4.7牛顿运动定律的应用 课时6动力学中的等时圆模型（举一反三·讲义）物理人教版必修第一册

本讲义聚焦高中物理动力学的等时圆模型核心知识点，从基本模型构建（竖直平面内圆的弦轨道下滑时间规律）出发，通过理论推导得出等时结论，进而拓展至汇聚模型、双圆相切模型，最终学习辅助等时圆构建及极值问题，形成从基础到应用的递进式知识支架。 该资料以游乐场过山车轨道设计为情景导入激发兴趣，通过模型建构（如基本模型、双圆模型）和科学推理（理论推导、例题变式分析）培养科学思维。课中例题与变式层层递进助力理解，课后作业涵盖不同模型应用，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

· 4.7牛顿运动定律的应用 · 课时6动力学的等时圆模型 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在游乐场的过山车轨道设计中，工程师们常常面临一个挑战：如何让乘客在不同的轨道路径上体验到相似的刺激感，同时保证安全？在物理学中，有一种特殊的几何模型能够解释这一现象——等时圆模型。它揭示了物体在重力场中沿不同路径下滑时的奇妙规律。让我们一起探索这个充满魅力的物理世界吧！ 知识点一、等时圆的基本模型与规律 1.模型构建：在一个竖直平面内的圆中，从最高点引出任意一条弦、、，这些弦代表光滑的直轨道。让同一小球从点由静止释放，沿不同的弦下滑。 2.理论推导： 设圆的直径为，某弦与竖直方向夹角为，轨道长度，小球下滑的加速度（由重力沿斜面分力产生）。由匀变速直线运动公式得：。解得 。 3.结论：时间与夹角无关，即沿任意弦下滑的时间相等，且等于沿直径自由落体的时间。 例题1、如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°。三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为、、，则三者之间大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设弦与竖直方向夹角为，球的半径为R，由小环沿弦做匀加速运动有 解得运动时间为 与弦与竖直方向夹角无关，所以小环运动到最低点的时间相等。 故选A。 变式1-1、图所示，竖直圆环中有多条起始于A点的光滑轨道，其中AB通过环心O并保持竖直。一质点分别自A点沿各条轨道下滑，初速度均为零。那么，质点沿各轨道下滑的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，加速度越大 B．质点沿着轨道AB下滑，时间最短 C．轨道与AB夹角越小（AB除外），滑到底端时速率越大 D．质点到达圆周上时速率都相同 【答案】C 【详解】A．设轨道与竖直线AB的夹角为θ，根据牛顿第二定律可得 由此可知，质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，加速度越小，故A错误； B．根据等时圆模型特点可知，无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同，故B错误； CD．根据运动学公式可知，轨道与AB夹角越小，则加速度越大，所用时间相同，滑到底端时速率越大，故C正确，D错误。 故选C。 变式1-2、如图所示，PQ为圆的竖直直径，AQ、BQ、CQ为三个光滑斜面轨道，分别与圆相交于A、B、C三点。现让三个小球（可以看作质点）分别沿着AQ、BQ、CQ轨道自端点由静止下滑到Q点，运动的时间分别为t1、t2和t3，运动的平均速度分别为v1、v2和v3。则有（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．设任一斜面与水平方向的夹角为，圆的直径为d。根据牛顿第二定律得 斜面的长度为 则由 解得 可见，小球下滑时间与斜面的倾角无关，则有 故A错误；B正确； CD．根据 又 则 故C正确；D错误。 故选BC。 变式1-3、如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环（未画出），两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用、、分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设Ob与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得Oa与竖直方向的夹角为，环沿Oa下滑时的加速度大小为 沿Ob下滑时的加速度大小为 设Ob长为L，由几何关系得Oa长为，根据运动学公式有 ， 解得 ， 由此得到 t1＜t2 根据等时圆原理可得到 因此 t1=t3，t2＞t3=t1 故AB错误，CD正确。 故选CD。 知识点二、等时圆的汇聚模型与双圆模型 模型拓展1：汇聚模型 若将轨道的公共端点设在圆周的最低点，从圆周上不同点、、由静止释放小球，它们滑向最低点的时间也相等。 证明思路：利用对称性或逆向思维，将汇聚过程视为从点出发的逆过程，加速度和位移分量关系依然满足等时条件。 模型拓展2：双圆相切模型 两个竖直圆环相切于一点，且两圆的竖直直径均过切点。质点沿过切点的不同光滑弦（一端在大圆，一端在小圆），由静止开始滑到下端，所用时间相等。 核心逻辑：各弦依然是各自所在圆的弦，且公共端点为最高点或最低点，满足等时圆基本条件。 例题2、如图所示，在监直平面内建立直角坐标系，该平面内有、、三条光滑固定轨道，其中、两点处于同一个圆上，是圆上任意一点，、分别为此圆与、轴的切点。点在轴上且，为圆心。现将、、三个小球分别从、、点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到点，如所用时间分别为、、，则、、大小关系是（　　） A． B． C． D．由于点的位置不确定，无法比较时间大小关系 【答案】C 【详解】由题意可知A、C、M三点处于同一个圆上，且圆心与M点在同一竖直线上，设圆的半径为，从圆上任意一点与M点构成一光滑轨道，该轨道与竖直方向的夹角为，如图所示 小球从轨道顶端静止滑下的加速度为 根据运动学公式可得 联立可得小球从轨道顶端到底端M点所用时间为 可知从圆轨道任一点滑到底端M点所用时间与倾角无关，则有 由图可知，若小球从BM轨道与圆轨道交点静止滑下，则所用时间与A点、C点滑下所用时间相同，由于B点处于圆轨道上方，则有 故选C。 变式2-1、如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上面圆的半径为R，下面圆的半径为r。轨道EF长度为 滑块沿EF下滑的加速度由受力分析可知 由公式 可得运动时间 轨道与竖直方向的夹角越小，时间越短，根据判断 故选B。 变式2-2、如图所示，位于竖直平面内的固定圆环与水平面相切于点，为圆环的直径，、为圆环内的两条弦，沿、固定两条光滑直杆。两个相同的小球、分别穿在两杆上，静止于点和点。现对两球施加竖直向上、大小相同的力，使、两球分别由静止开始沿杆、运动到点，则（　　） A． B． C． D．无法比较两球运动到点的时间 【答案】B 【详解】设光滑直杆与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律有 直杆的长度为 则有 得 可知，运动时间与角度无关，则 故选B。 变式2-3、倾角为θ=30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=S，在C点竖直地固定一长S的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点同时由静止释放，分别沿两钢绳滑到钢绳末端.如图所示，不计一切阻力影响，则小球在钢绳上滑行的时间tAC：tAB为（　　） A．1：1 B．：1 C．1： D．：1 【答案】A 【详解】设CO为l，则 BO=AO=CO=l 小球在钢绳AC上滑行，加速度 aAC=gsin30° 位移 SAC=l 由 则 tAC=2s 小球在钢绳AB上滑行，加速度 aAB=gsin60° 位移 SAB=l 由 则 tAB=2s 则小球在钢绳上滑行的时间 tAC：tAB=1：1 故选A。 知识点三、辅助等时圆与极值问题 当题目中没有现成的圆时，可以通过作辅助圆来比较时间。 1.定顶点：以物体的出发点（或汇聚点）为圆的最高点（或最低点）。 2.作圆：以某条已知轨道为弦，作圆心在竖直线上的圆。 3.比较： (1)若另一轨道的末端恰好在圆周上，则时间相等。 (2)若另一轨道的末端在圆内，则时间较短（因为相当于直径变小）。 (3)若另一轨道的末端在圆外，则时间较长。 极值结论：在所有可能的下滑路径中，沿竖直方向（即圆的直径）的路径时间最短（注：此处指在固定起点和终点区域时的比较，通常等时圆内的直径路径对应最短时间）。 例题3、如图所示，一圆环竖直放置，圆心为O，从圆上一点A引三条倾角不同的光滑轨道AB、AC、AD到圆周上，已知C为圆环最低点，D为C附近一点，现将小球从A点分别沿AB、AC、AD三个斜面静止释放，设小球到达圆周上的速率分别为、、，经历的时间分别为、、，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．小球从A点分别沿AB、AC、AD三个斜面静止释放，由图可得相对A点沿竖直方向有最大高度为斜面AC，其次为AD，最小为AB，下降过程中，根据动能定理可知， 故v1＜v3＜v2 故AB错误； CD．设斜面倾角为θ，则沿斜面下滑加速度为a=gsinθ 倾角越大，加速度越大，由图可得，在AB斜面运动，加速度最小，其次为AC，最大为AD，同时AB斜面长度最长，其次为AC，最小为AD，根据x=at2 可知运动时间t1＞t2＞t3 故C正确，D错误。 故选C。 变式3-1、如图所示，有直角三角形光滑轨道框架，其中AB竖直。。小球1、2分别沿轨道AB、AC从A点由静止开始运动，到B、C点对应的时间分别为、，小球3沿轨道CB从C点由静止开始运动，到B点的时间为。则下列时间的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知中，竖直，根据几何关系：直角顶点一定在以为直径的圆上。 计算：设，小球1沿自由下滑，加速度，由得：。 计算：设，则，小球沿下滑的加速度，由，约去得： 计算：，小球沿下滑的加速度，由，约去得：。 故选D。 变式3-2、如图所示，在竖直面内有一圆环，为水平线。圆周上有三根互成的光滑杆、、，每根杆上各套着一个小球，将这些小球从三根杆的顶端分别下滑至点，所用的时间分别为，则其关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】审题可知点并不是圆的最低点，无法直接使用“等时圆”模型，但可间接使用，以点为最低点，取合适的竖直半径作等时圆，使点落在圆周上，圆周交与点，如图所示 由等时圆结论可知 由图可知， 故 故选B。 变式3-3、某次洪灾紧急救援行动中，江西鹰潭蓝天救援队发现一灾民被困在水中礁石上。如图所示，礁石可看作一半球，其最高点纵截面圆心为O，半径为R，离礁石最近的岸上有一定点A，已知A点距离水面高为H，OA=L，水面上礁石最右端离岸水平距离x<H（x未知），现设计从A点架设一条倾斜的光滑滑道到礁石上，要求救援队员从滑道顶端由静止下滑到达礁石表面所用时间最短，则最短时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示 AB垂直水面于B点，过A点作一个圆心在AB上的竖直圆，使圆与礁石半圆表面相切于P点，由于 x<H 圆心必定在AB之间，设半径为r。根据等时圆规律，沿 AP 下滑必定时间最短，且最短时间，有 解得最短时间为 连接必定与P三点共线。有几何关系得 解得 可得最短时间为 故选D。 模块三 课后作业 1．如图所示，虚线是竖直平面的圆，固定的光滑细杆交于圆的最低点O。现套在杆上的小球甲、乙同时从图示位置由静止释放，并运动到O点，上述整个过程中两球的速度大小v随时间t变化的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设杆与竖直方向夹角为θ，圆的半径为R，根据牛顿第二定律可得 mgcosθ=ma 甲的加速度为 a=gcosθ 由速度与位移公式可得 v2=2ax=2×gcosθ×2Rcosθ 解得 运动时间 故可知θ越小时，速度越大，故乙的速度大，两者时间相同。 故选B。 2．某儿童立体游乐场，在水平一、二、三层平台之间建造了三个滑梯、、，三个滑梯分别位于三个平行的竖直平面内。从侧面看如图所示，滑梯可看作光滑的斜面。其中与垂直，的中点在A点的正上方。小朋友从三个滑梯顶端均由静止开始下滑，到达该滑梯底端所用的时间分别为、、。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，以A、B、C三点构建一个竖直面内的圆，A为圆与第一层水平面的切点， 由题可知BC为该圆一条直径，所以A为最低点，AB、AC为圆的两条弦，根据等时圆知识可知 故选D。 3．如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3:2:1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为（　　） A． B． C．3:2:1 D．1:1:1 【答案】A 【详解】根据等时圆模型，如图所示 只需要求出A′P、B′P、C′P，的时间之比，设最小圆的直径为d，则 故选A。 4．如图所示，O、A、B、C、D在同一圆周上，OA、OB、OC、OD是四条光滑的弦，若一小物体由静止从O点开始下滑到A、B、C、D所用的时间分别为tA、tB、tC、tD，则（　　） A．tA＜tB＜tC＜tD B．tA＞tB＞tC＞tD C．tA=tB=tC=tD D．无法判断 【答案】C 【详解】物体沿光滑斜面下滑，根据牛顿第二定律可得 解得物体的加速度a＝gcos θ θ是斜面与竖直方向的夹角，在斜面上的位移s与圆的半径的关系s＝2Rcosθ 由运动学规律2Rcosθ＝at2 联立解得 可见运动时间与斜面长度及其倾斜程度无关。 故选C。 5．如图所示，圆环和点在同一竖直平面内，在环上取一点与连成光滑直轨道，一物块由静止开始从点滑向圆环。是圆环的最高点，是圆环的最右端，是圆环与地面的接触点，是与环的交点，为圆心，是与环的交点，物块滑到圆环上所需的最短时间为（　　） A．沿轨道运动的时间 B．沿轨道运动的时间 C．沿轨道运动的时间 D．沿轨道运动的时间 【答案】C 【详解】如图所示 过点画一竖直线，以此作为斜边，再分别以作为直角边，构造直角三角形，可见过D的直角三角形的斜边最短，对应的等时圆半径最小，则沿轨道运动的时间最短，故选C。 6．如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，且A、B、C和D四点在同一竖直圆上，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为（　　） A．1∶1∶1 B．5∶4∶3 C．25∶16∶9 D．3∶4∶5 【答案】A 【详解】设，，，a、b、d三小球在各杆上滑行的时间分别为、、，加速度分别为、、，由几何知识得，BC的倾角为，DC的倾角为，如图所示 a球为自由下落过程，，由 得 根据牛顿第二定律得沿BC下滑的小球，加速度为 由位移时间公式得 得 沿DC下滑的小球，加速度为 由位移时间公式得 得 所以 故选A。 7．如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为、、、，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【详解】由几何关系可求1轨道长 根据牛顿第二定律可得加速度大小为 根据位移—时间关系可得 联立解得 同理可求得在轨道2上时间； 由几何关系可求得轨道3长 根据牛顿第二定律可得加速度大小为 根据位移——时间关系可得 联立解得 同理可求得在轨道4上时间。 故ACD均错，B正确。 故选B。 8．如图所示，竖直面内有一个固定圆环，MN是它在竖直方向上的直径。两根光滑滑轨MP、QN的端点都在圆周上，MP>QN。将两个完全相同的小滑块a、b分别从M、Q点无初速度释放，在它们各自沿MP、QN轨道运动到圆周上的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．b滑块受到的弹力较小 B．a滑块的加速度较小 C．a滑块与b滑块的运动的时间相等 D．a滑块受到的合力较小 【答案】C 【详解】A．设滑轨与竖直直径的夹角为，圆环的半径为R，对滑块受力分析可得，滑块所受的支持力大小为 MP与竖直方向的夹角比QN与竖直方向的夹角小，所以滑块受到的弹力较小，故A错误； B．根据牛顿第二定律可得滑块的加速度大小为 MP与竖直方向的夹角比QN与竖直方向的夹角小，所以滑块的加速度较大，故B错误； C．滑块沿滑轨运动的位移为，根据位移时间关系有，可得滑块沿滑轨运动的时间为，所以两滑块运动时间相等，故C正确； D．所受合外力大小为 MP与竖直方向的夹角比QN与竖直方向的夹角小，滑块受到的合力较小，故D错误； 故选C。 9．某玩具装置如图所示，竖直面内固定三根光滑直杆、、，其上端点分别为、、，位于的正上方，、。套在杆上的小圆环分别从、、三点由静止沿、、滑下，滑到下端点的时间分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以OB为直径做等时圆，交AO于D点，如图 由等时圆可知，圆环从B、C、D三点滑到O点的时间相等，可知。 故选D。 10．如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度，若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（　　） A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点 C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点 【答案】D 【详解】令半球形容器的半径为，滑板的倾角为，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有 根据位移公式有 解得 可知时间与滑板的倾角和板的长度均无关，故三个滑块同时到达点。 故选D。 11．如图所示，圆环竖直固定放置在水平面上，两个光滑轨道固定在圆环上，两轨道与竖直方向的夹角均为，分别经过圆环的最低点、圆心，甲、乙两小球分别从轨道的最高点由静止开始释放，，则甲、乙到达斜面底端的速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆环的半径为，由等时圆原理，甲的运动时间等于沿竖直方向的直径做自由落体的运动时间，由可得 乙的运动位移为，对乙受力分析，由牛顿第二定律，加速度 由，可得 由此可得 斜面的倾角相等，甲、乙的加速度相等，由可得甲、乙到达斜面底端的速度之比为 故选B。 12．如图所示，在竖直平面内有一大圆环，其中O为圆心，AB为竖直直径，OP与直径AB的夹角为α，PC与AB平行。现有一小圆环分别套在粗糙杆PB、PC、PD上，分别由P点运动到B、C、D点，运动时间为、、，其中小圆环直径略大于粗糙杆的直径，摩擦因数，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当落点在PC右侧时，延长PO交圆于E点，过P点作圆的切线，设PD与切线夹角为，如图所示 根据几何关系可知 根据牛顿第二定律可得 解得 根据位移时间关系可得 解得，则运动时间与无关，即 当沿PB运动时，根据牛顿第二定律可得 根据几何关系可知 根据位移时间关系可得 解得，则，故ACD错误、B正确。 故选B。 13．如图所示，平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，y轴沿竖直方向。可伸缩的光滑细杆一端位于O点，另一端位于点，将小环套在杆上从O点由静止释放后，经时间滑到细杆的另一端P点；现将细杆伸缩绕O点旋转后使另一端位于点，还将小环从O点静止释放，要使小环滑到细杆的另一端点Q的时间仍为，则满足要求的Q点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设细杆与轴正方向夹角为，小环质量为，小环沿细杆下滑时，沿细杆方向，根据牛顿第二定律有 解得 设细杆长度为，小环从静止释放，根据运动学公式 细杆一端在点，另一端坐标为，则细杆长度为 又因为 所以 进一步整理得 若运动时间仍为，由 可知，Q点坐标涉及的表达式值应与第一次一致（处于同一等时圆中），对于第一次，表达式的值为 A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D正确。 故选BD。 14．如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环（未画出），两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是（　　） A．t1＝t2 B．t2>t3 C．t1<t2 D．t1＝t3 【答案】BCD 【详解】设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d无初速度释放的小滑环到达a点的时间相等，即tca＝t1＝t3 而由c→a与由O→b滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相等，初速度均为零，但加速度aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca 即t2>t1＝t3 故选BCD。 15．如图所示，让物体同时从竖直圆上的P1、P2处由静止开始下滑，沿光滑的弦轨道P1A、P2A滑到A处，P1A、P2A与竖直直径的夹角分别为、则（　　） A．物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为 B．物体沿P1A、P2A下滑到A处的速度之比为 C．物体沿P1A、P2A下滑的时间之比为11 D．两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为 【答案】BCD 【详解】A．物体受重力、支持力，根据牛顿第二定律得 所以物体沿P1A、P2A下滑加速度大小之比为，故A错误； BC．设圆的半径为，物体的位移为2Rcosθ，则 解得，与夹角无关，所以物体沿P1A、P2A下滑时间之比为1：1 由，所以物体沿P1A、P2A下滑速度之比为，故BC正确； D．加速度大小之比为，两物体质量相同，根据牛顿第二定律，可得合外力之比为，故D正确。 故选BCD。 第12页，共24页 第13页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 4.7牛顿运动定律的应用 · 课时6动力学的等时圆模型 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在游乐场的过山车轨道设计中，工程师们常常面临一个挑战：如何让乘客在不同的轨道路径上体验到相似的刺激感，同时保证安全？在物理学中，有一种特殊的几何模型能够解释这一现象——等时圆模型。它揭示了物体在重力场中沿不同路径下滑时的奇妙规律。让我们一起探索这个充满魅力的物理世界吧！ 知识点一、等时圆的基本模型与规律 1.模型构建：在一个竖直平面内的圆中，从最高点引出任意一条弦、、，这些弦代表光滑的直轨道。让同一小球从点由静止释放，沿不同的弦下滑。 2.理论推导： 设圆的直径为，某弦与竖直方向夹角为，轨道长度，小球下滑的加速度（由重力沿斜面分力产生）。由匀变速直线运动公式得：。解得 。 3.结论：时间与夹角无关，即沿任意弦下滑的时间相等，且等于沿直径自由落体的时间。 例题1、如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°。三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为、、，则三者之间大小关系为（　　） A． B． C． D． 变式1-1、图所示，竖直圆环中有多条起始于A点的光滑轨道，其中AB通过环心O并保持竖直。一质点分别自A点沿各条轨道下滑，初速度均为零。那么，质点沿各轨道下滑的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，加速度越大 B．质点沿着轨道AB下滑，时间最短 C．轨道与AB夹角越小（AB除外），滑到底端时速率越大 D．质点到达圆周上时速率都相同 变式1-2、如图所示，PQ为圆的竖直直径，AQ、BQ、CQ为三个光滑斜面轨道，分别与圆相交于A、B、C三点。现让三个小球（可以看作质点）分别沿着AQ、BQ、CQ轨道自端点由静止下滑到Q点，运动的时间分别为t1、t2和t3，运动的平均速度分别为v1、v2和v3。则有（　　） A． B． C． D． 变式1-3、如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环（未画出），两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用、、分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点二、等时圆的汇聚模型与双圆模型 模型拓展1：汇聚模型 若将轨道的公共端点设在圆周的最低点，从圆周上不同点、、由静止释放小球，它们滑向最低点的时间也相等。 证明思路：利用对称性或逆向思维，将汇聚过程视为从点出发的逆过程，加速度和位移分量关系依然满足等时条件。 模型拓展2：双圆相切模型 两个竖直圆环相切于一点，且两圆的竖直直径均过切点。质点沿过切点的不同光滑弦（一端在大圆，一端在小圆），由静止开始滑到下端，所用时间相等。 核心逻辑：各弦依然是各自所在圆的弦，且公共端点为最高点或最低点，满足等时圆基本条件。 例题2、如图所示，在监直平面内建立直角坐标系，该平面内有、、三条光滑固定轨道，其中、两点处于同一个圆上，是圆上任意一点，、分别为此圆与、轴的切点。点在轴上且，为圆心。现将、、三个小球分别从、、点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到点，如所用时间分别为、、，则、、大小关系是（　　） A． B． C． D．由于点的位置不确定，无法比较时间大小关系 变式2-1、如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（　　） A． B． C． D． 变式2-2、如图所示，位于竖直平面内的固定圆环与水平面相切于点，为圆环的直径，、为圆环内的两条弦，沿、固定两条光滑直杆。两个相同的小球、分别穿在两杆上，静止于点和点。现对两球施加竖直向上、大小相同的力，使、两球分别由静止开始沿杆、运动到点，则（　　） A． B． C． D．无法比较两球运动到点的时间 变式2-3、倾角为θ=30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=S，在C点竖直地固定一长S的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点同时由静止释放，分别沿两钢绳滑到钢绳末端.如图所示，不计一切阻力影响，则小球在钢绳上滑行的时间tAC：tAB为（　　） A．1：1 B．：1 C．1： D．：1 知识点三、辅助等时圆与极值问题 当题目中没有现成的圆时，可以通过作辅助圆来比较时间。 1.定顶点：以物体的出发点（或汇聚点）为圆的最高点（或最低点）。 2.作圆：以某条已知轨道为弦，作圆心在竖直线上的圆。 3.比较： (1)若另一轨道的末端恰好在圆周上，则时间相等。 (2)若另一轨道的末端在圆内，则时间较短（因为相当于直径变小）。 (3)若另一轨道的末端在圆外，则时间较长。 极值结论：在所有可能的下滑路径中，沿竖直方向（即圆的直径）的路径时间最短（注：此处指在固定起点和终点区域时的比较，通常等时圆内的直径路径对应最短时间）。 例题3、如图所示，一圆环竖直放置，圆心为O，从圆上一点A引三条倾角不同的光滑轨道AB、AC、AD到圆周上，已知C为圆环最低点，D为C附近一点，现将小球从A点分别沿AB、AC、AD三个斜面静止释放，设小球到达圆周上的速率分别为、、，经历的时间分别为、、，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3-1、如图所示，有直角三角形光滑轨道框架，其中AB竖直。。小球1、2分别沿轨道AB、AC从A点由静止开始运动，到B、C点对应的时间分别为、，小球3沿轨道CB从C点由静止开始运动，到B点的时间为。则下列时间的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3-2、如图所示，在竖直面内有一圆环，为水平线。圆周上有三根互成的光滑杆、、，每根杆上各套着一个小球，将这些小球从三根杆的顶端分别下滑至点，所用的时间分别为，则其关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 变式3-3、某次洪灾紧急救援行动中，江西鹰潭蓝天救援队发现一灾民被困在水中礁石上。如图所示，礁石可看作一半球，其最高点纵截面圆心为O，半径为R，离礁石最近的岸上有一定点A，已知A点距离水面高为H，OA=L，水面上礁石最右端离岸水平距离x<H（x未知），现设计从A点架设一条倾斜的光滑滑道到礁石上，要求救援队员从滑道顶端由静止下滑到达礁石表面所用时间最短，则最短时间为（　　） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．如图所示，虚线是竖直平面的圆，固定的光滑细杆交于圆的最低点O。现套在杆上的小球甲、乙同时从图示位置由静止释放，并运动到O点，上述整个过程中两球的速度大小v随时间t变化的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．某儿童立体游乐场，在水平一、二、三层平台之间建造了三个滑梯、、，三个滑梯分别位于三个平行的竖直平面内。从侧面看如图所示，滑梯可看作光滑的斜面。其中与垂直，的中点在A点的正上方。小朋友从三个滑梯顶端均由静止开始下滑，到达该滑梯底端所用的时间分别为、、。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3:2:1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为（　　） A． B． C．3:2:1 D．1:1:1 4．如图所示，O、A、B、C、D在同一圆周上，OA、OB、OC、OD是四条光滑的弦，若一小物体由静止从O点开始下滑到A、B、C、D所用的时间分别为tA、tB、tC、tD，则（　　） A．tA＜tB＜tC＜tD B．tA＞tB＞tC＞tD C．tA=tB=tC=tD D．无法判断 5．如图所示，圆环和点在同一竖直平面内，在环上取一点与连成光滑直轨道，一物块由静止开始从点滑向圆环。是圆环的最高点，是圆环的最右端，是圆环与地面的接触点，是与环的交点，为圆心，是与环的交点，物块滑到圆环上所需的最短时间为（　　） A．沿轨道运动的时间 B．沿轨道运动的时间 C．沿轨道运动的时间 D．沿轨道运动的时间 6．如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，且A、B、C和D四点在同一竖直圆上，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为（　　） A．1∶1∶1 B．5∶4∶3 C．25∶16∶9 D．3∶4∶5 7．如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为、、、，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．； B．； C．； D．； 8．如图所示，竖直面内有一个固定圆环，MN是它在竖直方向上的直径。两根光滑滑轨MP、QN的端点都在圆周上，MP>QN。将两个完全相同的小滑块a、b分别从M、Q点无初速度释放，在它们各自沿MP、QN轨道运动到圆周上的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．b滑块受到的弹力较小 B．a滑块的加速度较小 C．a滑块与b滑块的运动的时间相等 D．a滑块受到的合力较小 9．某玩具装置如图所示，竖直面内固定三根光滑直杆、、，其上端点分别为、、，位于的正上方，、。套在杆上的小圆环分别从、、三点由静止沿、、滑下，滑到下端点的时间分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度，若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（　　） A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点 C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点 11．如图所示，圆环竖直固定放置在水平面上，两个光滑轨道固定在圆环上，两轨道与竖直方向的夹角均为，分别经过圆环的最低点、圆心，甲、乙两小球分别从轨道的最高点由静止开始释放，，则甲、乙到达斜面底端的速度之比为（　　） A． B． C． D． 12．如图所示，在竖直平面内有一大圆环，其中O为圆心，AB为竖直直径，OP与直径AB的夹角为α，PC与AB平行。现有一小圆环分别套在粗糙杆PB、PC、PD上，分别由P点运动到B、C、D点，运动时间为、、，其中小圆环直径略大于粗糙杆的直径，摩擦因数，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 13．如图所示，平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，y轴沿竖直方向。可伸缩的光滑细杆一端位于O点，另一端位于点，将小环套在杆上从O点由静止释放后，经时间滑到细杆的另一端P点；现将细杆伸缩绕O点旋转后使另一端位于点，还将小环从O点静止释放，要使小环滑到细杆的另一端点Q的时间仍为，则满足要求的Q点的坐标是（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环（未画出），两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是（　　） A．t1＝t2 B．t2>t3 C．t1<t2 D．t1＝t3 15．如图所示，让物体同时从竖直圆上的P1、P2处由静止开始下滑，沿光滑的弦轨道P1A、P2A滑到A处，P1A、P2A与竖直直径的夹角分别为、则（　　） A．物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为 B．物体沿P1A、P2A下滑到A处的速度之比为 C．物体沿P1A、P2A下滑的时间之比为11 D．两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为 第12页，共24页 第13页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $