第二章 函数与基本初等函数（单元测试）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

**基本信息** 聚焦函数与基本初等函数单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合AI技术、生产利润等真实情境，考查数学抽象、运算推理及模型意识，适配高中数学单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选+多选）|11题/58分|函数定义域、单调性、奇偶性、零点问题|基础题（定义域）、提升题（零点讨论），结合函数性质辨析，考查抽象能力与推理意识| |填空题|3题/15分|函数定点、零点个数、代数式最值|创新题（零点个数讨论），融入直线方程，考查运算能力与几何直观| |解答题|5题/77分|函数模型应用、新定义双界函数|综合题（生产利润函数）、探究题（双界函数证明），结合AI数据处理情境，考查模型意识与创新意识|

第二章 函数与基本初等函数（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得. 2．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，， 又因为，即，所以． 3．已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意：，所以. 所以. 当时，（）. 4．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【解析】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有 ， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 5．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【解析】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 6．已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 7．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解析】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 【答案】C 【解析】若为奇函数， 则， 所以为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称， 则， 即，且， 所以 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【解析】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 10．已知函数的定义域为， 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A，令，得到，又，则，错误. B，令，得到，由选项A知，所以，正确. C，令，则，即， 令可得，故，而， 所以，正确， D，由，则， 所以， ， 由可知，即，错误. 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若有两个零点，则 B．只有一个零点 C．若有两个零点，则 D．若有四个零点，则. 【答案】BCD 【解析】作出函数的图象，如图所示，若有两个零点，则与的图象有两个交点，由图可知，或，故A错误； 由图可知，只有一个零点，故B正确； 若有两个零点，不妨设 ，则且，所以即， 所以，故C正确； 令，则若有四个零点，则在内有一根，在内有一根，或在内有一根，且有一根为1，或在内有一根，且有一根为0， 所以当在内有一根，在内有一根时，，得； 当有一根为1时，，，此时另一根为2，不符合题意； 当有一根为0时，不符合题意； 综上，，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若，则______. 【答案】或 【解析】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 13．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【解析】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 14．已知函数，给出下列四个结论： ①若恰有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数.，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②③ 【解析】令， 易知， 当时，， 所以在单调递减， 当时，， 令， 所以在上单调递减；在上单调递增； 所以在取得极小值， 又， 画出和在同一坐标系下的图象如下所示： 由图可知当时，恰有2个零点，故①正确； 存在负数，当时，使得恰有1个零点；故②对； 存在负数，当时，使得恰有3个零点；故③对； 当时，使得恰有2或1或0个零点，故④错； 故答案为：①②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）计算：． （2）计算： . （3）已知，求的值． 【解析】（1） . （2） . （3）由 得 ，； 由 得 ，， 故 . 16．（15分） 已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 17．（15分） 某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【解析】（1）由题意知，年利润 （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 18．（17分） 已知函数，. (1)是否存在实数，使得为偶函数？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由. (2)若是奇函数， （i）用定义证明在上的单调性； （ii）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【解析】（1）若为偶函数，则对任意，恒成立， 所以，，， 所以，， 化简可得，对任意恒成立， 当时，，即存在使得， 所以不恒为0，无法满足对任意等式成立， 所以，因此. （2）（i）若是奇函数，则，所以， 即，所以，任取，且， 则 ， 因为在上是单调递增函数，且， 所以，即，又因为， 所以，即，因此在上是单调递增函数. （ii）因为是奇函数，不等式， 可化为，即， 又因为在上单调递增，所以，即， 令，因为，所以，则， 令，对称轴为，所以在上单调递增， 当时，，当时，， 所以使不等式成立，只需，即， 所以的取值范围为. 19．（17分） 设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. (1)设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. (2)若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. (3)设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 【解析】（1）（ⅰ）当时，，， 当，即时，则，即， 显然，因此， 所以当时，是P到Q的双界函数. （ⅱ），是P到Q的双界函数， 则当，即时，恒成立， 由，得恒成立，而，， 由恒成立，得；由恒成立，得，因此， 所以实数k的取值范围为. （2）依题意，当时，，则，即， 而函数在上单调递增，则当时，在上单调递增， 当时，， 当时，；当时，，， 又，因此函数在上的最小值为， ， 由，得，所以在上的最小值为2705. （3）依题意，时，， 令，则， 令，，则， 两式相加，得，即， 令，，则， 因此， 则 ，所以， 所以是A到B的双界函数. 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数与基本初等函数（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 5．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    6．已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 7．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 10．已知函数的定义域为， 且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若有两个零点，则 B．只有一个零点 C．若有两个零点，则 D．若有四个零点，则. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若，则______. 13．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 14．已知函数，给出下列四个结论： ①若恰有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数.，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）计算：． （2）计算： . （3）已知，求的值． 16．（15分） 已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 17．（15分） 某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18．（17分） 已知函数，. (1)是否存在实数，使得为偶函数？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由. (2)若是奇函数， （i）用定义证明在上的单调性； （ii）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 19．（17分） 设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. (1)设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. (2)若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. (3)设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $