专题07 计数原理与概率统计（7年真题汇编+1年模拟）（北京专用）2020-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 本试卷汇编北京2020-2026年高考真题及模拟题，聚焦计数原理、概率与统计，覆盖二项式定理、分布列与期望、古典概型三大考点，体现真题命题规律与情境化应用特色。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|15题|二项式定理（系数、赋值法、双空题）、古典概型基础|2025年后二项式设双空，由单一计算转向综合参数求解| |解答题|23题|分布列与期望（概率-分布列-结论比较）、古典概型（统计推断）|情境紧贴时事（核酸混采、保险索赔），第三问“结论不证”为北京卷标志|

专题07 计数原理、概率与统计 7年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2020-2026） 命题规律 二项式定理 2020 系数、2021 常数项、2022 赋值法、2024 项系数、2025 系数和、2026 求参数，共 6 道小题 必考基础题，通项公式、赋值法为核心；2025 后增设双空填空，由单一系数计算转向综合系数和、参数求解，难度稳中有升 分布列与期望 2021 核酸混采、2022 铅球比赛、2024 保险索赔、2025 答题正确率，共 4 道大题 概率统计大题主力，固定三小问：概率计算→分布列期望→结论比较；情境紧贴时事科技，第三问 "结论不证明" 成北京特色 古典概型 2020 活动方案、2023 农产品价格、2026 成绩统计，共 3 道大题 常与统计结合命题；由单纯概率计算转向统计推断、均值比较，数据分析能力要求提高 小结：二项式小题稳定；概率大题情境化、实用化趋势明显，"第三问结论不证" 是北京卷标志性考法。 考点01 二项式定理 1．（2026·北京·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ． 【答案】 【解析】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 3．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 4．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 5．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【解析】的展开式的通项， 令，解得，故常数项为. 故答案为：. 6．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 考点02 求离散型随机变量的分布列与期望 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【解析】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 2．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 3．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【解析】（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 （2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ （3）丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 4．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 【解析】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次； ②由题意，可以取20，30， ，， 则的分布列: 所以； （2）由题意，可以取25，30， 两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为， 则. 考点03 古典概型 1．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： （1）求数学成绩低于120分的概率； （2）从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； （3）每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 （1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 2．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【解析】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 3．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为； （Ⅱ）,（Ⅲ） 【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为， 该校女生支持方案一的概率为； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一， 所以3人中恰有2人支持方案一概率为：; （Ⅲ） 1．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以ABC不是的二项展开式中的项，是的二项展开式中的项. 2．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）在的展开式中，含的项的系数为（   ） A． B． C．16 D．24 【答案】D 【详解】的展开式中含的项为：，故含的项的系数为 3．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学），则（   ） A．16 B．65 C．80 D．81 【答案】C 【分析】根据题意得，利用赋值法和二项式系数求解. 【详解】由于， 则， 令，得， 又因为， 所以. 4．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知，则（   ） A． B．10 C． D．80 【答案】D 【分析】先求得二项展开式的通项，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 当时，可得， 因为， 所以，解得. 5．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式项的系数求解验证即可. 【详解】由题知，对于等式右边含有的项一定在中， 由二项展开式通项公式：， 令，此时等式右边含有的项的系数为， 又等式左边含有的项的系数为，所以，解得：， 当时，等式右边为： ， 所以 即， 所以，即满足题意. 二、填空题 6．（顺义区20025-2026学年第一学期期末质量监测高三数学试卷）在的展开式中，的系数为_____________. 【答案】 【分析】先求出的展开式的通项，令，求出代入通项即可得出答案. 【详解】的展开式的通项为：，， 令，解得：，则. 故答案为：. 7．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 【答案】 24 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. 8．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 【答案】/ 【分析】确定两个互斥的完备事件组分类求解概率，再结合全概率公式求解软件生成正确答案的概率. 【详解】第一种情况：输入无语法错误且生成正确答案 已知输入无语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 第二种情况：输入有语法错误且生成正确答案 输入有语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 两种情况互斥，所以软件生成正确答案的总概率为： 9．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知，则________；________. 【答案】 / 【详解】的展开式的通项是， 令，得，则， 令，得，则， 令，得，则， ∴，． 10．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）的展开式中的系数为，那么实数________． 【答案】 【详解】由，所以通项公式，， 令，解得，所以的系数为，. 11．（北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题）已知，则___________；___________． 【答案】 1 81 【详解】由，令，得，即； 由，两边同乘16，可得， 令，则， 所以，即 . 故答案为：1；81. 12．（北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题）已知，则___________；___________. 【答案】 【分析】对式子的两边进行赋值，令，即可求得的值；令，可得到的值，结合的值即可求解. 【详解】令，则，即； 令，则； 所以. 故答案为：；. 13．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______. 【答案】 / 【详解】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的， 事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品， 由题知，， 所以. 则，所以， 则取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为. 14．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）若的展开式的二项式系数和为32，则__________，的系数为__________. 【答案】 5 【分析】已知二项式系数和，可求出，再利用通项公式即可求得的系数. 【详解】由题意知，展开式的二项式系数和为32，即，所以， 故展开式的通项公式， 令，可得， 所以展开式中的系数是. 三、解答题 15．（北京市丰台区2025-2026学年高三上学期期末统一检测数学试题）某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取个，记录并整理数据如下表：    (1)从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次的概率； (2)假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为元、元、元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，设为抽取的个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； (3)电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为.在日均使用不超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为.试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3) 【详解】（1）随机抽取个充电桩中，日均使用次数不超过次的有：个， 设事件“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次”， 则. （2）设事件“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，其所需维护费用为元”， 依题意可得，，， 随机变量的所有可能取值有、、， ，，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. （3）快充充电桩共个，公用和专用充电桩数量之比为，故公用充电桩的个数为， 日均使用超过次的快充充电桩的个数为个，其中公用占比为， 故公用充电桩的个数为， 日均使用不超过次的快充充电桩的个数为个， 设公用占比为，则公用充电桩的个数为， 由题意可得，解得，故. 16．（北京市房山区2025-2026学年高三上学期学业水平调研（二）数学试题）2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000公里》的文章．目前市面上不同品牌新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低温区（）和寒冷区（）两种不同测试环境下的实际续航里程（单位：）进行了测试，结果如下表： 汽车品牌 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 厂家标注续航里程 816 806 800 710 665 660 606 567 515 510 410 405 低温区实际续航里程 717 681 737 569 584 486 550 566 480 489 356 303 低温区续航达成率（%） 87.9 84.5 92.1 80.1 87.8 73.6 90.8 99.8 93.2 95.9 86.8 74.8 寒冷区实际续航里程 319 331 385 293 301 295 234 313 236 269 189 178 寒冷区续航达成率（%） 39.1 41.1 48.1 41.3 45.3 44.7 38.6 55.2 45.8 52.7 46.1 44.0 续航达成率. (1)从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率； (2)从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为，求的分布列与数学期望； (3)若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温区的续航达成率为72.5%，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 期望为 (3) 【详解】（1）由题，12款纯电轿车中在低温区续航达成率超过90%的有：，共5个， 所以这款车在低温区续航达成率超过90%的概率为. （2）在寒冷区续航达成率超过45%的有：共6个，未超过的有6个， 的可能取值为，服从超几何分布，则， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （3）12款纯电轿车在低温区的续航达成率的和： ， 所以原均值， 加入的达成率为， 因此这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值. 17．（北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况： (1)从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率； (2)从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望； (3)由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)从9月4日开始. 【详解】（1）根据题意，9月1日至9月7日这7天中，9月2日、5日、7日这3天中，甲乙步数都不低于10000， 所以这一天职工甲和乙的步数都不低于10000的概率为. （2）由题，9月1日和9月5日这两天甲的步数小于乙的步数，所以的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由表中数据可得9月4日开始的三天职工乙的步数的数据为，数值波动最大，因此方差最大， 所以从9月4日开始职工乙连续三天的步数方差最大. 18．（顺义区20025-2026学年第一学期期末质量监测高三数学试卷）某高中举办 “京剧脸谱体验展”，通过增强现实技术让学生沉浸式感受京剧文化魅力.为了解全校学生的体验效果，研究团队在三个不同年级中各随机抽取人作为样本，统计其体验时长，并通过问卷方式调查认知度提升效果.已知体验时长（单位：分钟）分为三段，，，各段人数及认知度显著提升人数如下表： 人数年级 体验时长 体验时长 体验时长 认知度 显著提升 高一年级 55人 30人 15人 70人 高二年级 40人 45人 15人 50人 高三年级 25人 30人 45人 30人 假设三个年级人数相同，以频率估计概率. (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生为高二年级学生且体验时长的概率； (2)从全校所有“认知度显著提升”的学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中高二年级学生的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设学生的认知提升度只受年级与体验时长的影响，且当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等，当“体验时长”时，高一学生“认知度显著提升”的概率为；高三学生“认知度显著提升”的概率为，判断，的大小关系.（结论无需证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【详解】（1）设从全校学生中随机抽取1人，该学生为高二年级学生且体验时长为事件， 则中包含的基本事件总数，所有参与体验的学生总数为人， 所以. （2）“认知度显著提升”的学生共有人，其中高二年级有人，所占比例为， 所以的所有可能取值为， ，， ，. 所以的分布列为： 所以的数学期望. （3）. 不妨设当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等且为， 则可得①，②， 由①得，由②得， 所以=，即. 19．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票（深度体验游客），人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动. (1)求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率； (2)如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立.设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望. (3)该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 一 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢.结合上表数据，写出方差、、、的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3) 【详解】（1）记事件“抽到的人中恰有人为“深度体验游客””， 由古典概型的概率公式可得. （2）由题意可知，，，， ，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. （3）设表示第个景点得到游客喜欢的概率，则服从两点分布， 则，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 由表格中的数据可知，，，， 因为， 即，故. 20．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线坐落于北京老城中心，全长7.8公里，始建于13世纪，是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体．它共包含15处遗产点，可分为A、B、C、D、E五种类型，具体如下表： 类 型 A古代皇家宫苑建筑 B古代皇家 祭祀建筑 C古代城市管理设施 D国家礼仪和公共建筑 E居中道路遗存 中轴线遗产点 故宫 景山 太庙 社稷坛 天坛 先农坛 钟鼓楼 万宁桥 端门 天安门 外金水桥 天安门广场及建筑群 正阳门 永定门 中轴线南段道路遗存 某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动． (1)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为D类的概率； (2)若从A、B、C这三类遗产点中随机选取3处，设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人数比值为，同时，这三个群体选择参观A类或D类遗产点的频率分布如下表： 人群 老年人 中年人 青少年 只参观A类型遗产点 60％ 25％ 30％ 只参观D类型遗产点 20％ 45％ 30％ 两类遗产点都参观 20％ 30％ 40％ 用频率估计概率，若从所有参观A类或D类遗产点的人群中随机选取1人，记“只参观A类型遗产点”的概率为，“只参观D类型遗产点”的概率为，请根据表中信息，判断与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： 1 2 3 (3) 【详解】（1）从15处遗产点中随机选取，选取的3处遗产点均为D类的概率为： . （2）由题意，的值可能为1,2,3， 且， ， . 所以的分布列为： 1 2 3 所以. （3）由题意, . 所以. 21．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表： 等级 优等品 非优等品 甲车床加工的零件数 75 25 乙车床加工的零件数 80 20 假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率； (2)从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等品的个数，估计的数学期望； (3)在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)，； (2)； (3). 【详解】（1）甲车床：抽取100个零件，优等品有75个，则， 乙车床：抽取100个零件，优等品有80个，则. （2）为这3个零件中优等品的个数， 则的可能取值为， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， 或从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， 或甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， ， . （3）， 甲、乙两台车床加工的零件数之比为， 现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为， 则， ，，. 22．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4~7.5 8.1~8.6 及格 7.6~9.5 8.7~10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取15名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生 7.0 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.5 7.5 7.5 8.6 9.6 9.7 9.7 9.8 女生 7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.1 8.8 9.0 9.2 9.7 10.4 10.4 10.5 10.8 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)估计该校高一男生50米跑单项及格及以上的概率； (2)从该校高一男生和女生中各随机抽取2人，估计4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有的男生达到良好及以上的成绩，又有的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的概率分别为，判断的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）样本中50米跑单项等级获得优秀的男生人数为5，获得良好的男生人数为5，获得及格的男生人数为1， 所以估计该校高一男生50米跑单项的及格及以上的概率； （2）记4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的事件为 记“高一男生50米跑单项等级是优秀”为事件； “高一女生50米跑单项等级是优秀”为事件； 其中是独立事件 由（1）得；． 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是男同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是女同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人有1名是男同学1名是女同学的事件为 则． （3）男生及格及以下成绩人数为5人，再次测试后良好及以上成绩约1人， 女生及格及以下成绩8人，再次测试后良好及以上成绩为2人， 两次测试后，良好及以上成绩的总人数男生多于女生， 所以． 23．（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）为研究某大宗商品价格变化的规律，收集得到了该大宗商品连续30个交易日的价格变化情况，如下表所示．在描述价格变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天价格比前一个交易日价格高；用“↓”表示“下跌”，即当天价格比前一个交易日价格低；用“→”表示“不变”，即当天价格与前一个交易日价格相同． 时段 价格变化 第个交易日 ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ 第个交易日 ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ 用频率估计概率． (1)试估计该大宗商品价格“上涨”的概率； (2)假设该大宗商品每个交易日的价格变化是相互独立的，在未来的交易日里任取天，试估计该大宗商品价格在这天中至少有天“上涨”且至少有天“不变”的概率； (3)假设该大宗商品当日价格“上涨”、“下跌”、“不变”时，当日成交概率分别为，且．若该大宗商品每个交易日的价格变化只受前一个交易日价格变化的影响，试比较第个交易日的成交概率与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题中数据，该大宗商品价格在个交易日中有天“上涨”． 设事件为“该大宗商品价格上涨”， 则. （2）设事件为“该大宗商品价格“不变”，事件为“该大宗商品价格“下跌”，事件为“该大宗商品价格在这5天中至少有3天“上涨”且至少有1天“不变”． 依题意可得，． . （3）由于，且价格变化具有状态转移特性， 第个交易日的成交概率是各状态转移概率的加权平均，权重偏向高成交概率的状态, 由于前1个交易日状态对第个交易日的影响具有正反馈性，且初始概率分布不均匀， 因此大于三种状态成交概率的算术平均值. 所以. 24．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. (1)从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； (2)从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； (3)为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题可得随机拿地的情况有： 种， 平均亩产量均不低于375的情况有种，故相应概率为：； （2）分别从两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示， 横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数. 的情况有共2种； 的情况有共5种； 的情况有种，则分布列如下： 0 1 2 期望为： ； （3）设两地分别有土地面积为亩. 对于A地，用于有机种植的地有亩，有机种植总产量为， 则有机种植的总利润为：元， 类似可得A地机械种植总利润为：元， A地共生种植总利润为：元， 则A地平均利润为：元； 类似可得B地平均利润为：元. 则. 25．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值（单位：L）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：L） 小于2.0 4.0及以上 等级 1 2 3 4 5 6 某校为研究高三年级男生1000米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了100名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级，整理得到如下统计图与统计表. 肺活量等级 频数 1 14 2 12 3 8 4 4 5 2 6 0 合计 40 长跑成绩未达标组 (1)从100名研究对象中随机选取1人，求此人肺活量等级为3的概率； (2)用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立.从该校全体高三年级男生中肺活量等级为4的学生中随机选取2人，肺活量等级为2的学生中随机选取1人，设这3人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望EX； (3)研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标.从100名研究对象中随机选取1人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标.写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件求出未达标组中，肺活量等级为的人数和成绩达标组中，肺活量等级为的人数，根据古典概型概率公式求结论； （2）确定随机变量的可能取值，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法求取各值的概率，再由期望定义求结论； （3）分别求和时判断 错误的人数，由此可得结论. 【详解】（1）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数是，成绩未达标组共人； 故成绩达标组有人， 达标组中，肺活量等级为的频率为， 因此成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以人中，肺活量等级为的总人数为， 因此从名研究对象中随机选取人，求此人肺活量等级为的概率； （2）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 设事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 所以可估计，， 根据题意随机变量的可能取值有，且 ， ， ， ， 所以可估计 （3）取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为或时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑达标，否则判定其长跑未达标，则判断错误的总人数为， 取时，则会判断所有学生未达标，判断错误的总人数为， 因此取时判断错误的概率最小， 故. 26．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. (1)求的值； (2)从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； (3)该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2) 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 ； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1求解. （2）分别求出学习、工作场景用户评级为的概率，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）求出分别取的概率，再利用分布的方差公式求出方差，进而比较大小. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）依题意，学习场景用户评级为的概率为， 工作场景用户评级为的概率为， 的所有可能值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 数学期望. （3）由（2）及已知，得，， ，显然服从分布， 因此， ， 所以. 27．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4 2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7 2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3 消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率． (1)从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率； (2)从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望； (3)2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 (3)111.4 【详解】（1）由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间()的数据有： 2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个. 上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为. （2）由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；2025年有1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间. 设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件，则； 则的可能取值为0，1，2. ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望 （3）2025年各季度的增长率分别为： ，， ，. ，即 2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783； 2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：. 28．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． (1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率； (2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) 0 1 2 (3) 【详解】（1）在数据I（型号）中，评分不低于80分的有81，85，83，86，85，92，86，90，共8人； 评分低于80分的有75，74，77，70，共4人， 从12名消费者中随机抽取2人，两人都不满意的概率为， 因为“至少1人满意”与“两人都不满意”是对立事件， 所以至少1人满意的概率； （2）由（1）可知，购买型号扫地机器人的消费者满意的概率， 则不满意的概率为， 在数据II（型号）中，评分不低于80分的有81，87，86，85，84，92，共6人， 所以购买型号扫地机器人的消费者满意的概率，则不满意的概率为， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 ； （3）由题可知抽取样本中，A型号不满意的有4人， B型号不满意的有6人， 则的估计值为，的估计值为， 故． 29．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)在职人员借阅的文学类图书量更大 (2) (3) 【详解】（1）在职人员借阅文学类图书总量： （册）， 中学生借阅教辅类图书总量： （册）， 因为，所以这一年里在职人员借阅的文学类图书量更大； （2）用频率估计概率：大学生借阅科技类的概率为，中学生借阅科技类的概率为， 三人借阅相互独立，“至少2册科技”包含三种情况： ① 2名大学生均借科技，中学生不借科技：， ② 仅1名大学生借科技，中学生借科技：， ③ 3人均借科技：， 总概率：. （3）在职人员的5个占比分别为：，即， ， ，故； 大学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 由题设得，因此，， 即都小于均值，因此，， ， ， 因此：； 中学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 同理，由得，， 因此，， ， ， 因此：. 综上： 30．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 31．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）某种机床运行三个月后，需对这三项指标是否合格进行检测．现随机抽取10台机床，对指标检测情况统计如下表．用“×”表示该指标不合格，用“○”表示该指标合格．       机床 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 设各机床之间相互独立．用频率估计概率． (1)某台机床运行三个月后，估计这台机床的指标合格的概率； (2)规定指标合格记1分，指标合格记2分，指标合格记2分；若某项指标不合格．该项指标记0分．将一台机床三项指标分数之和作为该机床的评分．现从全体机床中随机抽取两台，估计这两台机床评分总和大于8的概率； (3)设随机变量表示一台机床合格指标的个数．随机抽取10台机床进行检测，记事件= “这10台机床中合格指标个数为0，1，2，3的机床台数分别为1，2，3，4”． 判断服从下面哪个分布，事件发生的概率更大．（结论不要求证明） 分布1 0 1 2 3 0.2 0.2 0.2 0.4 分布2 0 1 2 3 0.1 0.3 0.2 0.4 【答案】(1)； (2)； (3)分布2. 【详解】（1）由表格可知，抽取的10台机床中，A指标合格的机床有6台，用频率估计概率得：A指标合格的概率为. （2）根据表格统计，用频率估计概率： 评分为5分（即三项全合格）的机床共4台，即； 评分为4分（仅A不合格）的机床共2台，即. 要求两台机床的评分总和大于8，即总和为9或10，由于机床互相独立，对应情况及其概率计算如下： 情况一：两台都是5分 ； 情况二：一台5分，另一台4分 . 综上所述，两台机床评分总和大于8的概率. （3）事件的概率为多项分布概率：. 观察其形式可知，组合系数相同，仅需比较乘积，即可比较的大小. 分布1对应的乘积为； 分布2对应的乘积为. 因此服从分布2时，事件发生的概率更大. 32．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 【答案】(1)智能体甲成功完成任务的概率为，智能体乙成功完成任务的概率为； (2) (3)选购智能体甲。 【详解】（1）智能体甲总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此甲成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以甲成功完成任务的概率估计为 智能体乙总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此乙成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以乙成功完成任务的概率估计为. 所以智能体甲成功完成任务的概率为、智能体乙成功完成任务的概率. （2）先计算两款智能体完成不同类型任务的成功率： 甲完成类：​，甲完成类：； 乙完成类：，乙完成类：. 比较概率大小得：，由比较可知类任务乙更擅长，类任务甲更擅长. 因此分配为：类由乙完成，2项类由甲完成。 设“3项任务恰有2项成功”为事件，分两种互斥情况： ①类任务成功，仅1个类任务成功： ， ②类任务失败，2类任务成功：， 因此： . 所以估计这项任务中恰有项被成功完成的概率为. （3）因为类任务占比，类任务占比， 甲完成类的概率​，甲完成类的概率， 所以甲完成任务的期望为； 同理乙完成类任务的概率，乙完成类的概率， 所以乙完成任务的期望为. 所以，故该企业应选购智能体甲. 33．（北京市十一学校顺义学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人） 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度，理由见解析 【详解】（1）根据古典概型可知，短视频平台浏览用户是购买景区门票的概率为 （2）官方网站平台浏览用户中购买景区门票的概率为， 则随机抽取三人的购票费用总和随机变量可能的取值有四种情况， 则， ， ， ， 可得随机变量的分布列， 0 100 200 300 数学期望为 （3）官方网站平台利润为（元） 短视频平台利润为（元） 可知官方网站平台利润更高，所以选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度. 34．（北京市东城区2026届高三上学期期末统一检测数学试题）某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． (1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； (2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望； (3)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）设事件“两轮比赛累计得分不低于20分”， 由已知该选手正确回答甲类问题的概率为， 所以． 所以该选手两轮比赛累计得分不低于20分的概率为． （2）的所有可能取值为． ， ， 的分布列为 10 50 70 的数学期望． （3）． 每轮选甲、乙的概率均为，因此，两轮都选甲的概率为，两轮都选乙的概率为，先甲后乙的概率为，先乙后甲的概率为. 两轮都选甲： 的可能取值为 . 两轮都选乙： 的可能取值为 故. 先甲后乙： 由（2）可知，， 先乙后甲： 同理可得，故， 所以. 35．（北京市西城区2026届高三上学期期末考试数学试题）大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为一体，形成气溶胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子．科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采集到份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下： 甲地空气带菌粒子统计表 观测点 粒数中值直径 A 4.6 5.6 5.6 6.5 6.9 6.8 6.4 5.8 4.5 6.0 4.2 4.4 B 4.2 6.0 7.1 4.6 C 2.5 2.0 3.0 3.0 2.3 3.8 4.1 2.8 六级空气微生物采样器 级数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 采集范围 假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率． (1)根据上述数据，若在甲地空气中随机采集份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为II级的概率； (2)在A点采集的带菌粒子中随机选出份，在B点采集的带菌粒子中随机选出份，记这份中粒数中值直径为III级的份数为，求的分布列和数学期望； (3)为研究带菌粒子的生物特征，计划在C点再采集份带菌粒子．记这份带菌粒子中有份的粒数中值直径为III级的概率为．试给出的一个值，使得为中的最大值．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【详解】（1）A观测点的粒数中值直径为II级的有：，共份， B观测点的粒数中值直径为II级的有：，共份， C观测点采集的带菌粒子中没有粒数中值直径为II级的带菌粒子， 所以在甲地采集的带菌粒子中有份是粒数中值直径为II级的带菌粒子， 用频率估计概率可知， 在甲地空气中随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为II级的概率为； （2）A观测点的粒数中值直径为III级的有：，共份， B观测点的粒数中值直径为III级的有：，共份， 由题意可知，可取， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以； （3）可取，理由如下： C观测点采集的带菌粒子中粒数中值直径为III级有：，共份， 用频率估计概率可知， 在C观测点随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为III级的概率为， 因为， 要使得为中的最大值，则一定有， 所以，所以， 所以，化简可得，解得， 不妨取，此时， 所以，且， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 由上可知，，所以是最大值， 故满足条件. 36．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 B小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器. 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率. (1)估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； (2)若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记.估计的数学期望； (3)经公司讨论，有以下三种备选租赁方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，. 在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器，特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记.在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)方案三的数学期望最小 【详解】（1）根据题中数据，在30个月的数据中， 小组所需专用服务器不超过14台的月数为， 故小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率可估计为； （2）由题意知，当时，随机变量的所有可能取值集合为， 根据题中数据，由（1）知可估计为， 可估计为， 可估计为， 可估计为， 因为， 所以可估计为； （3）方案三的数学期望最小. 提示：对于小组，当时，由（2）知； 当时，，所以； 当时，，所以. 对于小组，当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 综上，方案一：，，此时； 方案二：，，此时； 方案三：，，此时. 因为，所以方案三的数学期望最小. 37．（北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题）某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 (1)当时，在这100家公司中， （i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； （ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)（i）；（ii）分布列见解析；期望为 (2) 【详解】（1）解：（i）当时，可得性能评分不低于80分的公司有家， 其中行业评级为5级的公司有家， 所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为； 由记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则的可能取值为， 可得，， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以期望为. （2）解：由题意，可得，可得， 抽取100家公司的行业评级总和为， 所以，其取值范围为， 该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率， 则两家的评级都为2级的概率为，此时 两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为，平均级别为； 两家的评级都为5级的概率为，平均级别为， 因为，当且仅当时，满足，此时， 又因为且，当且仅当或，满足， 此时， 所以. 38．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）解：设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， 由表格中的数据，甲学区教师的总人数为人， 其中评价为“达到预期”的人数为人， 所以，即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为. （2）解：（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为， 女教师达到预期的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 可得， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以期望为. （ii）甲学区赋分为5的概率为，乙学区赋分为5的概率为， 两个学区所有样本赋分为5的概率为， 赋分数据为0或5时，其样本方差为， 由， ，， 因为，可得， 又由，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 计数原理、概率与统计 7年真题1年模拟 考点01 二项式定理 1．A 2． 3．A. 4．B 5． 6．C 考点02 求离散型随机变量的分布列与期望 1． 【解析】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 2． 【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 3． 【解析】（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 （2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ （3）丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 4． 【解析】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次； ②由题意，可以取20，30， ，， 则的分布列: 所以； （2）由题意，可以取25，30， 两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为， 则. 考点03 古典概型 1． 【解析】 （1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 2． 【解析】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 3． 【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为， 该校女生支持方案一的概率为； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一， 所以3人中恰有2人支持方案一概率为：; （Ⅲ） 1．D 2．D 3．C 4．D 5．A 二、填空题 6．. 7． 24 8．/ 9． / 10． 11． 1 81 12．（ 13． / 14． 5 三、解答题 15． 【详解】（1）随机抽取个充电桩中，日均使用次数不超过次的有：个， 设事件“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次”， 则. （2）设事件“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，其所需维护费用为元”， 依题意可得，，， 随机变量的所有可能取值有、、， ，，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. （3）快充充电桩共个，公用和专用充电桩数量之比为，故公用充电桩的个数为， 日均使用超过次的快充充电桩的个数为个，其中公用占比为， 故公用充电桩的个数为， 日均使用不超过次的快充充电桩的个数为个， 设公用占比为，则公用充电桩的个数为， 由题意可得，解得，故. 16． 【详解】（1）由题，12款纯电轿车中在低温区续航达成率超过90%的有：，共5个， 所以这款车在低温区续航达成率超过90%的概率为. （2）在寒冷区续航达成率超过45%的有：共6个，未超过的有6个， 的可能取值为，服从超几何分布，则， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （3）12款纯电轿车在低温区的续航达成率的和： ， 所以原均值， 加入的达成率为， 因此这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值. 17． 【详解】（1）根据题意，9月1日至9月7日这7天中，9月2日、5日、7日这3天中，甲乙步数都不低于10000， 所以这一天职工甲和乙的步数都不低于10000的概率为. （2）由题，9月1日和9月5日这两天甲的步数小于乙的步数，所以的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由表中数据可得9月4日开始的三天职工乙的步数的数据为，数值波动最大，因此方差最大， 所以从9月4日开始职工乙连续三天的步数方差最大. 18． 【详解】（1）设从全校学生中随机抽取1人，该学生为高二年级学生且体验时长为事件， 则中包含的基本事件总数，所有参与体验的学生总数为人， 所以. （2）“认知度显著提升”的学生共有人，其中高二年级有人，所占比例为， 所以的所有可能取值为， ，， ，. 所以的分布列为： 所以的数学期望. （3）. 不妨设当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等且为， 则可得①，②， 由①得，由②得， 所以=，即. 19． 【详解】（1）记事件“抽到的人中恰有人为“深度体验游客””， 由古典概型的概率公式可得. （2）由题意可知，，，， ，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. （3）设表示第个景点得到游客喜欢的概率，则服从两点分布， 则，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 由表格中的数据可知，，，， 因为， 即，故. 20． 【详解】（1）从15处遗产点中随机选取，选取的3处遗产点均为D类的概率为： . （2）由题意，的值可能为1,2,3， 且， ， . 所以的分布列为： 1 2 3 所以. （3）由题意, . 所以. 21． 【详解】（1）甲车床：抽取100个零件，优等品有75个，则， 乙车床：抽取100个零件，优等品有80个，则. （2）为这3个零件中优等品的个数， 则的可能取值为， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， 或从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， 或甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， ， . （3）， 甲、乙两台车床加工的零件数之比为， 现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为， 则， ，，. 22． 【详解】（1）样本中50米跑单项等级获得优秀的男生人数为5，获得良好的男生人数为5，获得及格的男生人数为1， 所以估计该校高一男生50米跑单项的及格及以上的概率； （2）记4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的事件为 记“高一男生50米跑单项等级是优秀”为事件； “高一女生50米跑单项等级是优秀”为事件； 其中是独立事件 由（1）得；． 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是男同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是女同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人有1名是男同学1名是女同学的事件为 则． （3）男生及格及以下成绩人数为5人，再次测试后良好及以上成绩约1人， 女生及格及以下成绩8人，再次测试后良好及以上成绩为2人， 两次测试后，良好及以上成绩的总人数男生多于女生， 所以． 23． 【详解】（1）根据题中数据，该大宗商品价格在个交易日中有天“上涨”． 设事件为“该大宗商品价格上涨”， 则. （2）设事件为“该大宗商品价格“不变”，事件为“该大宗商品价格“下跌”，事件为“该大宗商品价格在这5天中至少有3天“上涨”且至少有1天“不变”． 依题意可得，． . （3）由于，且价格变化具有状态转移特性， 第个交易日的成交概率是各状态转移概率的加权平均，权重偏向高成交概率的状态, 由于前1个交易日状态对第个交易日的影响具有正反馈性，且初始概率分布不均匀， 因此大于三种状态成交概率的算术平均值. 所以. 24． 【详解】（1）由题可得随机拿地的情况有： 种， 平均亩产量均不低于375的情况有种，故相应概率为：； （2）分别从两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示， 横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数. 的情况有共2种； 的情况有共5种； 的情况有种，则分布列如下： 0 1 2 期望为： ； （3）设两地分别有土地面积为亩. 对于A地，用于有机种植的地有亩，有机种植总产量为， 则有机种植的总利润为：元， 类似可得A地机械种植总利润为：元， A地共生种植总利润为：元， 则A地平均利润为：元； 类似可得B地平均利润为：元. 则. 25． 【详解】（1）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数是，成绩未达标组共人； 故成绩达标组有人， 达标组中，肺活量等级为的频率为， 因此成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以人中，肺活量等级为的总人数为， 因此从名研究对象中随机选取人，求此人肺活量等级为的概率； （2）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 设事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 所以可估计，， 根据题意随机变量的可能取值有，且 ， ， ， ， 所以可估计 （3）取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为或时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑达标，否则判定其长跑未达标，则判断错误的总人数为， 取时，则会判断所有学生未达标，判断错误的总人数为， 因此取时判断错误的概率最小， 故. 26． 【详解】（1）依题意，，所以. （2）依题意，学习场景用户评级为的概率为， 工作场景用户评级为的概率为， 的所有可能值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 数学期望. （3）由（2）及已知，得，， ，显然服从分布， 因此， ， 所以. 27． 【详解】（1）由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间()的数据有： 2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个. 上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为. （2）由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；2025年有1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间. 设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件，则； 则的可能取值为0，1，2. ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望 （3）2025年各季度的增长率分别为： ，， ，. ，即 2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783； 2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：. 28． 【详解】（1）在数据I（型号）中，评分不低于80分的有81，85，83，86，85，92，86，90，共8人； 评分低于80分的有75，74，77，70，共4人， 从12名消费者中随机抽取2人，两人都不满意的概率为， 因为“至少1人满意”与“两人都不满意”是对立事件， 所以至少1人满意的概率； （2）由（1）可知，购买型号扫地机器人的消费者满意的概率， 则不满意的概率为， 在数据II（型号）中，评分不低于80分的有81，87，86，85，84，92，共6人， 所以购买型号扫地机器人的消费者满意的概率，则不满意的概率为， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 ； （3）由题可知抽取样本中，A型号不满意的有4人， B型号不满意的有6人， 则的估计值为，的估计值为， 故． 29． 【详解】（1）在职人员借阅文学类图书总量： （册）， 中学生借阅教辅类图书总量： （册）， 因为，所以这一年里在职人员借阅的文学类图书量更大； （2）用频率估计概率：大学生借阅科技类的概率为，中学生借阅科技类的概率为， 三人借阅相互独立，“至少2册科技”包含三种情况： ① 2名大学生均借科技，中学生不借科技：， ② 仅1名大学生借科技，中学生借科技：， ③ 3人均借科技：， 总概率：. （3）在职人员的5个占比分别为：，即， ， ，故； 大学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 由题设得，因此，， 即都小于均值，因此，， ， ， 因此：； 中学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 同理，由得，， 因此，， ， ， 因此：. 综上： 30． 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 31． 【详解】（1）由表格可知，抽取的10台机床中，A指标合格的机床有6台，用频率估计概率得：A指标合格的概率为. （2）根据表格统计，用频率估计概率： 评分为5分（即三项全合格）的机床共4台，即； 评分为4分（仅A不合格）的机床共2台，即. 要求两台机床的评分总和大于8，即总和为9或10，由于机床互相独立，对应情况及其概率计算如下： 情况一：两台都是5分 ； 情况二：一台5分，另一台4分 . 综上所述，两台机床评分总和大于8的概率. （3）事件的概率为多项分布概率：. 观察其形式可知，组合系数相同，仅需比较乘积，即可比较的大小. 分布1对应的乘积为； 分布2对应的乘积为. 因此服从分布2时，事件发生的概率更大. 32． 【详解】（1）智能体甲总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此甲成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以甲成功完成任务的概率估计为 智能体乙总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此乙成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以乙成功完成任务的概率估计为. 所以智能体甲成功完成任务的概率为、智能体乙成功完成任务的概率. （2）先计算两款智能体完成不同类型任务的成功率： 甲完成类：​，甲完成类：； 乙完成类：，乙完成类：. 比较概率大小得：，由比较可知类任务乙更擅长，类任务甲更擅长. 因此分配为：类由乙完成，2项类由甲完成。 设“3项任务恰有2项成功”为事件，分两种互斥情况： ①类任务成功，仅1个类任务成功： ， ②类任务失败，2类任务成功：， 因此： . 所以估计这项任务中恰有项被成功完成的概率为. （3）因为类任务占比，类任务占比， 甲完成类的概率​，甲完成类的概率， 所以甲完成任务的期望为； 同理乙完成类任务的概率，乙完成类的概率， 所以乙完成任务的期望为. 所以，故该企业应选购智能体甲. 33． 【详解】（1）根据古典概型可知，短视频平台浏览用户是购买景区门票的概率为 （2）官方网站平台浏览用户中购买景区门票的概率为， 则随机抽取三人的购票费用总和随机变量可能的取值有四种情况， 则， ， ， ， 可得随机变量的分布列， 0 100 200 300 数学期望为 （3）官方网站平台利润为（元） 短视频平台利润为（元） 可知官方网站平台利润更高，所以选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度. 34． 【详解】（1）设事件“两轮比赛累计得分不低于20分”， 由已知该选手正确回答甲类问题的概率为， 所以． 所以该选手两轮比赛累计得分不低于20分的概率为． （2）的所有可能取值为． ， ， 的分布列为 10 50 70 的数学期望． （3）． 每轮选甲、乙的概率均为，因此，两轮都选甲的概率为，两轮都选乙的概率为，先甲后乙的概率为，先乙后甲的概率为. 两轮都选甲： 的可能取值为 . 两轮都选乙： 的可能取值为 故. 先甲后乙： 由（2）可知，， 先乙后甲： 同理可得，故， 所以. 35． 【详解】（1）A观测点的粒数中值直径为II级的有：，共份， B观测点的粒数中值直径为II级的有：，共份， C观测点采集的带菌粒子中没有粒数中值直径为II级的带菌粒子， 所以在甲地采集的带菌粒子中有份是粒数中值直径为II级的带菌粒子， 用频率估计概率可知， 在甲地空气中随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为II级的概率为； （2）A观测点的粒数中值直径为III级的有：，共份， B观测点的粒数中值直径为III级的有：，共份， 由题意可知，可取， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以； （3）可取，理由如下： C观测点采集的带菌粒子中粒数中值直径为III级有：，共份， 用频率估计概率可知， 在C观测点随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为III级的概率为， 因为， 要使得为中的最大值，则一定有， 所以，所以， 所以，化简可得，解得， 不妨取，此时， 所以，且， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 由上可知，，所以是最大值， 故满足条件. 36． 【详解】（1）根据题中数据，在30个月的数据中， 小组所需专用服务器不超过14台的月数为， 故小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率可估计为； （2）由题意知，当时，随机变量的所有可能取值集合为， 根据题中数据，由（1）知可估计为， 可估计为， 可估计为， 可估计为， 因为， 所以可估计为； （3）方案三的数学期望最小. 提示：对于小组，当时，由（2）知； 当时，，所以； 当时，，所以. 对于小组，当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 综上，方案一：，，此时； 方案二：，，此时； 方案三：，，此时. 因为，所以方案三的数学期望最小. 37． 【详解】（1）解：（i）当时，可得性能评分不低于80分的公司有家， 其中行业评级为5级的公司有家， 所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为； 由记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则的可能取值为， 可得，， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以期望为. （2）解：由题意，可得，可得， 抽取100家公司的行业评级总和为， 所以，其取值范围为， 该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率， 则两家的评级都为2级的概率为，此时 两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为，平均级别为； 两家的评级都为5级的概率为，平均级别为， 因为，当且仅当时，满足，此时， 又因为且，当且仅当或，满足， 此时， 所以. 38． 【详解】（1）解：设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， 由表格中的数据，甲学区教师的总人数为人， 其中评价为“达到预期”的人数为人， 所以，即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为. （2）解：（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为， 女教师达到预期的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 可得， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以期望为. （ii）甲学区赋分为5的概率为，乙学区赋分为5的概率为， 两个学区所有样本赋分为5的概率为， 赋分数据为0或5时，其样本方差为， 由， ，， 因为，可得， 又由，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 计数原理、概率与统计 7年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2020-2026） 命题规律 二项式定理 2020 系数、2021 常数项、2022 赋值法、2024 项系数、2025 系数和、2026 求参数，共 6 道小题 必考基础题，通项公式、赋值法为核心；2025 后增设双空填空，由单一系数计算转向综合系数和、参数求解，难度稳中有升 分布列与期望 2021 核酸混采、2022 铅球比赛、2024 保险索赔、2025 答题正确率，共 4 道大题 概率统计大题主力，固定三小问：概率计算→分布列期望→结论比较；情境紧贴时事科技，第三问 "结论不证明" 成北京特色 古典概型 2020 活动方案、2023 农产品价格、2026 成绩统计，共 3 道大题 常与统计结合命题；由单纯概率计算转向统计推断、均值比较，数据分析能力要求提高 小结：二项式小题稳定；概率大题情境化、实用化趋势明显，"第三问结论不证" 是北京卷标志性考法。 考点01 二项式定理 1．（2026·北京·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 2．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ． 3．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 5．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 . 6．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 考点02 求离散型随机变量的分布列与期望 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 2．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 3．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 4．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 考点03 古典概型 1．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： （1）求数学成绩低于120分的概率； （2）从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； （3）每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 2．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 3．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与 的大小．（结论不要求证明） 1．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 2．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）在的展开式中，含的项的系数为（   ） A． B． C．16 D．24 3．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学），则（   ） A．16 B．65 C．80 D．81 4．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知，则（   ） A． B．10 C． D．80 5．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 6．（顺义区20025-2026学年第一学期期末质量监测高三数学试卷）在的展开式中，的系数为_____________. 7．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 8．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 9．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知，则________；________. 10．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）的展开式中的系数为，那么实数________． 11．（北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题）已知，则___________；___________． 12．（北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题）已知，则___________；___________. 13．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______. 14．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）若的展开式的二项式系数和为32，则__________，的系数为__________. 三、解答题 15．（北京市丰台区2025-2026学年高三上学期期末统一检测数学试题）某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取个，记录并整理数据如下表：    (1)从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次的概率； (2)假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为元、元、元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，设为抽取的个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； (3)电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为.在日均使用不超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为.试比较与的大小.（结论不要求证明） 16．（北京市房山区2025-2026学年高三上学期学业水平调研（二）数学试题）2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000公里》的文章．目前市面上不同品牌新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低温区（）和寒冷区（）两种不同测试环境下的实际续航里程（单位：）进行了测试，结果如下表： 汽车品牌 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 厂家标注续航里程 816 806 800 710 665 660 606 567 515 510 410 405 低温区实际续航里程 717 681 737 569 584 486 550 566 480 489 356 303 低温区续航达成率（%） 87.9 84.5 92.1 80.1 87.8 73.6 90.8 99.8 93.2 95.9 86.8 74.8 寒冷区实际续航里程 319 331 385 293 301 295 234 313 236 269 189 178 寒冷区续航达成率（%） 39.1 41.1 48.1 41.3 45.3 44.7 38.6 55.2 45.8 52.7 46.1 44.0 续航达成率. (1)从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率； (2)从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为，求的分布列与数学期望； (3)若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温区的续航达成率为72.5%，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 17．（北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况： (1)从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率； (2)从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望； (3)由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？（结论不要求证明） 18．（顺义区20025-2026学年第一学期期末质量监测高三数学试卷）某高中举办 “京剧脸谱体验展”，通过增强现实技术让学生沉浸式感受京剧文化魅力.为了解全校学生的体验效果，研究团队在三个不同年级中各随机抽取人作为样本，统计其体验时长，并通过问卷方式调查认知度提升效果.已知体验时长（单位：分钟）分为三段，，，各段人数及认知度显著提升人数如下表： 人数年级 体验时长 体验时长 体验时长 认知度 显著提升 高一年级 55人 30人 15人 70人 高二年级 40人 45人 15人 50人 高三年级 25人 30人 45人 30人 假设三个年级人数相同，以频率估计概率. (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生为高二年级学生且体验时长的概率； (2)从全校所有“认知度显著提升”的学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中高二年级学生的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设学生的认知提升度只受年级与体验时长的影响，且当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等，当“体验时长”时，高一学生“认知度显著提升”的概率为；高三学生“认知度显著提升”的概率为，判断，的大小关系.（结论无需证明） 19．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票（深度体验游客），人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动. (1)求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率； (2)如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立.设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望. (3)该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 一 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢.结合上表数据，写出方差、、、的大小关系.（结论不要求证明） 20．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线坐落于北京老城中心，全长7.8公里，始建于13世纪，是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体．它共包含15处遗产点，可分为A、B、C、D、E五种类型，具体如下表： 类 型 A古代皇家宫苑建筑 B古代皇家 祭祀建筑 C古代城市管理设施 D国家礼仪和公共建筑 E居中道路遗存 中轴线遗产点 故宫 景山 太庙 社稷坛 天坛 先农坛 钟鼓楼 万宁桥 端门 天安门 外金水桥 天安门广场及建筑群 正阳门 永定门 中轴线南段道路遗存 某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动． (1)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为D类的概率； (2)若从A、B、C这三类遗产点中随机选取3处，设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人数比值为，同时，这三个群体选择参观A类或D类遗产点的频率分布如下表： 人群 老年人 中年人 青少年 只参观A类型遗产点 60％ 25％ 30％ 只参观D类型遗产点 20％ 45％ 30％ 两类遗产点都参观 20％ 30％ 40％ 用频率估计概率，若从所有参观A类或D类遗产点的人群中随机选取1人，记“只参观A类型遗产点”的概率为，“只参观D类型遗产点”的概率为，请根据表中信息，判断与的大小关系．（结论不要求证明） 21．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表： 等级 优等品 非优等品 甲车床加工的零件数 75 25 乙车床加工的零件数 80 20 假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率； (2)从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等品的个数，估计的数学期望； (3)在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明） 22．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4~7.5 8.1~8.6 及格 7.6~9.5 8.7~10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取15名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生 7.0 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.5 7.5 7.5 8.6 9.6 9.7 9.7 9.8 女生 7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.1 8.8 9.0 9.2 9.7 10.4 10.4 10.5 10.8 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)估计该校高一男生50米跑单项及格及以上的概率； (2)从该校高一男生和女生中各随机抽取2人，估计4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有的男生达到良好及以上的成绩，又有的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的概率分别为，判断的大小．（结论不要求证明） 23．（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）为研究某大宗商品价格变化的规律，收集得到了该大宗商品连续30个交易日的价格变化情况，如下表所示．在描述价格变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天价格比前一个交易日价格高；用“↓”表示“下跌”，即当天价格比前一个交易日价格低；用“→”表示“不变”，即当天价格与前一个交易日价格相同． 时段 价格变化 第个交易日 ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ 第个交易日 ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ 用频率估计概率． (1)试估计该大宗商品价格“上涨”的概率； (2)假设该大宗商品每个交易日的价格变化是相互独立的，在未来的交易日里任取天，试估计该大宗商品价格在这天中至少有天“上涨”且至少有天“不变”的概率； (3)假设该大宗商品当日价格“上涨”、“下跌”、“不变”时，当日成交概率分别为，且．若该大宗商品每个交易日的价格变化只受前一个交易日价格变化的影响，试比较第个交易日的成交概率与的大小．（结论不要求证明） 24．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. (1)从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； (2)从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； (3)为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 25．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值（单位：L）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：L） 小于2.0 4.0及以上 等级 1 2 3 4 5 6 某校为研究高三年级男生1000米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了100名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级，整理得到如下统计图与统计表. 肺活量等级 频数 1 14 2 12 3 8 4 4 5 2 6 0 合计 40 长跑成绩未达标组 (1)从100名研究对象中随机选取1人，求此人肺活量等级为3的概率； (2)用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立.从该校全体高三年级男生中肺活量等级为4的学生中随机选取2人，肺活量等级为2的学生中随机选取1人，设这3人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望EX； (3)研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标.从100名研究对象中随机选取1人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标.写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）. 26．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. (1)求的值； (2)从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； (3)该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 27．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4 2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7 2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3 消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率． (1)从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率； (2)从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望； (3)2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明） 28．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． (1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率； (2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 29．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 30．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 31．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）某种机床运行三个月后，需对这三项指标是否合格进行检测．现随机抽取10台机床，对指标检测情况统计如下表．用“×”表示该指标不合格，用“○”表示该指标合格．       机床 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 设各机床之间相互独立．用频率估计概率． (1)某台机床运行三个月后，估计这台机床的指标合格的概率； (2)规定指标合格记1分，指标合格记2分，指标合格记2分；若某项指标不合格．该项指标记0分．将一台机床三项指标分数之和作为该机床的评分．现从全体机床中随机抽取两台，估计这两台机床评分总和大于8的概率； (3)设随机变量表示一台机床合格指标的个数．随机抽取10台机床进行检测，记事件= “这10台机床中合格指标个数为0，1，2，3的机床台数分别为1，2，3，4”． 判断服从下面哪个分布，事件发生的概率更大．（结论不要求证明） 分布1 0 1 2 3 0.2 0.2 0.2 0.4 分布2 0 1 2 3 0.1 0.3 0.2 0.4 32．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 33．（北京市十一学校顺义学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人） 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 34．（北京市东城区2026届高三上学期期末统一检测数学试题）某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． (1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； (2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望； (3)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小. 35．（北京市西城区2026届高三上学期期末考试数学试题）大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为一体，形成气溶胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子．科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采集到份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下： 甲地空气带菌粒子统计表 观测点 粒数中值直径 A 4.6 5.6 5.6 6.5 6.9 6.8 6.4 5.8 4.5 6.0 4.2 4.4 B 4.2 6.0 7.1 4.6 C 2.5 2.0 3.0 3.0 2.3 3.8 4.1 2.8 六级空气微生物采样器 级数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 采集范围 假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率． (1)根据上述数据，若在甲地空气中随机采集份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为II级的概率； (2)在A点采集的带菌粒子中随机选出份，在B点采集的带菌粒子中随机选出份，记这份中粒数中值直径为III级的份数为，求的分布列和数学期望； (3)为研究带菌粒子的生物特征，计划在C点再采集份带菌粒子．记这份带菌粒子中有份的粒数中值直径为III级的概率为．试给出的一个值，使得为中的最大值．（结论不要求证明） 36．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 B小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器. 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率. (1)估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； (2)若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记.估计的数学期望； (3)经公司讨论，有以下三种备选租赁方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，. 在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器，特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记.在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 37．（北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题）某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 (1)当时，在这100家公司中， （i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； （ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 38．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $