾贝 1. 核心概念 两个核心：全集（研究范围，具有相对性）、补集（全集中去除子集剩余元素）。 关键前提：补集必须依托全集存在，无全集则无补集。 2. 核心方法 数形结合：有限集合看Venn图，无限数集看数轴，快速直观解题。 运算顺序：先子集交并运算，再求补集，灵活运用德摩根定律简化运算。 学海拾贝 3. 核心性质 互补全覆盖、互斥无交集、双重补集还原，熟记五大基础性质与德摩根定律。 4. 易错提醒 注意全集范围的变化；无限区间补集重点关注端点取舍；区分“交的补”与“补的交”。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $