第一单元 两、三位数除以两位数（知识清单）数学苏教版四年级上册（新教材）

该小学数学单元知识清单系统梳理了“两、三位数除以两位数”单元内容，涵盖除数是整十数的口算笔算、四舍五入法试商调商及连续除法解决实际问题等核心范畴，搭建了从基础计算到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点-题型-综合应用”三级架构呈现知识体系，如将试商调商步骤分解为四舍五入试商、商大调小商小调大的推理过程，培养学生运算能力和推理意识。设计“归一归总问题解题思路对比表”及“商的变化规律实例演练”，不同水平学生可高效掌握，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第一单元 两、三位数除以两位数 单元知识清单讲义 知识点一：除数是整十数的口算和笔算 1、除数是整十数商是一位数的口算和笔算。 （1）除数是整十数商是一位数的除法的口算方法:①想乘法算除法。②利用表内除法计算。 （2）除数是整十数的笔算方法与以往学习过的除法计算方法相同，验算方法也相同，有余数时，余数要比除数小。 2、三位数除以整十数商是两位数的笔算。 三位数除以整十数，先看被除数的前两位，如果前两位比除数小，不够商1，就试除被除数的前三位，除到哪一位就把商写在那一位的上面；当被除数的前两位大于或等于除数时，就试除被除数的前两位，除到被除数的十位有余数时，要将余下的几个十转换成几十个一，再与个位上的数合在一起继续除。每求出一位商，余下的数必须比除数小。 知识点二：用四舍五入法试商 1、把除数通过“四舍”看作整十数进行试商。 试商过程分以下几步： ①把除数看作和它接近的整十数。 ②想整十数乘几接近被除数并口算试商。 ③把口算试得的商与非整十数的除数相乘，看试得的商是否合适。 2、把除数通过“五入”看作整十数进行试商。 笔算除数是两位数的除法时，通常把除数看作与它接近的整十数来试商。当除数的个位上的数小于5时，把除数个位上的数舍掉，看作与它接近的整十数进行试商；当除数的个位上的数等于5或大于5时，把除数个位上的数舍掉，向十位进一来试商，然后计算。 3、实际问题。 解决实际问题时，要明确计算顺序，理解每一步的意义，并结合分步算式理解综合算式的运算顺序。要联系题目的实际情况理解小括号的作用，明确运算顺序。 知识点三：用四舍五入法调商 1、计算除数是两位数的除法，试商时如果商与除数的积比被除数大，说明商大了，要调小。用“四舍”法试商，因为把除数看小了，商容易偏大，需调小些。 2、如果被除数减去商与除数的积后，余下的数等于或大于除数，说明商小了，要调大。用“五入”法试商，因为把除数看大了，所以商容易偏小，需要调大些。 知识点四：连续除法解决实际问题 1、连续除法问题是将一个‌总量‌经过‌两次平均分‌，求最终‌每份的数量‌，属于“归一问题”的进阶形式。 2、‌典型结构‌。 ‌总量÷第一份数÷第二份数=单一量‌ ‌关键词识别‌：题目中出现“平均分”“每层”“每组”“每人每天”等表述，提示需用连续除法建模。 3、两种解题思路。 ‌分步法：先求中间量，再求最终量。 ‌综合法‌：先求总份数，再一次性平均。 ‌综合算式：两种路径均可写成连除式。 题型1：两、三位数除以两位数的口算 【例1】直接写得数。 320÷40＝    450÷15＝    640÷20＝    980÷70＝ 860÷43＝    750÷50＝    800÷16＝    500÷20＝ 【练1】直接写得数。 220÷11＝        300÷60＝        40×80＝ 250×4＝            450÷90＝        4200÷700＝ 【练2】直接写得数。 420÷60＝         880÷40＝        560÷14＝        0÷36＝ 200÷50＝        720÷20＝         800÷80＝         180÷90＝ 题型2：两、三位数除以两位数的笔算 【例2】用竖式计算。（带☆的要验算） 962÷26＝        ☆705÷36＝ 【练3】列竖式计算，带★的要验算。 344÷86＝         720÷48＝          690÷30＝        ★430÷60＝ 【练4】用竖式计算。（带*的要验算） 640÷40＝    276÷33＝    *738÷32＝ 题型3：含两、三位数除以两位数的脱式计算 【例3】脱式计算。 896÷56×25        512－375÷25        735÷（105÷5）        （624－108）÷43 【练5】用递等式计算。 64－64÷16×12    972÷（720－21×33）    [（572＋78）÷26]×8 【练6】脱式计算。 540÷15÷4      402－598÷26      （277＋467）÷24 题型4：两、三位数除以两位数的试商 【例4】计算304÷52时，试商时把52看作（ ），这时商会（ ）（填“偏大”或“偏小”）。 【练7】计算269÷37时，可以将除数37看作（ ）来试商，当发现余数大于除数说明商（ ）（填“大”或“小”）了。 【练8】4□2÷42，要使商是一位数，□里最大填（ ）；此时把除数看作40来试商，初商可能会偏（ ）。 题型5：判断商是几位数 【例5】578÷55，要使商是三位数，里最小填（ ），要使商是两位数，里最大填（ ）。 【练9】估算之趣！计算893÷31时，可以把除数看作（ ）去试商，商是（ ）位数。 【练10】□6□÷24，要使商是两位数，被除数百位上的□最小填（ ）；又要使商的末尾是0，被除数个位上的□最大填（ ）。 题型6：商的变化规律及应用 【例6】根据前三题的得数，直接写出后面两题的得数。 26640÷111＝240                26640÷222＝120                26640÷333＝80 26640÷444＝（ ）                        26640÷555＝（ ） 【练11】根据算式中的规律，直接填出括号里的数。          （ ）    （ ） 【练12】找规律填空。 （1）1，2，4，7，11，（ ）。 （2）写算式800÷5＝160，400÷5＝80，200÷5＝40，（ ）。 （3）写算式320÷1＝320，320÷2＝160，320÷4＝80，（ ）。 （4）观察商与除数和被除数的变化，说说你的发现（写一条即可）：（ ）。 题型7：商不变的规律及应用 【例7】如果a÷b＝12（b≠0），那么（a×3）÷（b×3）＝（ ）。 【练13】若（不为0），则（ ），（ ）。 【练14】如果甲÷乙＝15……40，（甲×10）÷（乙×10）＝（ ）……（ ）。 题型8：单归一问题 【例8】张叔叔是一名外卖骑手，他7天送了245单，照这样计算。他1个月（按30天算）能送多少单外卖？ 【练15】15箱蜜蜂一年可以酿蜜975千克，照这样计算，张叔叔家养了45箱这样的蜜蜂，一年可以酿蜜多少千克？ 【练16】阳光社区开展旧衣物回收活动，计划回收120箱旧衣物。社区内一共有7个小区，其中4个小区一共回收了56箱旧衣物，照这样计算，这次活动中阳光社区回收的旧衣物完成计划了吗？如果没完成，还差多少箱？ 题型9：双归一问题 【例9】书店运来480本图书，要平均放在4个书架上，每个书架有5层，平均每层放多少本图书？ 【练17】宿迁洋河酒厂的包装车间，3条相同的生产线，4小时能包装梦之蓝M6白酒4800瓶。照这样计算，1条生产线1小时能包装多少瓶？ 【练18】四年级有5个班，每班有36人。他们一共向灾区小朋友捐款900元，平均每人捐款多少元？ 题型10：归总问题 【例10】工人们修马路，原计划用40个工人，实际用了45个工人。计划要修路90天，实际修了多少天？ 【练19】水果店要运一批杨梅，若每个纸箱装10千克，则正好装36个纸箱，为保证质量，现将每个纸箱少装4千克，那么需要多少个纸箱？ 【练20】小兵要写一份文稿，如果用电脑打字录入，按每分钟96个字计算，需用20分钟完成。如果使用语音录入，16分钟就能完成。语音录入每分钟比电脑打字录入多多少个？ 一、选择题 1．下列哪个算式的商不是两位数（    ）。 A．64★÷64 B．64★÷7★ C．64★÷5★ D．无法判断 2．要使□×125÷10的计算结果末尾有2个“0”，□里可填的个位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．欢欢在计算288÷24时，把24抄成了4并计算出了结果，要想得到正确的结果，应该再（    ）。 A．除以20 B．减去20 C．除以6 D．减去6 4．小米同学5小时能抄写120个生字，照这样的速度，他7小时能抄写多少个生字？正确的算式是（    ）。 A．120÷5÷7 B．120×5×7 C．120÷5×7 D．120×7＋5 5．纸巾生产厂家一小时能生产5700包纸巾，每200包装满一大箱。根据下图竖式的结果，这些纸巾可以装满多少箱，还剩多少包？（    ） A．28；1 B．28；10 C．28；100 D．28；1000 6．在算式306÷16＝19……2中，如果被除数和除数都乘5，商和余数分别是（    ）。 A．19和2 B．19和10 C．95和2 D．95和10 7．下图是东东做某道除法笔算时的试商过程，请你仔细观察，你发现：这道除法算式的除数是（    ）。 A．5 B．6 C．48 D．49 8．364÷14，如果除数减去7，要使商不变，被除数应该减去（    ）。 A．7 B．14 C．182 D．357 二、填空题 9．龙龙在做一道除法题时，把被除数462错写成了426，结果商小了3，余数不变。正确的商是（ ），余数是（ ）。 10．甲数除以乙数的商是24，余数是80；如果甲、乙两数都除以10，那么得到的商是（ ），余数是（ ）。 11．在游艺活动中，小亚得到346个积分，每100个积分可以换一份礼品，小亚最多可以换（ ）个礼品。 12．一道除法算式的商是240，被除数和除数都除以5，则商是（ ）。3□6÷35，□里最大填（ ），商是一位数；□里最小填（ ），商是两位数。 13．无人机可以摆出各种精美的图案。用无人机摆一个花朵图案需要68架，现有一批无人机，刚好可以摆12个花朵图案，如果用这批无人机摆桔子图案，每个需要35架无人机，这些无人机最多可以摆（ ）个桔子图案，还剩（ ）架无人机。 14．在计算243÷32的时候，通常会把32看作30试商，先商8，计算后发现试的商偏（ ）（填“小”或“大”），应调商为（ ）。 15．根据直接写出下面算式的结果。 （ ）    （ ）    （ ） 16．王老师带800元到商店买篮球，每个篮球36元，如图的竖式表示他买篮球的计算过程。图中箭头所指的那一步表示他买（ ）个篮球花了（ ）元；王老师一共买了（ ）个篮球，剩下（ ）元。 三、计算题 17．直接写结果。 147÷7＝    64÷16＝    880÷80＝    100÷20×5＝ 63÷21＝    7200÷60＝    324÷3＝    350－150÷5＝ 18．列竖式计算。（带★的要验算） 324÷81＝    905÷18＝    ★298÷43＝ 四、解答题 19．《诗经》是中国第一部诗歌总集。小明看一本154页的《诗经》，第一周看了6天，平均每天看15页。第二周准备每天看16页，还需要看几天才能看完？ 20．东风小学要买35个足球，现在有甲、乙两家商店可以选，两家商店每个足球的标价都是45元，但每家的优惠方案不同，具体如下表： 甲商店 买10个以上，每个优惠5元 乙商店 买10个送1个 你认为学校应该到哪家商店购买更划算？请说明理由。 21．四年级学生要参加学校的会操表演，表演的男生和女生人数相同。已知女生按每行36人，排了12行，男生按每行24人，可以排多少行？ 22．动物园新来了一只大熊猫，它每天要花很长时间进食，食量也很大。它10天能吃掉380千克的食物，动物园为它准备6月份的食物1200千克，够吗？ 23．一家生产“马年”主题刺绣挂饰的工厂，为迎接春节，从早上8：00开始制作，管理员每3小时记录一次生产数量，下表是他的记录情况。 时间 11：00 14：00 17：00 20：00 比8：00增加的数量/件 54 108 162 216 （1）照这样的速度，生产324件马年刺绣挂饰，一共需要多少小时？ （2）现在要制作1200件作为春节礼品。照这样的速度，工厂每天工作8小时，6天时间够吗？ 24．2025年“苏超”在徐州掀起了一股运动热潮。足球一般是由黑、白两种皮块缝制而成的。体育用品加工厂的几位师傅缝制足球，第一天缝制了28个足球，一共用了336块黑皮块，第二天又缝制了44个足球。 （1）第二天缝制足球用了多少块黑皮块？ （2）某足球训练基地到体育用品店购买足球。足球定价每个48元，900元最多可以买多少个足球？ 25．妙想正在读一本590页的故事书，不小心合上了，她记得刚读完的连续两页页码之和是99。 （1）妙想刚读完的两页页码分别是（ ）页和（ ）页。 （2）如果之后妙想每天读20页，剩下的几天能读完？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 两、三位数除以两位数 单元知识清单讲义 知识点一：除数是整十数的口算和笔算 1、除数是整十数商是一位数的口算和笔算。 （1）除数是整十数商是一位数的除法的口算方法:①想乘法算除法。②利用表内除法计算。 （2）除数是整十数的笔算方法与以往学习过的除法计算方法相同，验算方法也相同，有余数时，余数要比除数小。 2、三位数除以整十数商是两位数的笔算。 三位数除以整十数，先看被除数的前两位，如果前两位比除数小，不够商1，就试除被除数的前三位，除到哪一位就把商写在那一位的上面；当被除数的前两位大于或等于除数时，就试除被除数的前两位，除到被除数的十位有余数时，要将余下的几个十转换成几十个一，再与个位上的数合在一起继续除。每求出一位商，余下的数必须比除数小。 知识点二：用四舍五入法试商 1、把除数通过“四舍”看作整十数进行试商。 试商过程分以下几步： ①把除数看作和它接近的整十数。 ②想整十数乘几接近被除数并口算试商。 ③把口算试得的商与非整十数的除数相乘，看试得的商是否合适。 2、把除数通过“五入”看作整十数进行试商。 笔算除数是两位数的除法时，通常把除数看作与它接近的整十数来试商。当除数的个位上的数小于5时，把除数个位上的数舍掉，看作与它接近的整十数进行试商；当除数的个位上的数等于5或大于5时，把除数个位上的数舍掉，向十位进一来试商，然后计算。 3、实际问题。 解决实际问题时，要明确计算顺序，理解每一步的意义，并结合分步算式理解综合算式的运算顺序。要联系题目的实际情况理解小括号的作用，明确运算顺序。 知识点三：用四舍五入法调商 1、计算除数是两位数的除法，试商时如果商与除数的积比被除数大，说明商大了，要调小。用“四舍”法试商，因为把除数看小了，商容易偏大，需调小些。 2、如果被除数减去商与除数的积后，余下的数等于或大于除数，说明商小了，要调大。用“五入”法试商，因为把除数看大了，所以商容易偏小，需要调大些。 知识点四：连续除法解决实际问题 1、连续除法问题是将一个‌总量‌经过‌两次平均分‌，求最终‌每份的数量‌，属于“归一问题”的进阶形式。 2、‌典型结构‌。 ‌总量÷第一份数÷第二份数=单一量‌ ‌关键词识别‌：题目中出现“平均分”“每层”“每组”“每人每天”等表述，提示需用连续除法建模。 3、两种解题思路。 ‌分步法：先求中间量，再求最终量。 ‌综合法‌：先求总份数，再一次性平均。 ‌综合算式：两种路径均可写成连除式。 题型1：两、三位数除以两位数的口算 【例1】直接写得数。 320÷40＝    450÷15＝    640÷20＝    980÷70＝ 860÷43＝    750÷50＝    800÷16＝    500÷20＝ 【答案】8；30；32；14； 20；15；50；25 【练1】直接写得数。 220÷11＝        300÷60＝        40×80＝ 250×4＝            450÷90＝        4200÷700＝ 【答案】20；5；3200； 1000；5；6 【练2】直接写得数。 420÷60＝         880÷40＝        560÷14＝        0÷36＝ 200÷50＝        720÷20＝         800÷80＝         180÷90＝ 【答案】7；22；40；0； 4；36；10；2 题型2：两、三位数除以两位数的笔算 【例2】用竖式计算。（带☆的要验算） 962÷26＝        ☆705÷36＝ 【答案】37；19……21 【分析】除数是两位数的除法的笔算方法是：从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小；带☆的题目还需用商×除数＋余数＝被除数的方法进行验算。 962÷26按除数是两位数的除法笔算方法直接计算；705÷36按上述方法计算后，再通过乘法进行验算。 【解答】962÷26＝37        ☆705÷36＝19……21      验算： 【练3】列竖式计算，带★的要验算。 344÷86＝         720÷48＝          690÷30＝        ★430÷60＝ 【答案】4；15 23；7……10 【分析】计算三位数除以两位数：先用除数去除被除数的前两位，前两位不够除，再看前三位，除到哪一位就把商写在那一位上面，除到被除数中间或末尾一位不够商1要商0，每一步除得的余数都要比除数小；可以用商乘除数加余数，看结果是否等于被除数进行验算。 【解答】344÷86＝4           720÷48＝15                            690÷30＝23             ★430÷60＝7……10                            验算： 【练4】用竖式计算。（带*的要验算） 640÷40＝    276÷33＝    *738÷32＝ 【答案】16；8……12；23……2 【分析】除数是两位数的笔算除法，从被除数的最高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果前两位数比除数小，再试除被除数的前三位数，除到被除数的哪一位，商就写在被除数哪一位的上面，每一步除得的余数都要比除数小。有余数的除法可以用商×除数＋余数＝被除数来验算。 【解答】640÷40＝16            276÷33＝8……12        *738÷32＝23……2             验算： 题型3：含两、三位数除以两位数的脱式计算 【例3】脱式计算。 896÷56×25        512－375÷25        735÷（105÷5）        （624－108）÷43 【答案】400；497；35；12 【分析】第一题只含有乘除法，属于同级运算，从左往右依次计算； 第二题含有减法和除法，先算除法，再算减法； 第三题含有小括号，先算小括号里面的除法，再算括号外的除法； 第四题含有小括号，先算小括号里面的减法，再算括号外的除法。 【解答】896÷56×25 ＝16×25 ＝400 512－375÷25 ＝512－15 ＝497 735÷（105÷5） ＝735÷21 ＝35 （624－108）÷43 ＝516÷43 ＝12 【练5】用递等式计算。 64－64÷16×12    972÷（720－21×33）    [（572＋78）÷26]×8 【答案】16；36；200 【分析】先算除法，再算乘法，最后算减法。 先算括号内的乘法，再算括号内的减法，最后算括号外的除法。 先算小括号内的加法，再算中括号内的除法，最后算括号外的乘法。 【解答】64－64÷16×12         ＝64－4×12     ＝64－48         ＝16     972÷（720－21×33） ＝972÷（720－693）     ＝972÷27 ＝36     [（572＋78）÷26]×8 ＝[650÷26]×8 ＝25×8 ＝200 【练6】脱式计算。 540÷15÷4      402－598÷26      （277＋467）÷24 【答案】9；379；31 【分析】540÷15÷4按照从左到右的顺序计算； 402－598÷26先算除法，再算减法； （277＋467）÷24先算小括号里的加法，再算除法。 【解答】540÷15÷4   ＝36÷4 ＝9    402－598÷26 ＝402－23 ＝379      （277＋467）÷24 ＝744÷24 ＝31 题型4：两、三位数除以两位数的试商 【例4】计算304÷52时，试商时把52看作（ ），这时商会（ ）（填“偏大”或“偏小”）。 【答案】50 偏大 【分析】计算除数是两位数的除法时，一般用四舍五入法把除数看成接近的整十数试商，判断商的变化填空即可。 【解答】52个位是2，符合四舍，因此试商时把52看作50，当被除数不变时，除数比原来变小了，计算得到的商会偏大。 【练7】计算269÷37时，可以将除数37看作（ ）来试商，当发现余数大于除数说明商（ ）（填“大”或“小”）了。 【答案】40 小 【分析】根据除数是两位数的除法计算，按照“四舍五入法”，将除数看作和它接近的整十数来试商，即可以将除数看作40来试商，据此可以知道计算时发现需要把初商调大还是调小。 【解答】37≈40 269÷40＝6……29，实际用商6除以37：37×6＝222，269－222＝47。因为47＞37，所以计算269÷37时，可以将除数37看作40来试商，当发现余数大于除数说明商小了。 【练8】4□2÷42，要使商是一位数，□里最大填（ ）；此时把除数看作40来试商，初商可能会偏（ ）。 【答案】1 大 【分析】4□2÷42，要使商是一位数，被除数前两位数要小于除数，4□＜42；根据除法计算中试商的方法：把除数看大了，商就容易变小，调商时要调大一点，把除数看小了，商就容易变大，调商时要调小一点。据此解答即可。 【解答】4□2÷42，要使商是一位数，被除数前两位数要小于除数，4□＜42，□里可填0、1，□里最大填1；此时把除数看作40来试商，初商可能会偏大。 题型5：判断商是几位数 【例5】578÷55，要使商是三位数，里最小填（ ），要使商是两位数，里最大填（ ）。 【答案】5 4 【分析】多位数除以两位数时，要知道商是几位数，先将被除数前两位上的数合起来，如果这个数等于或大于除数时，那么商的位数就比被除数少一位；如果这个数小于除数，那么商的位数就比被除数少两位，依此填空即可。 【解答】578÷55，要使商是三位数，则需要使5≥55，所以≥5，因此里最小填5，要使商是两位数，则需要使5＜55，所以＜5，因此里最大填4。 【练9】估算之趣！计算893÷31时，可以把除数看作（ ）去试商，商是（ ）位数。 【答案】30 两 【分析】除数是两位数的除法，一般按照四舍五入法，把除数看作和它接近的整十数来试商。三位数除以两位数，要知道商是几位数，先将被除数的百位、十位上的数合起来，如果这个数等于或大于除数，那么商就是两位数；如果这个数小于除数，那么商就是一位数；依此填空即可。 【解答】31接近30，即893÷30，把除数看作30来试商；31＜89，即商是两位数。 【练10】□6□÷24，要使商是两位数，被除数百位上的□最小填（ ）；又要使商的末尾是0，被除数个位上的□最大填（ ）。 【答案】2 3 【分析】三位数除以两位数，判断商是几位数的方法：先观察被除数前两位上的数，看是否大于或等于除数（也就是看前两位上的数除以除数，够不够商一个十）。被除数前两位够除，商就是两位数，反之，商就是一位数； 三位数除以两位数，要使商的末尾有0，那么被除数前两位上的数除以除数刚好除尽，或者余数和个位组成的数小于24，且被除数的前两位除以24的商是整十数， 【解答】根据分析，解答如下： 除数是24，要使商是两位数，被除数前两位必须大于或等于24，由于被除数的十位是6，那么当百位是2时，26＞24，所以被除数百位上的□最小填（  2 ）； 当被除数的百位是2时，要使商的末尾是0，余数要小于24，那么个位填0，1，2，3都可以，所以被除数个位上的□最大填（3）。 题型6：商的变化规律及应用 【例6】根据前三题的得数，直接写出后面两题的得数。 26640÷111＝240                26640÷222＝120                26640÷333＝80 26640÷444＝（ ）                        26640÷555＝（ ） 【答案】60 48 【分析】在除法算式里，被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。 【解答】第四个算式：除数444是111的4倍，根据商的变化规律，商应除以4，即240÷4＝60； 第五个算式：除数555是111的5倍，根据商的变化规律，商应除以5，即240÷5＝48。 【练11】根据算式中的规律，直接填出括号里的数。          （ ）    （ ） 【答案】48 30 【分析】观察题中给出的已知算式，发现被除数都是26640保持不变，除数分别是111、222、333，商随之发生变化。根据商的变化规律：被除数不变，除数扩大到原来的几倍，商反而除以几。解题时以第一个算式26640÷111＝240为基准，分别计算待求算式中的除数是111的多少倍，再将基准商240除以相应的倍数即可得到结果。 【解答】由已知算式26640÷111＝240可知，被除数为26640，基准除数为111，基准商为240。 对于第一个待填算式26640÷555：因为555÷111＝5，即除数555是111扩大到原来的5倍。根据商的变化规律，被除数不变，除数扩大到原来的5倍，商应除以5。 计算商：240÷5＝48。 对于第二个待填算式26640÷888：因为888÷111＝8，即除数888是111扩大到原来的8倍。根据商的变化规律，被除数不变，除数扩大到原来的8倍，商应除以8。 计算商：240÷8＝30。 【练12】找规律填空。 （1）1，2，4，7，11，（ ）。 （2）写算式800÷5＝160，400÷5＝80，200÷5＝40，（ ）。 （3）写算式320÷1＝320，320÷2＝160，320÷4＝80，（ ）。 （4）观察商与除数和被除数的变化，说说你的发现（写一条即可）：（ ）。 【答案】（1）16 （2）100÷5＝20 （3）320÷8＝40 （4）除数不变，被除数除以几（0除外），商就除以几。 【分析】（1）观察数列，找出它们的规律，相邻两个数的差依次是 1、2、3、4，差每次增加1。 （2）除法算式找规律，除数不变（都是5），被除数每次除以2，商也同时除以2。 （3）除法算式找规律，被除数不变（都是320），除数每次乘2，商同时除以2。 （4）观察商与除数和被除数的变化，找出它们的规律。 【解答】（1）2－1＝1、4－2＝2、7－4＝3、11－7＝4； 因此下一个差是5，所以11＋5＝16。 （2）800÷5＝160、400÷5＝80、200÷5＝40； 800÷2＝400，400÷2＝200，200÷2＝100； 因此下一个被除数是200÷2＝100，所以算式是：100÷5＝20。 （3）算式： 320÷1＝320、320÷2＝160；320÷4＝80； 1×2＝2，320÷2＝160； 2×2＝4，160÷2＝80； 因此下一个除数是4×2＝8，所以算式是：320÷8＝40。 （4）除数不变，被除数除以几（0除外），商就除以几； 或被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。 题型7：商不变的规律及应用 【例7】如果a÷b＝12（b≠0），那么（a×3）÷（b×3）＝（ ）。 【答案】12 【分析】被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。 【解答】根据分析可知，如果a÷b＝12（b≠0），那么（a×3）÷（b×3）＝12。 【练13】若（不为0），则（ ），（ ）。 【答案】8 16 【分析】当被除数不变，除数扩大到原来的2倍时，商反而缩小到原来的，因此16÷2＝8；当被除数和除数同时乘相同的数（不为0）时，商不变，因此结果还是16。 【解答】16÷2＝8 若（不为0），则8，16。 【练14】如果甲÷乙＝15……40，（甲×10）÷（乙×10）＝（ ）……（ ）。 【答案】15 400 【分析】用商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数会跟着被除数和除数变化而变化。 【解答】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘10，商不变。已知甲÷乙＝15……40，那么（甲×10）÷（乙×10）的商仍然是15； 因为被除数和除数同时乘10，余数也要跟着乘10，原来余数是40，那么结果40×10＝400； 所以商填15，余数填400。 题型8：单归一问题 【例8】张叔叔是一名外卖骑手，他7天送了245单，照这样计算。他1个月（按30天算）能送多少单外卖？ 【答案】1050单 【分析】已知张叔叔7天送了245单，那么平均每天就送245÷7单，求1个月送单的总数就再乘30，即245÷7×30，算出结果即可。 【解答】245÷7×30 ＝35×30 ＝1050（单） 答：他1个月能送1050单外卖。 【练15】15箱蜜蜂一年可以酿蜜975千克，照这样计算，张叔叔家养了45箱这样的蜜蜂，一年可以酿蜜多少千克？ 【答案】2925千克 【分析】可以先用15箱蜜蜂一年酿蜜的总质量除以箱数，计算出1箱蜜蜂一年酿蜜的质量；再用1箱蜜蜂一年酿蜜的质量乘箱数45箱，即可求出45箱一年酿蜜的总质量。也可以先求出45箱是15箱的几倍，则45箱一年酿蜜的质量就是975千克的几倍。 【解答】方法一： 975÷15×45 ＝65×45 ＝2925（千克） 方法二： 45÷15×975 ＝3×975 ＝2925（千克） 答：一年可以酿蜜2925千克。 【练16】阳光社区开展旧衣物回收活动，计划回收120箱旧衣物。社区内一共有7个小区，其中4个小区一共回收了56箱旧衣物，照这样计算，这次活动中阳光社区回收的旧衣物完成计划了吗？如果没完成，还差多少箱？ 【答案】没完成；22箱 【分析】先根据“照这样计算”求出平均每个小区回收旧衣物的数量，再求出个小区预计回收的总数量，将其与计划回收数量进行比较，判断是否完成计划，最后用计划数量减去预计回收总数量求出还差的数量。 【解答】 答：这次活动中阳光社区回收的旧衣物没完成计划，还差箱。 题型9：双归一问题 【例9】书店运来480本图书，要平均放在4个书架上，每个书架有5层，平均每层放多少本图书？ 【答案】24本 【分析】求平均每层放的图书数，每层放的图书数＝总数÷书架数÷层数。 【解答】480÷4÷5 ＝120÷5 ＝24（本） 答：平均每层放24本图书。 【练17】宿迁洋河酒厂的包装车间，3条相同的生产线，4小时能包装梦之蓝M6白酒4800瓶。照这样计算，1条生产线1小时能包装多少瓶？ 【答案】400瓶 【分析】已知3条生产线4小时包装4800瓶酒，先计算3条生产线1小时包装的瓶数，用总瓶数除以总小时数，再计算1条生产线1小时包装的瓶数，用3条生产线1小时包装的瓶数除以生产线的条数3。 【解答】4800÷4÷3 ＝1200÷3 ＝400（瓶） 答：1条生产线1小时能包装400瓶。 【练18】四年级有5个班，每班有36人。他们一共向灾区小朋友捐款900元，平均每人捐款多少元？ 【答案】5元 【分析】用900除以5可以计算出平均每个班捐款的钱数，再除以36计算出平均每人捐款多少元；据此解答。 【解答】900÷5÷36 ＝180÷36 ＝5（元） 答：平均每人捐款5元。 题型10：归总问题 【例10】工人们修马路，原计划用40个工人，实际用了45个工人。计划要修路90天，实际修了多少天？ 【答案】80天 【分析】解题的关键在于抓住“工作总量不变”这一隐含条件。需要根据原计划的人数40个工人和90天，利用乘法计算出修路的总工作量；然后根据实际的45个工人，利用总工作量除以实际人数，即可求出实际修路的天数。 【解答】40×90÷45 ＝3600÷45 ＝80（天） 答：实际修了80天。 【练19】水果店要运一批杨梅，若每个纸箱装10千克，则正好装36个纸箱，为保证质量，现将每个纸箱少装4千克，那么需要多少个纸箱？ 【答案】60个 【分析】每个纸箱装的质量×纸箱个数＝杨梅总质量，每个纸箱装的质量－少装的质量＝实际每个纸箱装的质量，杨梅总质量÷实际每个纸箱装的质量＝实际需要的纸箱个数。 【解答】 （个） 答：需要60个纸箱。 【练20】小兵要写一份文稿，如果用电脑打字录入，按每分钟96个字计算，需用20分钟完成。如果使用语音录入，16分钟就能完成。语音录入每分钟比电脑打字录入多多少个？ 【答案】24个 【分析】文稿的总字数＝电脑打字每分钟打字个数×打字时间，总字数÷语音录入花费的时间＝语音录入每分钟录入字的个数，语音录入每分钟录入字的个数－电脑打字每分钟录入字的个数＝语音录入每分钟比电脑打字录入多的个数。 【解答】96×20÷16 ＝1920÷16 ＝120（个） 120－96＝24（个） 答：语音录入每分钟比电脑打字录入多24个。 一、选择题 1．下列哪个算式的商不是两位数（    ）。 A．64★÷64 B．64★÷7★ C．64★÷5★ D．无法判断 【答案】B 【分析】三位数除以两位数，用被除数百位和十位组成的数字与除数比较大小：组成的数字比除数大或相等，商是两位数；比除数小，商是一位数，由此求解。 【解答】A．64★÷64，被除数前两位数字64与除数64相等，商是两位数，不符合题意； B．64★÷7★，被除数的前两位数字是64，除数7★最小是70，64＜70，商是一位数，符合题意； C．64★÷5★，被除数的前两位数字是64，除数5★最大是59，64＞59，商是两位数，不符合题意； 2．要使□×125÷10的计算结果末尾有2个“0”，□里可填的个位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】□是个位数（范围1到9，填0时结果为0，不存在末尾2个0，不考虑），要使□×125÷10的计算结果末尾有2个0，一个数除以10，末尾还有2个0，可以判断□×125的乘积末尾应该有3个0，我们逐个计算验证，选择正确的答案即可。 【解答】1×125＝125 2×125＝250 3×125＝375 4×125＝500 5×125＝625 7×125＝875 8×125＝1000 9×125＝1125 符合要求的个位数只有1个，□里可填的个位数有1个。 3．欢欢在计算288÷24时，把24抄成了4并计算出了结果，要想得到正确的结果，应该再（    ）。 A．除以20 B．减去20 C．除以6 D．减去6 【答案】C 【分析】本题考查商的变化规律的应用。解题关键在于比较正确的除数与错误的除数之间的关系。先计算出除数变化的倍数，再根据“被除数不变，除数除以几，商就扩大到原来的几倍”这一规律，确定如何对错误的结果进行修正。 【解答】正确的除数是24，欢欢抄写后的错误除数是4。 比较除数的变化：244＝6，即错误的除数相当于正确的除数除以6。 根据商的变化规律：在除法算式中，被除数不变，除数除以6，商就扩大到原来的6倍。 这意味着计算出的错误结果是正确结果的6倍。 要想得到正确的结果，应该把计算出的错误结果除以6。 4．小米同学5小时能抄写120个生字，照这样的速度，他7小时能抄写多少个生字？正确的算式是（    ）。 A．120÷5÷7 B．120×5×7 C．120÷5×7 D．120×7＋5 【答案】C 【分析】本题考查归一问题的解题方法。解决此类问题通常先求出单一量（即每小时抄写生字的个数），再根据单一量求出所需的总量。根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”先求出每小时抄写的个数，再根据“工作总量＝工作效率×工作时间”求出7小时抄写的个数，最后列出综合算式并与选项对比。 【解答】根据题意，先求每小时抄写多少个生字，即工作效率： 再求7小时能抄写多少个生字，即工作总量，用每小时抄写的个数乘7： 观察选项，120÷5×7与推导结果一致。 5．纸巾生产厂家一小时能生产5700包纸巾，每200包装满一大箱。根据下图竖式的结果，这些纸巾可以装满多少箱，还剩多少包？（    ） A．28；1 B．28；10 C．28；100 D．28；1000 【答案】C 【分析】被除数和除数末尾都有0的除法计算，利用商不变规律：被除数和除数同时缩小到原来的100倍（同时去掉2个0），商不变，但余数需要还原，把去掉的2个0补回来。 【解答】1×100＝100 28×200＋100 ＝5600＋100 ＝5700 计算5700÷200＝28……100，所得商为28，表示这些纸巾可以装满28箱，余数100表示还剩100包。 6．在算式306÷16＝19……2中，如果被除数和除数都乘5，商和余数分别是（    ）。 A．19和2 B．19和10 C．95和2 D．95和10 【答案】B 【分析】根据商不变规律：被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变，但余数会跟着乘相同的数。题中被除数和除数都乘5，商不变，还是原来的19；原来余数是2，新余数为2×5＝10，因此商是19，余数是10。 【解答】2×5＝10 在算式306÷16＝19……2中，如果被除数和除数都乘5，商和余数分别是19和10。 7．下图是东东做某道除法笔算时的试商过程，请你仔细观察，你发现：这道除法算式的除数是（    ）。 A．5 B．6 C．48 D．49 【答案】C 【分析】根据商×除数＋余数＝被除数 5×除数＋49＝被除数 6×除数＋1＝被除数 说明6倍的除数比5倍的除数多49－1，据此可算出除数。 【解答】6－5＝1 49－1＝48 这道除法算式的除数是48。 8．364÷14，如果除数减去7，要使商不变，被除数应该减去（    ）。 A．7 B．14 C．182 D．357 【答案】C 【分析】根据题意，364÷14，如果除数减去7，14－7＝7，14÷7＝2，即除数除以2，根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，则被除数也需要除以2，用原来的被除数减去除以2后的被除数，即可求出应该减去多少。 【解答】364÷2＝182 364－182＝182 被除数应该减去182。 二、填空题 9．龙龙在做一道除法题时，把被除数462错写成了426，结果商小了3，余数不变。正确的商是（ ），余数是（ ）。 【答案】38 6 【分析】被除数462错写成了426，被除数减少了462－426＝36，结果商少了3，余数不变，商减少的数等于被除数减少的数除以除数，则除数＝被除数减少的数÷商减少的数，所以除数等于36除以3，再用正确的被除数462除以除数即可解答。 【解答】（462－426）÷3 ＝36÷3 ＝12 462÷12＝38……6 正确的商是38，余数是6。 10．甲数除以乙数的商是24，余数是80；如果甲、乙两数都除以10，那么得到的商是（ ），余数是（ ）。 【答案】24 8 【分析】根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。余数也同时乘或者除以这个数。据此解答。 【解答】80÷10＝8，甲数除以乙数的商是24，余数是80；如果甲、乙两数都除以10，那么得到的商是24，余数是8。 11．在游艺活动中，小亚得到346个积分，每100个积分可以换一份礼品，小亚最多可以换（ ）个礼品。 【答案】3 【分析】每100个积分可以换一份礼品，就是计算346里面有几个100，用346÷100即可。商表示可以兑换的礼物数量，余数表示剩余的积分。 【解答】 所以最多可以换3个礼物，还余下46个积分。 12．一道除法算式的商是240，被除数和除数都除以5，则商是（ ）。3□6÷35，□里最大填（ ），商是一位数；□里最小填（ ），商是两位数。 【答案】240 4 5 【分析】商不变的性质：被除数和除数同时除以同一个不为0的数，商不变。所以被除数和除数都除以5后，商仍然是240。三位数除以两位数判断商的位数规律：被除数前两位＜除数时，商是一位数；被除数前两位≥除数时，商是两位数：要商是一位数，需满足3□＜35，□可填0~4，最大填4； 要商是两位数，需满足3□≥35，□可填5~9，最小填5。 【解答】一道除法算式的商是240，被除数和除数都除以5，则商是240。3□6÷35，□里最大填4，商是一位数；□里最小填5，商是两位数。 13．无人机可以摆出各种精美的图案。用无人机摆一个花朵图案需要68架，现有一批无人机，刚好可以摆12个花朵图案，如果用这批无人机摆桔子图案，每个需要35架无人机，这些无人机最多可以摆（ ）个桔子图案，还剩（ ）架无人机。 【答案】23 11 【分析】根据每份数×份数＝总数，求出无人机的总架数；然后根据总数÷每份数＝份数……余数，求出可以摆桔子图案的个数及剩余无人机架数， 【解答】68×12＝816（架） 816÷35＝23（个）……11（架） 14．在计算243÷32的时候，通常会把32看作30试商，先商8，计算后发现试的商偏（ ）（填“小”或“大”），应调商为（ ）。 【答案】大 7 【分析】整数除法试商方法：把除数看成与它接近的整十数。如果把除数看小了来试商，初商就可能会偏大，那就把商调小。如果把除数看大了来试商，初商就可能会偏小，那就把商调大。 【解答】在计算243÷32的时候，通常会把32看作30试商，先商8，8×32＝256，256＞243。计算后发现试的商偏大，应调商为7。 15．根据直接写出下面算式的结果。 （ ）    （ ）    （ ） 【答案】18 180 18 【分析】（1）（3）被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变； （2）被除数乘一个数，除数乘另一个数，则商先乘一个数再除以另一个数。（0除外） 【解答】540÷30＝（54×10）÷（3×10）＝18 5400÷30＝（54×100）÷（3×10）＝18×100÷10＝180 270÷15＝（54×5）÷（3×5）＝18 16．王老师带800元到商店买篮球，每个篮球36元，如图的竖式表示他买篮球的计算过程。图中箭头所指的那一步表示他买（ ）个篮球花了（ ）元；王老师一共买了（ ）个篮球，剩下（ ）元。 【答案】20 720 22 8 【分析】三位数除以两位数时，先用被除数的前两位数除以除数，如果前两位数小于除数，再用前三位数除以除数。除到哪一位，就把商写在那一位的上面，每次除得的余数必须比除数小。观察图中箭头所指的那一步对应的是被除数十位上对应商的数字2乘36的结果，代表的是20×36，因此表示买20个篮球花了720元；观察竖式得到的结果是22，余数是：80－72＝8，因此代表王老师一共买了22个篮球，还剩8元。 【解答】800÷36＝22（个）……8（元） 20×36＝720（元） 图中箭头所指的那一步表示他买20个篮球花了720元；王老师一共买了22个篮球，剩下8元。 三、计算题 17．直接写结果。 147÷7＝    64÷16＝    880÷80＝    100÷20×5＝ 63÷21＝    7200÷60＝    324÷3＝    350－150÷5＝ 【答案】21；4；11；25； 3；120；108；320 18．列竖式计算。（带★的要验算） 324÷81＝    905÷18＝    ★298÷43＝ 【答案】4；505；640 【分析】除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。有余数的除法验算方法是除数乘商加余数看是否等于被除数。 【解答】324÷81＝4            905÷18＝505       ★298÷43＝640           验算： 四、解答题 19．《诗经》是中国第一部诗歌总集。小明看一本154页的《诗经》，第一周看了6天，平均每天看15页。第二周准备每天看16页，还需要看几天才能看完？ 【答案】4天 【分析】先根据“每天看的页数×天数＝总页数”，用15乘6，求出第一周已经看的页数；再用书的总页数减去已经看的页数，求出剩下的页数；最后根据“剩下的页数÷每天看的页数＝天数”，求出第二周还需要的天数。 【解答】 （天） 答：还需要看4天才能看完。 20．东风小学要买35个足球，现在有甲、乙两家商店可以选，两家商店每个足球的标价都是45元，但每家的优惠方案不同，具体如下表： 甲商店 买10个以上，每个优惠5元 乙商店 买10个送1个 你认为学校应该到哪家商店购买更划算？请说明理由。 【答案】甲商店；甲商店总价较小。 【分析】甲商店：由于购买35个足球，大于10个，每个优惠5元，首先将原价45元减去优惠的价格5元得到优惠后单价，再利用“总价＝总数量×优惠后单价”计算总价； 乙商店：“买10个送1个”，即每11个球支付10个的钱；利用有余数的除法计算得到35个球中有多少个11和余数，实际需要支付的个数为商乘10加上余数，总价为实际需要支付的个数×单价； 最后比较两家总价的大小，从而判断哪家商店购买更划算。 【解答】甲商店：优惠后单价：45－5＝40（元），总价：40×35＝1400（元）。 乙商店：35÷11＝3……2 故实际需支付的个数： 3×10＋2 ＝30＋2 ＝32（个） 总价：45×32＝1440（元）。 1400＜1440 答：学校应该到甲商店购买更划算，因为甲商店总价较小。 21．四年级学生要参加学校的会操表演，表演的男生和女生人数相同。已知女生按每行36人，排了12行，男生按每行24人，可以排多少行？ 【答案】18行 【分析】本题考查整数乘除混合运算的实际应用。解题关键在于抓住“男生和女生人数相同”这一条件。首先根据女生每行人数和行数，用乘法计算出女生总人数，即男生总人数；然后根据男生每行人数，用总人数除以每行人数，求出男生排的行数。计算过程中需注意运算顺序，从左往右依次计算。 【解答】36×12÷24 ＝432÷24 ＝18（行） 答：可以排18行。 22．动物园新来了一只大熊猫，它每天要花很长时间进食，食量也很大。它10天能吃掉380千克的食物，动物园为它准备6月份的食物1200千克，够吗？ 【答案】 够 【分析】本题属于归一问题，同时涉及年月日的知识。解题依据是先通过已知条件求出单一量（平均每天吃的食物质量），再根据 6 月份的天数求出总量，最后与准备的食物量进行比较。需注意 6 月份是小月，共有 30 天。 【解答】380÷10＝38（千克） 6 月份是小月，共有 30 天。 38×30＝1140（千克） 1140＜1200 答：够。 23．一家生产“马年”主题刺绣挂饰的工厂，为迎接春节，从早上8：00开始制作，管理员每3小时记录一次生产数量，下表是他的记录情况。 时间 11：00 14：00 17：00 20：00 比8：00增加的数量/件 54 108 162 216 （1）照这样的速度，生产324件马年刺绣挂饰，一共需要多少小时？ （2）现在要制作1200件作为春节礼品。照这样的速度，工厂每天工作8小时，6天时间够吗？ 【答案】（1）18小时 （2）不够 【分析】（1）从8：00到11：00经过了3小时，生产数量增加了54件。利用“工作效率＝工作总量÷工作时间”求出每小时的生产数量。验证其他时间段数据，确认生产速度保持不变。 已知需要生产的总数量和每小时的生产数量，利用“工作时间＝工作总量÷工作效率”计算所需时间。 （2）先计算工厂6天实际能生产的总数量（每小时生产数量×每天工作小时数×天数），再将实际生产数量与需要制作的数量进行比较，判断是否足够。 【解答】（1）（1）计算每小时生产数量： 11时－8时＝3时 54÷3＝18（件） 计算生产324件所需时间： 324÷18＝18（小时） 答：一共需要18小时。 （2）（2）计算6天能生产的总数量： 18×8×6 ＝144×6 ＝864（件） 864＜1200 答：6天时间不够。 24．2025年“苏超”在徐州掀起了一股运动热潮。足球一般是由黑、白两种皮块缝制而成的。体育用品加工厂的几位师傅缝制足球，第一天缝制了28个足球，一共用了336块黑皮块，第二天又缝制了44个足球。 （1）第二天缝制足球用了多少块黑皮块？ （2）某足球训练基地到体育用品店购买足球。足球定价每个48元，900元最多可以买多少个足球？ 【答案】（1）528块 （2）18个 【分析】（1）用第一天使用掉的黑皮块数量除以第一天缝制的足球个数，算出每个足球需要多少黑皮块，再乘第二天缝制的足球个数，即可算出第二天缝制足球用了多少块黑皮块。 （2）用900元除以每个足球的价格，得到的商便是可以买的足球个数，余数是还剩下的钱。据此解答。 【解答】（1）336÷28×44 ＝12×44 ＝528（块） 答：第二天缝制足球用了528块黑皮块。 （2）900÷48＝18（个）……36（元） 答：900元最多可以买18个足球。 25．妙想正在读一本590页的故事书，不小心合上了，她记得刚读完的连续两页页码之和是99。 （1）妙想刚读完的两页页码分别是（ ）页和（ ）页。 （2）如果之后妙想每天读20页，剩下的几天能读完？ 【答案】（1） 49 50 （2）27天 【分析】（1）连续两页页码之差是1页，而连续两页页码之和是99页，则较小页是[（99－1）÷2]页，较大页是[（99＋1）÷2]页； （2）较大页页码就是已经看的页数，用这本故事书的总页数减去较大页页码，求出还剩没读的页数，用还没读的页数除以每天读的页数，求出读书的天数。 【解答】（1）（1）（99－1）÷2 ＝98÷2 ＝49（页） （99＋1）÷2 ＝100÷2 ＝50（页） 所以，妙想刚读完的两页页码分别是49页和50页。 （2）（590－50）÷20 ＝540÷20 ＝27（天） 答：如果之后妙想每天读20页，剩下的27天能读完。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $