应用题（专项训练）2025-2026学年五年级上册数学人教版

**基本信息** 本专项聚焦图形面积与实际应用，通过“题型归类-方法提炼-变式拓展”体系，系统整合公式逆用、分段计费等策略，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形面积|1-4,7,11,15-17|公式逆用（底=面积÷高）、转化思想|从平行四边形到三角形、梯形，构建“公式推导-实际应用”链条| |小数应用|5,10,12-14,18,20-21|进一/去尾法、分步计算|结合购物分配情境，培养运算能力与数据意识| |分段计费|22-23|分段求和、进一取整|联系生活实际，建立“总量拆分-区间计算”模型| |行程与字母表示|3,6,19|速度公式、字母代数|从具体数量到字母表示，发展符号意识与推理能力|

应用题（专项训练）2025-2026学年五年级上册数学人教版（六） 1. 一块平行四边形花圃的面积是86.4平方米，高是7.2米，这块花圃的底是多少米？ 2. 一块平行四边形草坪，底是 63 米，是高的 2.1 倍。这块平行四边形草坪的面积是多少平方米？ 3. 五一期间，李老师乘高铁从温州南站到南京南站，列车一共行驶了 612.8 千米。发车时间8:15，到达时间12:15。这列高铁的平均速度是多少？ 4. 一块平行四边形宣传展板的面积是 9.6m²，高是 2.4m。这条高对应的底边长是多少 m？ 5. 妈妈拿150元买水果，先买了12千克苹果，每千克5.5元。剩下的钱用来买每千克4.2元的香蕉，还可以买香蕉多少千克？ 6. 铺设一条长5千米的天然气主管道，已经铺设了6天，每天铺设y米。还剩（ ）米没有铺设。 7. 用四根木条钉成一个长 10 厘米、宽 6 厘米的长方形框架。将其平放在桌面上，固定一条长边，拉动对角将其变成一个平行四边形。量得此时平行四边形的高为 4 厘米。请问这个平行四边形的周长和面积分别是多少？ 8. 用四根木条钉成一个长方形框架，双手捏住相对的两个顶点向相反方向拉，使其变成一个平行四边形。在这个拉动的过程中，框架的周长和面积分别发生了怎样的变化？ 9. 北京国家体育场（俗称“鸟巢”）的建筑面积约为25.8万平方米，它比国家游泳中心（俗称“水立方”）的建筑面积的3倍还多1.8万平方米。“水立方”的建筑面积是多少万平方米？ 10. 果农王大伯要把 9kg 樱桃分装在保鲜盒里，每个保鲜盒最多装 1.2kg。王大伯至少需要准备多少个保鲜盒？ 11. 有一个占地面积是 1404m² 的梯形花圃，花圃的两条平行边分别长 28m 和 44m，如果想在这两条平行边之间修一条笔直的小路方便人们穿行，小路最短是多少米？ 12. 公司行政准备购买三箱打印纸和四盒中性笔，一箱打印纸 64.5 元，一盒中性笔 22.8 元，300 元够吗？ 13. “双十一”购物节期间，某电商平台为大约0.15亿名活跃用户发放运费补贴，平均每名用户大约补贴24元。在这期间，该电商平台发放的运费补贴总金额大约有多少亿元？ 14. 李阿姨榨了 53.2 千克的纯正花生油，将这些花生油分装到每个能装 2.5 千克的油桶里，至少需要多少个这样的油桶？ 15. 一块三角形玉米地，底是350米，高是160米，共收玉米18.2吨。这块玉米地有多少公顷？平均每公顷收玉米多少吨？ 16. 奇思家打算在一块底为 5 米，高为 3.2 米的三角形菜地上种植蔬菜。如果每平方米需要施肥 25 克，一共需要多少克肥料？ 17. 小红剪了一个三角形的窗花，面积是240平方厘米，底是30厘米，它对应的高是多少厘米？ 18. 小红拿15元钱去文具店买文具，每本练习本4.5元，每块橡皮1.5元。小红先买了2本练习本，剩下的钱还能买几块橡皮？ 19. 周末，小明和小刚约定同时从各自家中出发相向而行，会合后一起去图书馆。已知两人出发后经过 小时相遇，此时小明走了他们两家距离的一半还多 1.5 千米。已知小明的步行速度是 6 千米/时，请问他们两家相距多少千米？（用含有字母 的式子表示） 20. 缝制一套校服需要2.1米布料，100米布料最多可以缝制多少套这样的校服？ 21. 学校图书室有230本新书，每个箱子最多可以装24本书，至少需要多少个箱子才能装完这些书？ 22. 某市规定每户居民每月用电不超过50度（含50度），每度电收费0.5元；超过50度但不超过100度的，超出部分按每度0.6元收费；超过100度，超出部分按每度0.8元收费。小明家上个月用电130度，应交电费多少元？ 23. 下面是某市出租车的计价方式： (1) 2km 内收 8 元； (2) 超过 2km 的部分，每千米收 2.5 元.（不足 1km 按 1km 计算）. 李阿姨打车去超市，行驶了 5.2 千米，那么她应该付给司机多少钱？ 附：试卷深度教研解析与思路 ■ 第 1 题 深度解析： 1. 一块平行四边形花圃的面积是86.4平方米，高是7.2米，这块花圃的底是多少米？ 【考点】平行四边形面积, 小数除法 【难度】基础 最终答案 12米 思路起点 题目给出“面积”和“高”，要求“底”。把生活情境先剥离成数量关系：平行四边形面积=底×高。已知面积和高，就用“面积÷高=底”作为突破口列式计算。 详细解答 已知：面积是86.4平方米，高是7.2米。 1）根据平行四边形面积公式： 面积 = 底 × 高 所以：底 = 面积 ÷ 高 2）列式计算： 底 = 86.4 ÷ 7.2 = 864 ÷ 72（把被除数和除数同时扩大10倍，商不变） = 12（因为72×12=864） 3）写出结果（带单位）： 底是12米。 答：这块花圃的底是12米。 学生易错 1）公式用错：把“底=面积÷高”写成“底=面积×高”。 2）小数除法点错小数点：没有使用“被除数、除数同时扩大相同倍数，商不变”的方法，导致计算出1.2或120等错误结果。 3）单位漏写或写错：最后只写12，没有写“米”。 变式拓展 一块平行四边形草坪的面积是75.6平方米，底是10.5米，这块草坪的高是多少米？ ■ 第 2 题 深度解析： 2. 一块平行四边形草坪，底是 63 米，是高的 2.1 倍。这块平行四边形草坪的面积是多少平方米？ 【考点】平行四边形面积, 倍数关系, 小数除法 【难度】中等 最终答案 1890 平方米 思路起点 先暂时不看“草坪”的情境，抓住两个核心信息：①平行四边形面积公式“面积=底×高”；②“底是高的 2.1 倍”给出的是“底和高的倍数关系”。因为要求面积必须知道高，所以突破口是先由倍数关系求出高，再代入面积公式计算。 详细解答 <thinking> 由“底是高的2.1倍”得：底=2.1×高，所以高=底÷2.1=63÷2.1。 把除数变成整数：63÷2.1=630÷21=30。 面积=底×高=63×30=1890。 </thinking> 1）先求高 因为“底是高的 2.1 倍”，表示：底 = 高 × 2.1。 所以：高 = 底 ÷ 2.1。 列式：高 = 63 ÷ 2.1（米） 计算： 63 ÷ 2.1 = 630 ÷ 21 （被除数和除数同时扩大 10 倍，商不变） = 30（米） 所以，高是 30 米。 2）再求面积 平行四边形面积 = 底 × 高。 列式：面积 = 63 × 30（平方米） 计算：63 × 30 = 1890（平方米） 答：这块平行四边形草坪的面积是 1890 平方米。 学生易错 1）倍数关系理解反了：把“底是高的 2.1 倍”错当成“高是底的 2.1 倍”，从而把高算成 63×2.1。 2）小数除法位数移动出错：把 63÷2.1 处理成 63÷21 或 630÷2.1，忘记“被除数和除数要同时扩大相同倍数”。 3）面积公式混淆：把平行四边形面积误写成“底×高÷2”（那是三角形面积）。 4）单位漏写：最后结果应是“平方米”，不是“米”或“平方厘米”。 变式拓展 一块平行四边形停车场，底是 58 米，是高的 1.45 倍。求这个停车场的面积是多少平方米？ ■ 第 3 题 深度解析： 3. 五一期间，李老师乘高铁从温州南站到南京南站，列车一共行驶了 612.8 千米。发车时间8:15，到达时间12:15。这列高铁的平均速度是多少？ 【考点】平均速度, 路程、时间、速度关系, 小数除法 【难度】中等 最终答案 153.2 千米/时 思路起点 看到“行驶了多少千米”和“从几点到几点”，先把情境抽象成“路程 s”和“用时 t”。平均速度就是 。本题关键突破口是先算出经过时间（用时），再用“路程÷时间”求平均速度。 详细解答 <thinking> 先算用时：12:15－8:15=4小时。 平均速度=路程÷时间=612.8÷4。 计算：612.8÷4=153.2。 </thinking> 1）求行驶时间（用时） - 到达时间是 12:15，发车时间是 8:15。 - 因为分钟数相同（都是 15 分），只需相减小时数： 12:15 − 8:15 = 4（小时）。 所以，这列高铁行驶时间是 4 小时。 2）求平均速度 - 速度与路程、时间的关系：平均速度 = 路程 ÷ 时间。 - 列式：612.8 ÷ 4。 - 脱式计算： 612.8 ÷ 4 = (612 ÷ 4) + (0.8 ÷ 4) = 153 + 0.2 = 153.2。 3）写答语 - 平均速度是 153.2 千米/时。 学生易错 1）用时计算错误：把 12:15 − 8:15 误算成 3 小时或 5 小时。特别是跨小时、分钟不同时更易出错。 2）忽略单位：只写 153.2 不写“千米/时”，或误写成“千米”。 3）小数除法算错：把 612.8 ÷ 4 误算成 15.32、153.02 等，常见原因是小数点位置处理不当。 4）公式混用：把“路程÷时间”错写成“时间÷路程”。 变式拓展 变式题：周末王老师乘高铁从甲站到乙站，全程 525 千米。发车时间7:40，到达时间11:10。这列高铁的平均速度是多少（结果保留一位小数）？ ■ 第 4 题 深度解析： 4. 一块平行四边形宣传展板的面积是 9.6m²，高是 2.4m。这条高对应的底边长是多少 m？ 【考点】平行四边形面积, 除法求未知量 【难度】基础 最终答案 4 m 思路起点 题目给出“面积”和“高”，要求“这条高对应的底边”。把生活情境先剥离成数量关系：平行四边形面积 = 底 × 高。已知面积和高，求底，就用“底 = 面积 ÷ 高”。 详细解答 <thinking> 要求底边：底 = 面积 ÷ 高 = 9.6 ÷ 2.4。 验算：2.4 × 4 = 9.6，计算应得 4。 </thinking> (1) 根据平行四边形面积公式：面积 = 底 × 高。 所以：底 = 面积 ÷ 高。 (2) 列式计算： 底 = 9.6 ÷ 2.4 = (96 ÷ 24) （被除数和除数同时扩大 10 倍，小数除法转化为整数除法） = 4 (3) 写出结果并带单位： 底边长是 4 m。 答：这条高对应的底边长是 4 m。 学生易错 1. 公式用错：把“面积 = 底×高”误写成“面积 = 底+高”，或求底时误用“面积×高”。 2. 对应关系忽略：题目强调“这条高对应的底边”，有的学生会误以为求的是另一条边。 3. 小数除法算错：9.6 ÷ 2.4 小数点位置处理不当；忘记“同时扩大相同倍数”再计算。 4. 单位遗漏：最后答案忘记写“m”。 变式拓展 一块平行四边形地垫的面积是 1.26m²，其中一条底边长是 0.9m。求这条底边对应的高是多少 m？ ■ 第 5 题 深度解析： 5. 妈妈拿150元买水果，先买了12千克苹果，每千克5.5元。剩下的钱用来买每千克4.2元的香蕉，还可以买香蕉多少千克？ 【考点】小数四则混合运算, 解决实际问题 【难度】中等 最终答案 20千克 思路起点 引导学生从“总钱数”入手，理清购买两种物品的先后顺序。首先根据“单价×数量=总价”求出买第一种物品花去的钱数；接着用总钱数减去已花去的钱数，得到“剩余的钱数”这一关键中间量；最后根据“数量=总价÷单价”求出第二种物品能买的数量。 详细解答 分步列式解答： 第一步，计算买苹果花去的钱数： （元） 第二步，计算买完苹果后剩下的钱数： （元） 第三步，计算剩下的钱可以买香蕉的数量： （千克） 综合算式解答： （千克） 答：还可以买香蕉20千克。 学生易错 1. 运算顺序错误：在列综合算式时，忘记给减法部分“”加上小括号，导致运算顺序出错。 2. 小数除法计算错误：在计算 时，利用商不变的性质将除数转化为整数时，被除数忘记同时扩大到原来的10倍（即变成 ），导致商的小数点位置点错。 3. 格式与单位遗漏：分步解答时算式后面忘记带单位，或者最后忘记写完整的答语。 变式拓展 李老师带了200元去文具店买班级奖品。她先买了15本笔记本，每本6.8元。剩下的钱准备买单价为4.5元的钢笔，最多可以买多少支钢笔？ ■ 第 6 题 深度解析： 6. 铺设一条长5千米的天然气主管道，已经铺设了6天，每天铺设y米。还剩（ ）米没有铺设。 【考点】用字母表示数, 单位换算 【难度】中等 最终答案 5000-6y 思路起点 本题的核心在于“用字母表示数”以及“统一单位”。看到题目中总长度的单位是“千米”，而每天铺设的单位是“米”，首先要想到将单位统一。其次，根据“剩余量 = 总量 - 已完成的量”这一核心数量关系，用含有字母的式子表示出已铺设的长度，进而求出剩余长度。 详细解答 第一步：统一单位。题目中总长度为5千米，需要换算成米，即5千米 = 5000米。 第二步：表示已铺设的长度。每天铺设y米，铺设了6天，根据“工作总量 = 工作效率 × 工作时间”，已铺设的长度为6y米。 第三步：表示剩余长度。根据“剩余长度 = 总长度 - 已铺设长度”，可列出含有字母的式子：5000 - 6y。 答：还剩（5000 - 6y）米没有铺设。 学生易错 1. 忽略单位换算：学生容易直接看到数字5和字母y，没有注意到“千米”和“米”的单位差异，直接用5减去6y，错误地写成5-6y。 2. 书写格式不规范：在表示已铺设长度时，没有遵循“数字写在字母前面”且“省略乘号”的规则，错误地写成y6或6×y。 变式拓展 铺设一条长a千米的自来水管道，已经铺了b天，每天铺c米。请用含有字母的式子表示还剩多少米没有铺？当a=4，b=10，c=250时，还剩多少米没有铺？ ■ 第 7 题 深度解析： 7. 用四根木条钉成一个长 10 厘米、宽 6 厘米的长方形框架。将其平放在桌面上，固定一条长边，拉动对角将其变成一个平行四边形。量得此时平行四边形的高为 4 厘米。请问这个平行四边形的周长和面积分别是多少？ 【考点】平行四边形的面积, 周长的认识 【难度】中等 最终答案 周长 32 厘米，面积 40 平方厘米 思路起点 首先明确木条框架在拉伸过程中，四条边的长度没有发生改变，因此周长保持不变。其次，要求平行四边形的面积，需要找准对应的底和高。题目固定了长边，说明底是 10 厘米，已知高为 4 厘米，直接利用平行四边形面积公式计算即可。 详细解答 1. 计算周长：因为木条框架拉伸时边长不变，所以平行四边形的周长等于原长方形的周长。 列式：（厘米） 2. 计算面积：固定一条长边，说明平行四边形的底为 10 厘米。已知对应的高为 4 厘米。 列式：（平方厘米） 答：这个平行四边形的周长是 32 厘米，面积是 40 平方厘米。 学生易错 1. 误认为拉伸后面积不变，直接用原长方形的长乘宽（）计算面积； 2. 找错底和高的对应关系，误用宽 6 厘米去乘高 4 厘米； 3. 计算周长时只加了长和宽，忘记乘 2。 变式拓展 用四根吸管做成一个边长为 8 厘米的正方形框架。捏住对角将其拉成一个平行四边形，发现面积比原来减少了 16 平方厘米。求此时平行四边形的高是多少厘米？ ■ 第 8 题 深度解析： 8. 用四根木条钉成一个长方形框架，双手捏住相对的两个顶点向相反方向拉，使其变成一个平行四边形。在这个拉动的过程中，框架的周长和面积分别发生了怎样的变化？ 【考点】长方形和平行四边形的特征, 周长与面积的变化规律 【难度】基础 最终答案 周长不变，面积变小 思路起点 解答本题的关键是抓住“周长”和“面积”的本质决定因素。思考起点分为两步：第一步，观察拉动过程中四条边的长度是否改变，从而判断周长的变化；第二步，将长方形的一条边作为底，观察拉动后底边长度和对应高的变化情况，结合面积公式判断面积的变化。 详细解答 第一步：分析周长的变化。 长方形框架被拉成平行四边形的过程中，仅仅是四条边之间的夹角发生了改变，四条木条本身的长度并没有发生任何变化。因为周长是封闭图形所有边长的总和，所以框架的周长不变。 第二步：分析面积的变化。 假设以长方形的一条长边为底，在拉动前，长方形的宽即为对应的高。拉动变成平行四边形后，底边的长度保持不变，但原来的宽变成了平行四边形的斜边。根据“直角三角形中斜边大于直角边”的原理，此时平行四边形的高小于原来的宽（即高变短了）。根据平行四边形的面积公式：面积=底×高，在底不变的情况下，高变小，因此面积变小。 答：在这个拉动的过程中，框架的周长不变，面积变小。 学生易错 1. 空间想象能力薄弱，误以为形状改变会导致周长也随之改变。 2. 混淆“斜边”与“高”的概念，错误地认为拉动后原来的宽依然是高，从而得出面积不变的结论。 3. 答题不规范，只回答了变大或变小，没有分别针对“周长”和“面积”进行完整表述。 变式拓展 用四根木条钉成一个底为 10 厘米、高为 6 厘米的平行四边形框架，如果把它拉成一个长方形，面积会增加 20 平方厘米。求原来平行四边形框架的周长是多少厘米？ ■ 第 9 题 深度解析： 9. 北京国家体育场（俗称“鸟巢”）的建筑面积约为25.8万平方米，它比国家游泳中心（俗称“水立方”）的建筑面积的3倍还多1.8万平方米。“水立方”的建筑面积是多少万平方米？ 【考点】列方程解应用题, 倍数问题, 小数加减法 【难度】中等 最终答案 8万平方米 思路起点 解答这类题目的关键是找准题目中的‘标准量’（即一倍量）和‘比较量’。读题时重点关注‘它比……的3倍还多1.8万平方米’这句话，这里的‘它’指代‘鸟巢’的面积。由此可以建立核心等量关系：‘水立方’的建筑面积 ‘鸟巢’的建筑面积。理清关系后，顺着题意列方程是最清晰、最不容易出错的方法；如果使用算术方法，则需要运用逆向思维，先从‘鸟巢’的总面积中减去多出来的部分，再除以倍数。 详细解答 本题提供两种常规解法： 方法一：列方程解答（推荐，顺向思维不易错） 设“水立方”的建筑面积是 万平方米。 根据等量关系：“水立方”的建筑面积 “鸟巢”的建筑面积，列出方程： 解方程，首先将两边同时减去 ： 然后两边同时除以 ： 方法二：算术方法解答（逆向思维） 已知“鸟巢”比“水立方”的 倍还多 万平方米。如果我们从“鸟巢”的面积中剔除多出来的 万平方米，剩下的恰好是“水立方”面积的 倍。 第一步，求出“水立方”面积的 倍是多少： （万平方米） 第二步，求出“水立方”的面积： （万平方米） 综合算式为： （万平方米） 答：“水立方”的建筑面积是 万平方米。 学生易错 1. 对象混淆导致关系列反：部分基础薄弱的学生看到“3倍”和“多1.8”，会直接用已知数据去计算，错列成 ，没有意识到 是比较量，不是一倍量。 2. 逆向算术的运算顺序错误：在不列方程直接列综合算式时，忘记加小括号，错列成 ；或者运算逻辑混乱，错列成 导致出错。 3. 多此一举换算单位：题目已知条件和最后求的问题统一都是“万平方米”，直接用小数进行计算即可。个别学生会盲目将其转化为“平方米”进行大数计算，由于末尾“0”的个数写错而失分。 变式拓展 我国“复兴号”动车组列车的常规运行速度约为350千米/时，它比某型号普速列车最高运行速度的3倍还多20千米/时。该型号普速列车的最高运行速度是多少千米/时？ ■ 第 10 题 深度解析： 10. 果农王大伯要把 9kg 樱桃分装在保鲜盒里，每个保鲜盒最多装 1.2kg。王大伯至少需要准备多少个保鲜盒？ 【考点】小数除法, 进一法 【难度】基础 最终答案 8 个 思路起点 本题考查的是小数除法在实际生活中的应用。首先需要剥离“分装樱桃”的生活场景，提炼出核心数量关系：“总量 单个容器的容量 容器数量”。本题的核心突破口在于对计算结果的处理：由于容器的个数必须是整数，且剩余的哪怕一点点樱桃也需要额外占用一个盒子，因此不能使用常规的“四舍五入法”，必须使用“进一法”来保留整数。 详细解答 已知樱桃的总重量是 9kg，每个保鲜盒最多装 1.2kg，求需要的保鲜盒数量，用除法计算。 列式计算得： （个） 结合实际生活常识，保鲜盒的数量必须是正整数。如果只准备 7 个保鲜盒，只能装下 （kg）的樱桃，还剩下 （kg）的樱桃。为了把所有的樱桃都装起来，剩下的 0.6kg 樱桃也必须再用 1 个保鲜盒来装。因此，这里需要采用“进一法”取整数。 （个） 答：王大伯至少需要准备 8 个保鲜盒。 学生易错 1. 忽略实际意义：计算出商为 7.5 后直接作答为“7.5 个”，没有考虑到现实中物品的个数必须是整数。 2. 错用“四舍五入”：学生往往习惯性地使用“四舍五入”法保留整数。虽然本题 四舍五入后恰好也是 ，但如果算出的商是 ，学生就极易四舍五入得到 从而导致错误，没有真正理解“进一法”的适用场景。 3. 计算错误：在进行小数除法计算时，小数点移动错误导致算错商。 变式拓展 服装厂做一套儿童演出服需要 2.2 米布，仓库里现在有 15 米相同的布，最多可以做多少套这样的儿童演出服？（提示：结合实际思考，布料做衣服该用“进一法”还是“去尾法”） ■ 第 11 题 深度解析： 11. 有一个占地面积是 1404m² 的梯形花圃，花圃的两条平行边分别长 28m 和 44m，如果想在这两条平行边之间修一条笔直的小路方便人们穿行，小路最短是多少米？ 【考点】梯形面积, 垂线段最短 【难度】中等 最终答案 39 米 思路起点 本题的突破口在于理解隐藏在生活情境背后的几何概念。首先引导学生思考：在两条平行线之间画线段，什么线段最短？根据“垂线段最短”原理，平行边之间的最短距离其实就是梯形的高。明确了这一点，题目就转化成了已知梯形的面积和上、下底，求高。直接逆用梯形的面积公式 ，得出 即可求解。 详细解答 第一步，理解题意转化为数学模型：“在这两条平行边之间修一条小路，小路最短”，根据“平行线间的距离，垂线段最短”可知，所求小路的最短长度也就是梯形花圃的高。 第二步，根据梯形面积公式列式： 梯形的面积 上底 下底 高 高 面积 上底 下底 第三步，代入数据进行计算： （米） 答：小路最短是 米。 学生易错 1. 几何直观薄弱：不明白“平行边之间最短的距离”就是求梯形的高，导致无从下手。 2. 逆用公式错误：在逆向运用梯形面积公式求高时，容易忘记将面积“乘2”，直接用面积除以上下底之和，列出错误的算式如 。 变式拓展 一块梯形玉米试验田的面积是 平方米，它的两条平行边长分别是 米和 米。有一台收割机要沿着垂直于平行边的方向在这块田里开出一条笔直的通道，这条通道长多少米？ ■ 第 12 题 深度解析： 12. 公司行政准备购买三箱打印纸和四盒中性笔，一箱打印纸 64.5 元，一盒中性笔 22.8 元，300 元够吗？ 【考点】小数乘法, 小数加法, 生活中的估算 【难度】基础 最终答案 够 思路起点 题目要求判断给定的总金额（300元）是否足够支付购买物品的总价。我们需要根据“单价 数量 = 总价”的数量关系，分别算出打印纸和中性笔的花费，相加求出总花费后，再与 300 元进行比较大小。此类题目也可以引导学生尝试用“向上估算”的方法，把单价往大估，看估算后的总价是否依然不超标。 详细解答 方法一（精确计算）： 1. 先计算买三箱打印纸需要多少钱：（元）； 2. 再计算买四盒中性笔需要多少钱：（元）； 3. 计算购买这些物品一共需要的总价：（元）； 4. 将总花费与带的钱进行比较：因为 ，所以带 300 元够了。 答：300 元够。 方法二（估算法）： 将 64.5 元往大估算为 65 元，将 22.8 元往大估算为 23 元。 买三箱打印纸和四盒中性笔估算的最高总价为： （元）。 因为即便把商品单价都往大了估，总花费 287 元依然小于带的 300 元，所以实际需要的钱数一定小于 300 元。 答：300 元够。 学生易错 1. 审题不仔细：把“三箱”或“四盒”的数量混淆，或者漏乘数量直接把单价相加； 2. 小数计算出错：在进行小数加法时，没有将小数点对齐导致算错总价，或者小数乘法中忘记点小数点； 3. 答题步骤不完整：算出了总金额就直接写答语“够了”，缺失了用不等号进行大小比较（如 ）的关键逻辑步骤。 变式拓展 张老师带了 500 元去体育用品店，打算买 4 个排球和 3 副乒乓球拍。每个排球 78.5 元，每副乒乓球拍 62.4 元，请问张老师带的钱够吗？ ■ 第 13 题 深度解析： 13. “双十一”购物节期间，某电商平台为大约0.15亿名活跃用户发放运费补贴，平均每名用户大约补贴24元。在这期间，该电商平台发放的运费补贴总金额大约有多少亿元？ 【考点】小数乘法, 数量关系, 大数单位换算 【难度】基础 最终答案 3.6亿元 思路起点 这道题的核心是基础的数量关系“单份量 × 数量 = 总量”，即“平均每人的补贴金额 × 用户总数 = 补贴总金额”。解答本题的突破口在于处理单位“亿”。因为用户总数的单位是“亿名”，而最终问题求的单位也是“亿元”，所以我们不需要把“0.15亿”繁琐地还原成具体到“个”位的数值（即15000000），直接带上“亿”这个计数单位进行小数乘法计算即可，这样能大大简化计算过程并降低出错率。 详细解答 根据题意，活跃用户数量为0.15亿名，平均每名用户补贴24元。 求总金额的列式为： （亿元） 【计算过程说明】： 可以先按整数乘法计算 。 因为因数0.15有两位小数，所以从360的右边起数出两位点上小数点，得到3.60。 根据小数的性质，去掉末尾的0，最终结果为3.6。 答：该电商平台发放的运费补贴总金额大约有3.6亿元。 学生易错 1. 画蛇添足导致错位：部分学生看到带有“亿”的数字，会习惯性先把0.15亿展开写成15000000，算出360000000元后，再换算回“亿元”时数错0的个数，导致得出36亿元或0.36亿元的错误结果。 2. 小数点位置点错：在竖式计算 时，忘记看因数的小数位数，或者在末尾补0去0的过程中出错，直接写成36。 3. 答题不规范：计算结果为3.60时，没有根据小数的性质去掉末尾无意义的“0”进行最简化。 变式拓展 “五一”小长假期间，某著名风景区对大约0.08亿名特定人群（如学生、老人）实施免门票政策，该景区平均每张门票的价格为85元。该风景区“五一”期间免收的门票总金额大约有多少亿元？ ■ 第 14 题 深度解析： 14. 李阿姨榨了 53.2 千克的纯正花生油，将这些花生油分装到每个能装 2.5 千克的油桶里，至少需要多少个这样的油桶？ 【考点】小数除法, 进一法 【难度】基础 最终答案 22个 思路起点 本题的核心数量关系是“总重量 ÷ 每个容器的容量 = 需要的容器数量”。在思考时，首先要引导学生剥离生活场景，列出除法算式。其次，找准本题的突破口：在算出带有小数的结果后，必须联系生活实际进行判断。剩下的油哪怕再少，也不能倒掉，必须额外用一个完整的桶来装，因此不能使用常规的“四舍五入法”，而必须采用“进一法”保留整数。 详细解答 1. 列出算式：根据“容器数量 = 总重量 ÷ 每个容器的容量”，列出算式 53.2 ÷ 2.5。 2. 计算准确值：53.2 ÷ 2.5 = 21.28（个）。 3. 结合实际取近似值：计算结果 21.28 个，代表这 53.2 千克花生油可以装满 21 个油桶，还剩下 0.28 桶的油（即 0.7 千克）。因为剩下的油也必须用 1 个桶来装，所以我们要用“进一法”取整数，即 21 + 1 = 22（个）。 完整作答过程： 53.2 ÷ 2.5 = 21.28（个） 21 + 1 = 22（个） 答：至少需要 22 个这样的油桶。 学生易错 1. 盲目使用“四舍五入法”：这是中等偏下学生最容易掉入的陷阱。算数结果是 21.28，学生看十分位是 2，就习惯性地“四舍”，得出错误答案 21 个，完全忽略了“剩下的油也需要桶装”的实际情况。 2. 小数除法计算错误：在计算 53.2 ÷ 2.5 时，将被除数和除数同时扩大 10 倍化为 532 ÷ 25 进行计算时，商的小数点点错位置，或者余数处理错误导致得数算错。 变式拓展 张裁缝买来了 18.5 米的纯棉布料准备做校服。已知做一套完整的校服需要 2.4 米布料，这些布料最多能做多少套完整的校服？ ■ 第 15 题 深度解析： 15. 一块三角形玉米地，底是350米，高是160米，共收玉米18.2吨。这块玉米地有多少公顷？平均每公顷收玉米多少吨？ 【考点】三角形面积, 面积单位换算, 小数除法应用 【难度】中等 最终答案 2.8公顷；6.5吨 思路起点 解决本题需要理清两个核心问题：第一，求出玉米地的实际面积。根据三角形面积公式算出面积后，由于题目要求回答‘公顷’，必须将‘平方米’转化为‘公顷’；第二，求‘平均每公顷的产量’。这里要用到‘总产量 ÷ 总面积 = 单产’的数量关系，找准被除数和除数，进行小数除法计算即可。 详细解答 首先，根据三角形的面积公式（面积 = 底 × 高 ÷ 2），求出这块玉米地的面积： 350 × 160 ÷ 2 = 28000（平方米） 接着，将平方米化成题干要求的公顷。因为 1 公顷 = 10000 平方米，需要将小数点向左移动四位： 28000 平方米 = 2.8 公顷 最后，求平均每公顷收玉米的质量，用玉米的总产量除以这块地的公顷数： 18.2 ÷ 2.8 = 6.5（吨） 答：这块玉米地有 2.8 公顷，平均每公顷收玉米 6.5 吨。 学生易错 1. 面积公式运用错误：在计算三角形面积时，直接用底乘高，遗忘了公式中必须‘÷2’的步骤。 2. 面积单位进率混淆：不清楚公顷和平方米之间的进率是 10000，可能误当成 1000 或 100，导致小数点移动错位（如算成 28 公顷或 0.28 公顷）。 3. 颠倒除法关系：求‘平均每公顷产多少吨’时，理不清总产量和总面积的对应关系，错误地用面积去除了产量（2.8 ÷ 18.2），导致最终答案错误。 变式拓展 一块平行四边形果园，底是250米，高是160米，共收苹果18吨。这块果园有多少公顷？平均每公顷收苹果多少吨？ ■ 第 16 题 深度解析： 16. 奇思家打算在一块底为 5 米，高为 3.2 米的三角形菜地上种植蔬菜。如果每平方米需要施肥 25 克，一共需要多少克肥料？ 【考点】三角形面积, 乘法应用题 【难度】基础 最终答案 200 克 思路起点 解决本题的核心是分两步思考：第一步，看到“三角形菜地”及其“底”和“高”，首先想到需要利用三角形的面积公式（面积 = 底 × 高 ÷ 2）求出菜地的总面积；第二步，已知“每平方米需要施肥 25 克”，要求“一共需要多少克肥料”，实际上就是求总面积里包含多少个 25 克，利用数量关系“总质量 = 每平方米所需质量 × 总面积”即可算出最终结果。 详细解答 第一步，计算三角形菜地的总面积。 根据公式“三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2”，列式计算： 5 × 3.2 ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8（平方米） 第二步，计算一共需要的肥料质量。 用每平方米需要的肥料质量乘以菜地的总面积： 25 × 8 = 200（克） 综合算式： 5 × 3.2 ÷ 2 × 25 = 16 ÷ 2 × 25 = 8 × 25 = 200（克） 答：一共需要 200 克肥料。 学生易错 1. 面积公式用错：这是最常见的陷阱，部分学生在计算三角形面积时，容易受长方形面积公式的影响而忘记“除以 2”，直接用底乘高（5 × 3.2 = 16），导致最终结果翻倍，错误算出 400 克。 2. 小数乘法计算粗心：在计算 5 × 3.2 时，点错小数点的位置，导致后续全错。 变式拓展 李大伯家有一块平行四边形的麦田，底是 24 米，高是 15 米。如果每平方米可以收小麦 1.2 千克，这块麦田一共可以收小麦多少千克？ ■ 第 17 题 深度解析： 17. 小红剪了一个三角形的窗花，面积是240平方厘米，底是30厘米，它对应的高是多少厘米？ 【考点】三角形的面积, 公式逆运算 【难度】基础 最终答案 16厘米 思路起点 本题考查的是三角形面积公式的逆向应用。已知三角形的面积和底，求对应的高。首先回忆三角形的面积公式：面积 = 底 × 高 ÷ 2。要求高，只需要根据等式的基本性质或四则运算的逆运算进行推导，得出：高 = 面积 × 2 ÷ 底。找准这一核心数量关系，将数据代入即可求解。 详细解答 根据三角形的面积公式：面积 = 底 × 高 ÷ 2， 可以推导出求高的公式：高 = 面积 × 2 ÷ 底。 已知面积为 240 平方厘米，底为 30 厘米， 代入数据列式计算： 240 × 2 ÷ 30 = 480 ÷ 30 = 16 （厘米） 答：它对应的高是16厘米。 学生易错 学生在做此类题目时，最容易犯的错误是直接用“面积 ÷ 底”（240 ÷ 30 = 8），忘记了三角形面积公式中的“÷ 2”，在逆运算时也就漏掉了“× 2”，从而错把三角形当成平行四边形来计算。 变式拓展 王大伯有一块三角形的菜地，面积是 540 平方米。量得这块菜地对应的高是 36 米，这块三角形菜地的底是多少米？ ■ 第 18 题 深度解析： 18. 小红拿15元钱去文具店买文具，每本练习本4.5元，每块橡皮1.5元。小红先买了2本练习本，剩下的钱还能买几块橡皮？ 【考点】小数乘除法, 四则混合运算, 单价、数量与总价 【难度】基础 最终答案 4块 思路起点 看到题目中有“总钱数”和“两种物品的单价及部分购买数量”，我们要迅速在大脑中建立起“总价=单价×数量”的核心数量关系。本题的终极目标是求“还能买几块橡皮”（即数量），根据公式“数量=总价÷单价”，我们要找准这里的“总价”其实就是“剩下的钱数”。因此突破口在于按事件发展的先后顺序：先算出买练习本花掉了多少钱，再用总钱数减去花掉的钱求出余额，最后除以橡皮的单价即可得出答案。 详细解答 【分步计算法】 第一步，计算买练习本花去的总钱数： （元） 第二步，计算买完练习本后剩下的钱数： （元） 第三步，计算剩下的钱能买多少块橡皮： （块） 【综合算式法】 列出综合算式求解，注意小括号的使用： （块） 答：剩下的钱还能买4块橡皮。 学生易错 1. 运算顺序错乱：在列综合算式时，忘记给前面的减法部分加小括号，导致违背了四则运算的优先级和实际消费的顺序。 2. 小数除法算理不清：在计算整数除以小数（如 ）时，没有运用商不变规律将除数转化为整数，或是转化时忘记在被除数 的末尾补 变成 而导致错算。 变式拓展 张老师带了100元去买体育用品，每个排球35.5元，每根跳绳4.5元。张老师先买了2个排球，剩下的钱最多能买几根跳绳？如果张老师想再买7根跳绳，带的钱够吗？ ■ 第 19 题 深度解析： 19. 周末，小明和小刚约定同时从各自家中出发相向而行，会合后一起去图书馆。已知两人出发后经过 小时相遇，此时小明走了他们两家距离的一半还多 1.5 千米。已知小明的步行速度是 6 千米/时，请问他们两家相距多少千米？（用含有字母 的式子表示） 【考点】用字母表示数, 相遇问题, 行程问题 【难度】中等 最终答案 千米 思路起点 本题是一道用字母表示数的行程问题应用题。思考的起点在于先把字母当作具体的数参与运算。首先，根据“速度×时间＝路程”，计算出小明走的路程。接着，剥离出题目中的核心等量关系：小明走的路程＝两家总距离的一半＋1.5千米。利用逆向思维推导：从“小明走的路程”中减去多出来的1.5千米，就等于“两家总距离的一半”；最后将一半的距离乘2，即可得到两家的总距离。 详细解答 第一步，计算小明相遇前走的路程： 已知小明的步行速度是 6 千米/时，出发后经过 小时相遇， 小明走的路程 = （千米）。 第二步，求出两家总距离的一半： 根据题意，小明走的路程比两家总距离的一半多 1.5 千米。 因此，总距离的一半 = 小明走的路程 - 1.5 = （千米）。 第三步，求出两家的总距离： 两家的总距离 = 总距离的一半 （千米）。 答：他们两家相距 千米。 学生易错 1. 错误理解数量关系：部分学生会将“一半还多 1.5 千米”错解为加法，写成“总距离的一半 = ”，导致结果全错。 2. 乘法分配律漏乘：在将一半的距离乘 2 时，只让 乘了 2，忘记将 1.5 也乘 2，从而得出错误答案 。 3. 书写规范问题：用含有字母的式子表示结果时，当结果是加减法且后面带有单位，必须把整个式子加上括号。有些学生会写成“ 千米”，这不符合代数式的书写规范。 变式拓展 小华和小强分别从甲、乙两地同时出发相向而行，经过 小时相遇。相遇时，小华走了全程的一半少 2.5 千米。已知小华的步行速度是 5 千米/时，请用含有字母 的式子表示甲、乙两地相距多少千米？ ■ 第 20 题 深度解析： 20. 缝制一套校服需要2.1米布料，100米布料最多可以缝制多少套这样的校服？ 【考点】小数除法, 去尾法, 解决问题 【难度】基础 最终答案 47套 思路起点 读题后，首先明确这是一个求“总量中包含多少个单一量”的问题，核心数量关系是“布料总长度 ÷ 每套所需布料 = 可缝制的套数”。本题的思考突破口在于结合生活实际：衣服必须是一整套的，计算出的结果如果带有小数，意味着剩下的布料不够再做完整的一套，此时必须采用“去尾法”保留整数，而不能死板地使用“四舍五入法”。 详细解答 1. 明确算法：已知布料总长为100米，每套校服需要2.1米，求总长里包含几个2.1米，用除法计算。 2. 列式计算：100 ÷ 2.1 ≈ 47.619...（套） 3. 结合实际取近似值：因为校服必须是完整的，算出的结果虽然小数部分的第一位是6，但在实际生活中，剩下的布料即使再多，只要不足2.1米就无法再缝制一套完整的校服。因此必须把小数部分全部舍去，采用“去尾法”保留整数。 4. 最终结果：最多可以缝制47套。 答：100米布料最多可以缝制47套这样的校服。 学生易错 1. 错用“四舍五入”法：部分中等偏下的学生在算出商为 47.6... 时，会机械地按照“四舍五入”法进位，得出 48 套的错误答案，脱离了“布料不够做一套”的物理现实。 2. 小数除法计算错误：在列竖式计算 100 ÷ 2.1 时，根据商不变的规律，除数和被除数要同时扩大10倍。学生容易在被除数 100 末尾漏添0（算成 100 ÷ 21），导致数量级出错。 变式拓展 【对比练习】果园收了75千克的苹果，如果每个塑料筐最多能装4.5千克苹果。要把这些苹果全部装入筐中运走，至少需要准备多少个这样的塑料筐？（提示：想一想，这道题应该用“去尾法”还是“进一法”？） ■ 第 21 题 深度解析： 21. 学校图书室有230本新书，每个箱子最多可以装24本书，至少需要多少个箱子才能装完这些书？ 【考点】有余数的除法, 进一法 【难度】基础 最终答案 10个 思路起点 本题的核心数量关系是“总数量 ÷ 每个容器的容量 = 容器数量”。在读题时，要抓住关键字眼“至少”和“装完”。当总数量不能被每个箱子的容量整除时，会产生余数。无论剩下多少本书，为了把书“装完”，剩下的书都必须额外占用一个箱子。这种结合实际生活场景处理余数的方法，在数学上称为“进一法”。 详细解答 第一步，根据题意列出除法算式，计算出可以装满几个箱子，还剩下几本书： 230 ÷ 24 = 9（个）…… 14（本） 第二步，分析计算结果。算式表明，230本书装满9个箱子后，还剩余14本书。 第三步，结合实际生活进行判断。剩下的14本书也需要箱子来装，所以需要在9个装满的箱子基础上，再增加1个箱子。 9 + 1 = 10（个） 答：至少需要10个箱子才能装完这些书。 学生易错 1. 机械计算，忽略生活常识：算出商是9，余数是14后，直接作答“需要9个箱子”，没有对余数进行“进一”处理，导致剩下的14本书没装进去。 2. 单位混淆：在写横式结果时，搞不清商和余数的单位，错误地写成“9（本）…… 14（个）”，缺乏对算理的真正理解。 3. 计算粗心：在进行两位数除法笔算时，乘积或减法计算出错，导致商或余数不正确。 变式拓展 五（1）班有47名同学去公园划船，每条游船最多能坐6人。他们至少要租多少条游船？ ■ 第 22 题 深度解析： 22. 某市规定每户居民每月用电不超过50度（含50度），每度电收费0.5元；超过50度但不超过100度的，超出部分按每度0.6元收费；超过100度，超出部分按每度0.8元收费。小明家上个月用电130度，应交电费多少元？ 【考点】分段计费, 小数乘法 【难度】中等 最终答案 79元 思路起点 遇到这种“阶梯式计费”的问题，解题的核心是将总用量“对号入座”，拆分到各个阶梯区间中。看到小明家用电量130度，它超出了100度，说明需要分三段来计费：第一段是前50度，第二段是50到100度之间的部分，第三段是超过100度的部分。找出每个区间里实际的用电度数，分别乘上对应区间的单价，最后将三段的费用相加，即可得到总费用。 详细解答 根据题意，小明家总用电量为130度，需要分三段进行计费： 第一段（50度以内，含50度）： 这部分的用电量是50度，单价为0.5元/度。 费用为：（元） 第二段（50度到100度，含100度）： 这部分的用电量是 （度），单价为0.6元/度。 费用为：（元） 第三段（超过100度）： 这部分的用电量是 （度），单价为0.8元/度。 费用为：（元） 综合列式与总费用： （元） 答：应交电费79元。 学生易错 1. 未分段直接计算：部分学生没能理解阶梯计费的规则，直接用总度数乘以某一段的单价（如 ），导致全盘错误。 2. 区间用量未相减：在计算第二档或第三档费用时，没有扣除前一档的用电量直接去乘，例如第二段错误列式为 ，第三段错误列式为 。 3. 小数乘法失误：在进行 等整十数乘一位小数的计算时，弄错小数点位置导致得数扩大或缩小10倍。 变式拓展 某市出租车计费标准如下：3千米以内（含3千米）起步价收费10元；超过3千米但在10千米以内（含10千米）的部分，每千米收费2.5元；超过10千米的部分，每千米收费3.5元。王阿姨乘坐出租车行驶了14千米，她需要支付多少元车费？ ■ 第 23 题 深度解析： 23. 下面是某市出租车的计价方式： (1) 2km 内收 8 元； (2) 超过 2km 的部分，每千米收 2.5 元.（不足 1km 按 1km 计算）. 李阿姨打车去超市，行驶了 5.2 千米，那么她应该付给司机多少钱？ 【考点】分段计费, 进一法, 小数乘法 【难度】中等 最终答案 18 元 思路起点 这是一道典型的分段计费问题。解答此类问题的思路是“分段计算再求和”。解题的关键突破口在于理解括号内的特殊规定——“不足 1km 按 1km 计算”，这意味着在处理超出起步里程的距离时，不能使用四舍五入法，而必须使用“进一法”取整数。我们要先确认第一段的起步价费用，然后求出第二段超出起步部分的实际里程，将其进一取整后乘以超出部分的单价，最后把两段费用相加得出总价。 详细解答 1. 明确第一阶段（起步价）费用：李阿姨行驶了 5.2 千米，已经超过了 2 千米，所以首先要支付起步价 8 元。 2. 计算第二阶段（超出部分）里程：用总里程减去起步里程，得到超出部分，列式为：（千米）。 3. 处理计费里程：根据“不足 1km 按 1km 计算”的规则，需对 3.2 千米采用“进一法”，按 4 千米来计算计费里程。 4. 计算第二阶段费用：用进一后的里程乘以超出部分的单价，列式为：（元）。 5. 计算总费用：将起步价与超出部分的费用相加，列式为：（元）。 综合列式： （千米） 3.2 千米按 4 千米计算 （元） 答：她应该付给司机 18 元。 学生易错 1. 忽略“进一法”要求：学生容易习惯性地用实际超出里程去乘单价（如用 元），或者错误地使用了四舍五入法把 3.2 千米看作 3 千米，导致计算错误。 2. 忘记加上起步价：算出超出部分的费用 10 元后，以为这就是最终结果，忘记加回第一段的起步价 8 元。 3. 未扣除起步里程：审题不清，直接对总里程进行进一取整（将 5.2 看作 6），然后用 加上起步价，导致逻辑完全错误。 变式拓展 某停车场收费标准如下： (1) 停车 1 小时以内（含 1 小时）收费 5 元； (2) 超过 1 小时的部分，每半小时收费 2 元（不足半小时按半小时计算）。 王叔叔在这个停车场停了 2 小时 20 分钟，他离开时应该交停车费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $