2.6　指数函数——2027年高中数学一轮复习浙江版课件

该高中数学高考复习课件聚焦指数函数专题，覆盖概念、图象与性质及应用等核心考点，对接高考评价体系分析比较大小、函数零点、值域问题等高频考点，归纳选择填空常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“知识梳理+真题研析+考点突破”策略，如通过“底大图高”结论解析指数幂比较大小题，培养数学思维，结合母题变式训练提升解题能力，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学实现高效复习。

第6节　指数函数 强基础•固本增分 知识梳理 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域为R. [教材知识深化] 形如y=kax,y=akx+b+h(a>0,且a≠1,k≠0)等的函数称为指数型函数,不是指数函数. 2.指数函数的图象与性质 y=ax 0<a<1 a>1 图象 “撇增 捺减” 图象     定义域 R 值域 　　 　  性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1 当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1 比较幂值大小的重要依据 在定义域R上是　　　　　  在定义域R上是　　　　　  (0,+∞) 减函数 增函数 [教材知识深化] 1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象, 应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,). 2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高,即“底大图高”. 3.f(x)=ax与g(x)=a-x=()x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. 4.指数函数的图象以x轴为渐近线. 连线高考 1.若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c D 解析 因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1. 又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D. 2.已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　　. 1 解析 ∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3 整理得,a·2x-2-x=-,即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0. (a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1. 研考点•精准突破 考点一　指数函数的图象及其应用 例1(1)(多选题)已知非零实数a,b满足等式,则下列结论不可能成立的是(　　) A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<0 CD 考点一 考点二 解析 (方法一)在同一直角坐标系中作出函数y=与y=的图象如图所示, 设=m,当m>1时, 结合图象可得a<b<0; 当m=1时,结合图象可得a=b=0; 当0<m<1时,结合图象可得a>b>0. 由此可知C,D选项不可能.故选CD. 考点一 考点二 (方法二)由题意,等式两边同时取对数,得aln=bln,即aln 2=bln 3,当a=b=0时,显然成立;当ab≠0时,得>1,所以a,b同号且|a|>|b|,所以a<b<0或0<b<a,由此可知C,D选项不可能.故选CD. 考点一 考点二 (2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　. (0,2) 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示. ∴当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0,2). 考点一 考点二 [对点训练1](1)若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有(　　) A.0<a<1且b<0 B.a>1且b>0 C.0<a<1且b>0 D.a>1且b<0 A 解析 如图所示,从图象上可以看出y=ax+b-1是减函数,则0<a<1,图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,即a0+b-1<0,可得b<0, 所以0<a<1且b<0. 考点一 考点二 (2)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值 范围是　　　　. (0,) 解析 ①当0<a<1时,y=|ax-1|的图象如图1. 因为y=2a与y=|ax-1|的图象有两个交点, 所以0<2a<1,所以0<a<; ②当a>1时,y=|ax-1|的图象如图2, 而此时直线y=2a不可能与y=|ax-1|的图象有两个交点. 综上,a的取值范围是(0,). 图1 图2 考点一 考点二 考点二　指数函数的性质及其应用(多考向探究预测) 考向1　比较指数幂的大小 例2(1)已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a C 解析 因为函数f(x)=ex在R上单调递增,且21.99>21.98=40.99>20=1>ln 2, 因此f(21.99)>f(40.99)>f(ln 2),即c<a<b,故选C. 考点一 考点二 (2)已知a=()-0.3,b=1.10.7,c=(,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a C 解析 因为函数y=()x在R上单调递减,所以a=()-0.3=()0.3<()0=1,即a∈(0,1);c=(<()0=1,即c∈(0,1),又>0.3,则(<()0.3,即a>c. 因为函数y=1.1x在R上单调递增,则b=1.10.7>1.10=1.综上,b>a>c,故选C. 考点一 考点二 [对点训练2](1)设a=0.50.4,b=0.41.1,c=1.10.5,则下列关系正确的是(　　) A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c D 解析 因为指数函数y=0.5x是减函数,所以0.51.1<0.50.4<0.50=1, 又由幂函数y=x1.1在(0,+∞)内单调递增,所以1=11.1>0.51.1>0.41.1, 又因为指数函数y=1.1x是增函数,所以1.10.5>1.10=1. 综上可得,b<a<c,故选D. 考点一 考点二 (2)设<()b<()a<1,那么(　　) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa C 解析 ∵<()b<()a<1且y=()x在R上是减函数,∴0<a<b<1, ∴指数函数y=ax在R上是减函数,∴ab<aa, ∴幂函数y=xa在R上是增函数,∴aa<ba,∴ab<aa<ba.故选C. 考点一 考点二 考向2　指数型函数的值域问题 例3(1)函数y=(的值域是(　　) A.(-∞,0) B.(0,1] C.[1,+∞) D.(-∞,1] B 解析 令t=,则t≥0,∵y=()t在区间[0,+∞)上单调递减,∴()t≤()0=1,又()t>0,∴y=(的值域为(0,1],故选B. 考点一 考点二 (2)高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为“高斯函数”,例如:[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知函数f(x)=,则函数[f(x)]的值域是(　　) A.{-1,1} B.{-1,0} C.(-1,1) D.(-1,0) B 考点一 考点二 解析 (方法一)函数f(x)==1-,因为ex>0,所以1+ex>1,所以0<<1.因此-2<-<0,所以-1<1-<1,即-1<f(x)<1. 当-1<f(x)<0时,[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时,[f(x)]=0, 因此[f(x)]的值域为{-1,0},故选B. (方法二)由f(x)=,得ex=,因为ex>0,所以>0,解得-1<f(x)<1.当-1<f(x)<0时,[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时,[f(x)]=0, 因此[f(x)]的值域为{-1,0},故选B. 考点一 考点二 [对点训练3]使函数f(x)=|ex-a|的值域为[0,+∞)的一个a的值为　　　　. 1 解析 令f(x)=|ex-a|,由题意得f(x)的值域为[0,+∞), 又y=ex的值域为(0,+∞),所以-a<0,解得a>0,故a的取值范围为(0,+∞). 考点一 考点二 考向3　解简单的指数方程或不等式 例4(1)已知函数f(x)=+a为奇函数,则方程f(x)=的解是x=　　　　. -1 解析 因为函数f(x)=+a为奇函数且定义域为R, 故f(0)=+a=0,解得a=-,经检验,当a=-时,f(x)为奇函数. 由f(x)=,得,解得x=-1. 考点一 考点二 (2)不等式≤()x-2的解集为　 . {x|-3≤x≤1} 解析 因为()x-2=(2-2)x-2=2-2x+4, 所以2-2x+4,即x2+1≤-2x+4, 即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1, 故原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}. 考点一 考点二 [对点训练4](1)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为　　　　. 　 解析 ①当a<1时,由f(1-a)=f(a-1),得41-a=2a-(a-1),即22-2a=2,所以2-2a=1,解得a=;②当a>1时,由f(1-a)=f(a-1),得2a-(1-a)=4a-1,即22a-1=22a-2,所以2a-1=2a-2,无解.综上可知,a= 考点一 考点二 (2)不等式10x-6x-3x≥1的解集为　　　　. [1,+∞) 解析 由10x-6x-3x≥1,可得()x+()x+()x≤1,令f(x)=()x+()x+()x, 因为y=()x,y=()x,y=()x均为R上的减函数,则f(x)在R上单调递减,且f(1)=1,所以f(x)≤f(1),所以x≥1,故不等式10x-6x-3x≥1的解集为[1,+∞). 考点一 考点二 考向4　指数型函数的综合应用 例5(多选题)若函数f(x)=(的图象经过点(3,1),则(　　) A.a=1 B.f(x)在(-∞,1)上单调递减 C.f(x)的最大值为81 D.f(x)的最小值为 AC 考点一 考点二 解析 对于A,由题意得f(3)=()9a-6-3=1,得a=1,故A正确; 对于B,令函数u=x2-2x-3,则该函数在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,因为y=()u在定义域R上为减函数,所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,故B错误; 对于C,D,因为f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=81,f(x)无最小值,故C正确,D错误,故选AC. 考点一 考点二 变式探究1 本例中,若将条件“函数f(x)=(的图象经过点(3,1)”改为“函数f(x)=(的最小值为9”,则实数a=　　　　. -1 解析 令u=ax2-2x-3,则f(x)=()u.因为f(x)有最小值9, 所以u=ax2-2x-3必须有最大值-2,因此得解得a=-1. 考点一 考点二 变式探究2 本例中,若将条件“函数f(x)=(的图象经过点(3,1)”改为“函数f(x)=(在区间[-2,+∞)上单调递增”,则实数a的取值范围是 　　　　. [-,0] 考点一 考点二 解析 令u=ax2-2x-3,由于f(x)=()u在区间[-2,+∞)上单调递增, 所以函数u=ax2-2x-3在区间[-2,+∞)上单调递减. 当a=0时,u=-2x-3符合题意; 当a≠0时,应满足 解得-a<0. 综上,实数a的取值范围是[-,0]. 考点一 考点二 $