第2讲 常用逻辑用语 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件判定与应用、全称量词与存在量词命题等内容，按概念梳理-题型探究-真题训练的逻辑架构，通过考点分类讲解（如条件关系与集合关联）和2024-2026年高考真题演练，帮助学生系统构建逻辑知识体系，突破条件判定等难点。 资料以数学思维培养为特色，采用“概念辨析-方法提炼-分层训练”教学活动，如通过集合包含关系解析条件判定，总结量词命题否定规律，培养学生抽象能力与逻辑推理意识。设置跟踪训练与课时精练，确保高效复习，助力学生提升逻辑表达与解题能力，为教师提供精准复习节奏指导。

2027年高考一轮复习讲义 第2讲 常用逻辑用语 知识点梳理 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 常用结论 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 探究核心题型 考点一 充分、必要条件的判定 例1（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 例2 (2024·北京)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由(a+b)·(a-b)=0， 得a2-b2=0， 即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|， 当a=(1，1)，b=(-1，1)时， |a|=|b|，但a≠b且a≠-b， 故充分性不成立； 当a=-b或a=b时， (a+b)·(a-b)=0， 故必要性成立. 所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. 例3 (2025·临沂模拟)已知f(x)=tan x，则对任意实数a∈(-1，1)，b∈(-1，1)，“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　因为f(x)=tan x在(-1，1)上单调递增，且是奇函数， 所以tan a+tan b>0⇔tan a>-tan b⇔tan a>tan(-b)⇔a>-b⇔a+b>0， 所以“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的充要条件. 例4 （2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 跟踪训练 1 在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且0<q<1时，上式也成立，显然无法得出a1>0，且q>1.则“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 2. （2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3. （2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4. (多选)下列叙述中正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.若a，b，c∈R且a>0，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0” 答案　ACD 解析　对于A，a>1⇒<1，当a<0时，<1，所以<1a>1， 所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，当b=0时，若“a>c”成立，而ab2=0=cb2，充分性不成立，故B错误； 对于C，令f(x)=x2+x+a，方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，则f(0)<0， 则有a<0，所以“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当a>0时，由∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立可以推出Δ=b2-4ac≤0， 而由b2-4ac≤0也可以推出ax2+bx+c≥0恒成立，故D正确. 考点二 充分、必要条件的应用 例1. (2025·哈尔滨模拟)下列四个选项中，使x>y成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x2>y2 B.x|x|>y|y| C.ln x>ln y D.ex>ey 答案　C 解析　当x=-2，y=-1时，满足x2>y2，但x<y；当x=-1，y=-2时，满足x>y，但x2<y2. 故x2>y2是x>y的既不充分也不必要条件，A错误； 令f(x)=x|x|，则f(x)的定义域为R， ∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)， ∴f(x)是奇函数， 当x>0时，f(x)=x2，f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(x)在R上为增函数. 由x|x|>y|y|可得x>y，由x>y可得x|x|>y|y|， 故x|x|>y|y|是x>y的充要条件，B错误； ∵y=ln x在(0，+∞)上为增函数，ln x>ln y，∴x>y>0； 当0>x>y时，ln x，ln y无意义，ln x>ln y不成立， 故ln x>ln y是x>y的充分不必要条件，C正确； ∵y=ex在R上为增函数， ∴由ex>ey可得x>y，由x>y可得ex>ey， 故ex>ey是x>y的充要条件，D错误. 例2. (2026·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，-5]∪[3，+∞) B.(-∞，-5)∪(3，+∞) C.(-5，3) D.[-5，3] 答案　B 解析　因为p：(x-m)(x-m-3)>0， 则x<m或x>m+3，q：x2-x-6≤0，即-2≤x≤3， 又p是q的必要不充分条件，则m>3或m+3<-2，即m>3或m<-5. 故实数m的取值范围为(-∞，-5)∪(3，+∞). 例3. (2026·海南质检) 已知p：-1<x<0，q：m-1<x<-3m.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  答案　(-∞，0) 解析　因为p是q的充分不必要条件， 所以{x|-1<x<0}是{x|m-1<x<-3m}的真子集， 则(不同时取等号)，解得m<0， 所以实数m的取值范围是(-∞，0). 例4. 在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}． (2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)； 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)． 跟踪训练 1. 已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　(-∞，1)　(-∞，1] 解析　因为p：x≤1，q：x≤a， 若p是q的必要不充分条件， 则(-∞，a](-∞，1]，因此a<1， 即实数a的取值范围是(-∞，1). 若p是q的必要条件，则(-∞，a]⊆(-∞，1]， 因此a≤1，即实数a的取值范围是(-∞，1]. 2. 从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到例4第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}． (1)若m＝3，求A∪B； (2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)依题意，得2－2≤2x≤25， 解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}， 当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0， 得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}， 所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}． (2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件， 则有AB， 于是得或解得m>4或m≥4，即有m≥4， 所以正实数m的取值范围是m≥4. 选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件， 则有BA， 于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5， 解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3， 所以正实数m的取值范围是0<m≤3. 考点三 全称量词与存在量词 命题点1 含量词的命题的否定 例1. (多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件 答案　AB 解析　对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确； 对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确； 对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误； 对于D，因为A=B时，sin A=sin B成立，而sin A=sin B时，A=B不一定成立，如A=，B=，故“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件，故D错误. 例2. (多选)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称量词命题 B．∃x∈R，ex<ex＋1 C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” 答案　ABC 解析　对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确； 对于B，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确； 对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确； 对于D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确． 例3. 写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________. 答案　至少有一个实数是无理数 命题点2 含量词的命题的真假判断 例1. (多选)下列命题为假命题的是(　　) A.∃x∈R，ln(x2+1)<0 B.∀x>2，2x>x2 C.∃α，β∈R，sin(α-β)=sin α-sin β D.∀x∈(0，π)，sin x>cos x 答案　ABD 解析　因为ln(x2+1)≥ln 1=0，故A是假命题； 当x=3时，23<32，故B是假命题； 当α=β=0时，sin(α-β)=sin α-sin β，故C是真命题； 当x=时，sin x=，cos x=，sin x<cos x，故D是假命题. 例2. (多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 答案　ACD 解析　指数函数的值域为(0，＋∞)， 所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确； 当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误； 当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确； 函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确． 命题点3 含量词的命题的应用 例1. 已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[0，4) 解析　由题意得不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立. ①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意； ②当a≠0时，若不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立，则解得0<a<4. 综上，实数a的取值范围是[0，4). 跟踪训练 1. (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 答案　B 解析　对于命题p，取x=-1， 则有|x+1|=0<1， 故p是假命题，¬p是真命题； 对于命题q，取x=1， 则有x3=13=1=x， 故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题. 2. 若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] 答案　B 解析　由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知， 不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立， 因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]， 易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1. 即实数m的取值范围是(－∞，1]． 3. (多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是(　　) A.“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0” B.“x>3”是“log3(2x+1)>2”的充分不必要条件 C.若命题“∀x∈R，x2+(a-1)x+1≥0”为假命题，则实数a的取值范围是(-1，3) D.若命题“∀x∈R，2ax2+ax-≤0”是真命题，则实数a的取值范围是[-3，0] 答案　AD 解析　对于A，“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0”，故A正确； 对于B，log3(2x+1)>2，即log3(2x+1)>log39， 则2x+1>9，解得x>4，因为x>4⇒x>3，且x>3x>4，所以“x>3”是“log3(2x+1)>2”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题是假命题，则命题的否定“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”是真命题，即Δ=(a-1)2-4>0，解得a>3或a<-1，故C错误； 对于D，因为“∀x∈R，2ax2+ax-≤0”是真命题，即2ax2+ax-≤0对∀x∈R恒成立.当a=0时，命题成立；当a≠0时， 解得-3≤a<0，综上可得，-3≤a≤0，故D正确. 4. (多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　ABC 解析　若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题， 则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1， 所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1， 符合条件的为A，B，C选项． 5. (多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是(　　) A．命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m” B．命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0” C．当命题p为真命题时，1≤m≤2 D．当命题q为假命题时，a<4 答案　ACD 解析　命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”，故A正确；命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0为真命题，即a<x＋恒成立，因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以a<4，故D正确． 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2021·天津)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立； 若a2>36，则a>6或a<-6，故必要性不成立， 所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件. 2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 4．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 5．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，1] 答案　C 解析　由>1可得x(x－1)<0，解得0<x<1， 记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}， 若p是q的充分条件， 则A是B的子集，所以m≤0， 所以实数m的取值范围是(－∞，0]． 6．下列说法正确的是(　　) A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件 C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0” D．若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的取值范围是[1,3] 答案　D 解析　是无理数，x2＝2是有理数，A错误； 当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误； 命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误； “1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则两个不等式的等号不同时取到，解得1≤m≤3，D正确． 7. (2025·周口质检)命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为(　　) A.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C.存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 D.不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 答案　B 8．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A.[0，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，0] D.(-∞，1] 答案　C 解析　由>1可得x(x-1)<0，解得0<x<1， 记A={x|0<x<1}，B={x|x>m}， 若p是q的充分条件， 则A是B的子集，所以m≤0， 所以实数m的取值范围是(-∞，0]. 二、多项选择题 9．下列既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.∃x∈R，|x|<0 B.∃x∈Z，cos x=-1 C.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除 D.每个平行四边形都是中心对称图形 答案　BC 解析　选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负， 即|x|≥0，所以A是假命题； 选项B为存在量词命题， 当x=2时，满足cos=cos π=-1， 所以B既是存在量词命题又是真命题； 选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题； 选项D是全称量词命题，所以D不符合题意. 10．下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R,2x＜x2 D．∀x∈(0，＋∞)，x＞ 答案　AC 解析　当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝时，∈(0,1)，＝1，∴，故D为假命题． 11. 下列说法正确的为(　　) A.设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的必要不充分条件 B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(4，+∞) C.若命题“∃x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0<m<4 D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为[6，+∞) 答案　BD 解析　对于A，由函数y=x3为增函数可知， 若a3=b3，则a=b，所以3a=3b； 由函数y=3x为增函数可知， 若3a=3b，则a=b，所以a3=b3. 故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，A错误； 对于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A真包含于集合B，所以>2，即a>4，B正确； 对于C，若命题是假命题，则“∀x∈R，mx2+mx+1≥0”是真命题，故m=0或解得0≤m≤4，C错误； 对于D，由p是q的充分条件，得p⇒q，即对于0<x≤1，4x+2x-m≤0恒成立，令t=2x，t∈(1，2]，则m≥t2+t对于t∈(1，2]恒成立，又t2+t=-∈(2，6]，则m≥6，D正确. 三、填空题 12．命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是　　　　　　　　　　　　.  答案　∃x>0，ex≥x+2 解析　根据全称量词命题的否定为存在量词命题， 则命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是“∃x>0，ex≥x+2”. 13．(2025·湛江模拟)已知α：x<2m-1或x>-m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　设集合A={x|x<2m-1或x>-m}，B={x|x<2或x≥4}， 若α是β的必要条件，则B⊆A， 当2m-1>-m，即m>时，此时A=R，B⊆A成立； 当2m-1≤-m，即m≤时，若B⊆A，此时该不等式组无解. 综上所述，实数m的取值范围是. 14．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案　充要 解析　在△ABC中，∠A＝∠B⇔a＝b⇔sin A＝sin B， 故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要条件． 15．为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：________________. 答案　存在一个素数不是奇数 解析　因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数． 16．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021<a2 024”是“a2 023<a2 025”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　设等比数列的公比为q， 若a2 021<a2 024， 则a2 021－a2 024<0，即a2 021(1－q3)<0. 因为a1＝1>0，所以a2 021＝a1q2 020>0， 所以q3>1，所以q>1； 若a2 023<a2 025，则a2 023－a2 025<0， 即a2 023(1－q2)<0. 因为a1＝1>0，所以a2 023＝a1q2 022>0， 所以q2－1>0，解得q>1或q<－1. 所以“a2 021<a2 024”是“a2 023<a2 025”的充分不必要条件． 17．(多选)(2025·石家庄模拟)下列说法正确的是(　　) A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B.∀xy>0，x+y≥2 C.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”，则实数m的取值范围是[1，3] 答案　CD 解析　对于A，x=是无理数，x2=2是有理数，A错误； 对于B，当x<0，y<0时，x+y<0<2，B错误； 对于C，取x=y=0，则sin(x+y)=sin 0=0=sin 0+sin 0=sin x+sin y，C正确； 对于D，“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”，则 两个等号不同时取得，解得1≤m≤3，D正确. 18. (多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，则下列命题正确的为(　　) A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z的方程x3+y3=z3的解 B.关于x，y的方程x3+y3=1有正有理数解 C.关于x，y的方程x3+y3=1没有正有理数解 D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn有正实数解 答案　CD 解析　当正整数n>2时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解，故方程x3+y3=z3没有正整数解，A错误； x3+y3=z3没有正整数解，即+=1(z≠0)没有正有理数解，B错误，C正确； 方程xn+yn=zn，当x=y=1，z=时满足条件，故有正实数解，D正确. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第2讲 常用逻辑用语 知识点梳理 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 常用结论 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 探究核心题型 考点一 充分、必要条件的判定 例1（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例2 (2024·北京)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例3 (2025·临沂模拟)已知f(x)=tan x，则对任意实数a∈(-1，1)，b∈(-1，1)，“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例4 （2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练 1 在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. （2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. （2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 4. (多选)下列叙述中正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.若a，b，c∈R且a>0，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0” 考点二 充分、必要条件的应用 例1. (2025·哈尔滨模拟)下列四个选项中，使x>y成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x2>y2 B.x|x|>y|y| C.ln x>ln y D.ex>ey 例2. (2026·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，-5]∪[3，+∞) B.(-∞，-5)∪(3，+∞) C.(-5，3) D.[-5，3] 例3. (2026·海南质检) 已知p：-1<x<0，q：m-1<x<-3m.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  例4. 在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 跟踪训练 1. 已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  2. 从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到例4第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}． (1)若m＝3，求A∪B； (2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 考点三 全称量词与存在量词 命题点1 含量词的命题的否定 例1. (多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件 例2. (多选)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称量词命题 B．∃x∈R，ex<ex＋1 C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” 例3. 写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________. 命题点2 含量词的命题的真假判断 例1. (多选)下列命题为假命题的是(　　) A.∃x∈R，ln(x2+1)<0 B.∀x>2，2x>x2 C.∃α，β∈R，sin(α-β)=sin α-sin β D.∀x∈(0，π)，sin x>cos x 例2. (多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 命题点3 含量词的命题的应用 例1. 已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  跟踪训练 1. (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 2. 若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] 3. (多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是(　　) A.“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0” B.“x>3”是“log3(2x+1)>2”的充分不必要条件 C.若命题“∀x∈R，x2+(a-1)x+1≥0”为假命题，则实数a的取值范围是(-1，3) D.若命题“∀x∈R，2ax2+ax-≤0”是真命题，则实数a的取值范围是[-3，0] 4. (多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 5. (多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是(　　) A．命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m” B．命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0” C．当命题p为真命题时，1≤m≤2 D．当命题q为假命题时，a<4 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2021·天津)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，1] 6．下列说法正确的是(　　) A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件 C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0” D．若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的取值范围是[1,3] 7. (2025·周口质检)命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为(　　) A.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C.存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 D.不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 8．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A.[0，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，0] D.(-∞，1] 二、多项选择题 9．下列既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.∃x∈R，|x|<0 B.∃x∈Z，cos x=-1 C.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除 D.每个平行四边形都是中心对称图形 10．下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R,2x＜x2 D．∀x∈(0，＋∞)，x＞ 11. 下列说法正确的为(　　) A.设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的必要不充分条件 B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(4，+∞) C.若命题“∃x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0<m<4 D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为[6，+∞) 三、填空题 12．命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是　　　　　　　　　　　　.  13．(2025·湛江模拟)已知α：x<2m-1或x>-m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  14．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 15．为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：________________. 16．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021<a2 024”是“a2 023<a2 025”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．(多选)(2025·石家庄模拟)下列说法正确的是(　　) A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B.∀xy>0，x+y≥2 C.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”，则实数m的取值范围是[1，3] 18. (多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，则下列命题正确的为(　　) A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z的方程x3+y3=z3的解 B.关于x，y的方程x3+y3=1有正有理数解 C.关于x，y的方程x3+y3=1没有正有理数解 D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn有正实数解 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $