25.5 相似三角形的判定（课件）2026--2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定，系统讲解判定定理1（两角分别相等）、定理2（两边成比例且夹角相等）、定理3（三边成比例及直角三角形特殊判定）。课堂导入通过类比全等三角形判定方法，回顾定义法、平行线定理等旧知，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题情境驱动探究，如通过等腰直角三角形是否相似的问题引导学生用数学眼光观察，证明过程严谨培养数学思维（如定理1构造全等与相似传递性推理），规范几何语言表达（符号语言书写）。例题和练习分层设计，助力学生巩固，教师可直接使用结构化内容提升教学效率。

第二十五章 图形的相似 25.5 相似三角形的判定 第1课时 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握相似三角形的判定定理1. 2.理解相似三角形判定定理1的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题. 运用相似三角形的判定定理1解决简单的有关问题. 相似三角形的判定定理1的探索及证明过程. 回顾复习 (2)用平行线判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似. 利用定理判定两个三角形相似时，只需“平行”这一个条件就能判定. 怎样判定两个三角形相似？ (1)定义法 三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形. 相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，又是它的一个性质. 类比全等三角形判定方法的获得过程，能否用较少的条件来判定两个三角形相似呢？ 我们知道：有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.当两角分别相等而夹边不相等时，这两个三角形之间有什么关系呢？ 创设情境 1.如图（1），这两个等腰直角三角形相似吗？说说理由. 2.如图（2），这两个直角三角形相似吗？说说理由. 3.两角分别相等的两个三角形相似吗？ 问题引入 探索新知 思 考 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′. 求证： △ABC∽△A′B′C′ . 知识点 两角分别相等的两个三角形相似 证明:如图，在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上，分别截取AD=A'B'，AE=A'C'，连接DE. ∵∠A=∠A', ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴∠ADE=∠B'. ∵∠B=∠B'， ∴∠ADE=∠B. ∴DE∥BC. ∴△ADE∽△ABC. ∴△ABC∽△A'B'C'. 相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似. 几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′. 归纳总结 若△ABC≌△A′B′C′,△A′B′C′∽△A"B"C",则△ABC∽△A"B"C".这个结论我们可以直接应用. 例题解读 例1 已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC. 求证：△ADE∽△DBF. 证明：∵DE//BC，∴∠ADE＝∠B. 又∵DF//AC， ∴∠A＝∠BDF. ∴△ADE∽△DBF. 随堂练习 1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ ） A.∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DE B.∠A＝∠D＝60°，∠B＝ 40°，∠E＝80° C.∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝60° D.∠B＝∠E＝70°，AB∶DE＝AC∶DF 2.下列描述的两个三角形相似吗？请判断正误. （1）两个等边三角形相似.（ ） （2）两个直角三角形相似.（ ） （3）两个等腰直角三角形相似.（ ） （4）有一个角为50°的两个等腰三角形相似.（ ） （5）有一个角为100°的两个等腰三角形相似.（ ） D √ × √ √ × 3.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明：△ADE∽△EFC. 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠EFC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∴ △ADE∽△EFC. 4.如图，∠ABD＝∠C，AD＝2，AC＝8，求AB的长. 解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C， ∴△ABD∽△ACB， ∴AB∶AC＝AD∶AB， ∴AB2＝AD·AC. ∵AD＝2，AC＝8， ∴AB＝4. 拓展提升 1.△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，试说明 (1)△ABC与△ADE相似. (2)AD=4,AC=6,求AB. A B C D （E） 解：(1)在△ABC与△ADE中， ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADE. (2)∵△ABC∽△ADE , ∴ , 又∵ AD=4,AC=6, ∴AB=9. 2.已知，如图在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边A，C上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE. 求证:(1) △DEF∽△BDE . (2) DG·DF=DB·EF . 证明： 课堂小结 相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似 第二十五章 图形的相似 25.5 相似三角形的判定 第2课时 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握相似三角形的判定定理2. 2.理解相似三角形判定定理2的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题. 运用相似三角形的判定定理2解决简单的有关问题. 相似三角形的判定定理2的探索及证明过程. 回顾复习 三角形相似的判定方法： (1)定义法：三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形. (2)定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似. (3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 问题引入 类比“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”，当两边成比例且夹角相等时，能否判定这样的两个三角形相似呢？ 探索新知 如图，已知△ABC，延长AB到点B′，延长AC到点C′，使==2.连接B′C′，请判断△AB′C′和△ABC是否相似，并说明理由. A B C 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 我们发现：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 想一想：如图，在△ABC和△A′B′C′中， . 求证：△ABC∽△A′B′C′ . A B C A＇ B＇ C＇ D E 证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上，截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，△ABC∽△ADE. ∴. ∵A′B′, ∴.∴AE=A′C′. 又∵∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′ . 相似三角形的判定定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 用数学符号表示： ∵ , ∴△ABC∽△A′B′C′. 归纳总结 例题解读 例2 已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=4 cm，AC=8 cm，A′B′=11 cm，A′C′=22 cm. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 随堂练习 1.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O，且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是( ) . A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似 2.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD∶AC=1∶3,AE=BE,则有( ) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD ① ④ ② ③ B B 3.如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点，AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为　　　　时,△ADP和△ABC相似.  4或9 4.如图,D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且 ,求DE的长. 解：∵AE=1.5,AC=2,∴ . ∴ , ∴ . 又∵∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC,∴ . ∵BC=3,∴DE=BC=×3=. 拓展提升 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB＝BE＝EF＝FC. 求证：△AEF∽△CEA. 解：设AB=BE=EF=FC=a，∵∠B=90°，∴AE= a. ∵ ∴ 且∠AEF=∠CEA. ∴△AEF∽△CEA. 2.已知，如图，点O是△ABC的垂心，联结AO交CB的延长线于点D ,联结CO交AB的延长线于点E,联结DE . 求证:△ODE∽△OCA. 证明:∵O是垂心, ∴AO⊥CD,即∠CDO=90︒ , 同理∠AEO=90︒, ∴∠AEO=∠CDO, ∵∠O=∠O, △AEO∽△CDO ∴ , ∴ . △ODE∽△OCA. 课堂小结 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 第二十五章 图形的相似 25.5 相似三角形的判定 第3课时 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解相似三角形的判定定理3及直角三角形相似的判定方法. 2.会运用相似三角形的判定定理3及直角三角形相似的判定方法解决简单问题. 运用相似三角形的判定定理3及直角三角形相似解决简单问题. 相似三角形的判定定理3的探索及证明过程. 回顾复习 判定三角形相似的方法都有哪些？ (1)定义法：三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形. (2)定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似. (3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. (4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 思考:三边成比例的两个三角形相似吗？ 问题引入 1.如图,在半透明纸上作一个△ABC,使AB=1.5 cm, BC=2 cm, AC=1.8cm .再作一个△A'B'C',使 A'B'=3 cm,B'C'=4 cm,A'C'=3.6 cm. 2.比较△ABC 与△A'B'C'的各个角，它们分别相等吗?这两个三角形相似吗?把你的结果与同学交流一下. 我们猜想：三边成比例的两个三角形相似. 探索新知 已知:如图△ABC和△A′B′C′中, . 求证:△ABC∽△A′B′C′. 知识点 三边成比例的两个三角形相似 证明：如图，在△ABC 的边AB 上截取AD=A'B',过点 D 作DE∥BC,交AC于点E,则△ABC∽△ADE. ∴==. ∵==，AD=A′B′, ∴ . ∴AE=A′C′,DE=B′C′. ∴△ADE≌△A′B′C′, ∴△ABC∽△A′B′C′. 三角形相似的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似. A B C D E F 符号语言： 在△ABC与△DEF中, ∵ , ∴ △ ABC∽△DEF. 归纳总结 例题解读 例3 已知:如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, 求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 归纳总结 符号语言： 在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中, ∵ , ∴ Rt△ ABC∽Rt△A′B′C′. 随堂练习 1.如图,已知△ABC与△DEF中,AB=5,BC=12,AC=8, DE=10,则当DF=____,EF=____时,△ABC∽△DEF. 16 24 A B C D E F 5 8 12 10 相似 3:5或3:7或5:7 C 2.如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点， 且满足 ,则△ABD与△ACE . (填“相似”或者“不相似”)． 3.已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5,△DEF的一边长为5.当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似( ) A.4,5 B.5,6 C.6,7 D.7,8 4. 在△ABC中,AB∶BC∶CA＝3∶5∶7.在△DEF中,若DE＝6 cm,且EF<DF,则当EF∶DF＝______________时,△ABC与△DEF相似. 拓展提升 1.如图，在正方形网格上有两个三角形 和 ， 求证:△ ∽△ . 证明：设小正方形边长为1，则 ， . 由勾股定理可得： . ∴ , , ∴   , ∴△ ∽△ . 2.已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90︒ ,AC=2 ,BC=4,点D在BC边上，且∠CAD=∠B. (1)求AD的长. (2)取AD，AB的中点E，F联结CE，CF，EF， 求证： △CEF∽△ADB. (1)解: ∴△ACB∽△DCA, Rt△ABC, ∴AD=5. (2)证明:点E,F分别是AD,AB的中点, 在Rt△ACD中，E是AD中点， 同理 ∴△CEF∽△ADB. 课堂小结 判定三角形相似的方法 定义法: 三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形. 判定方法１: 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似. 判定方法2: 两角分别相等的两个三角形相似. 判定方法3: 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定方法4： 三边成比例的两个三角形相似. （斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.） $