河南信阳市光山县文殊高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末考试模拟试卷

**基本信息** 本卷以新高考为导向，融合茶文化、信号处理等真实情境，通过梯度化题型设计，全面考查高二数学核心知识与“三会”素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三角函数定义、集合运算、概率性质等|基础题注重概念辨析，如第3题考查事件概率关系| |多选|3/18|函数奇偶性、三角函数图像变换|第11题结合信号处理情境，考查正弦型函数性质| |填空|3/15|统计标准差、圆方程、导数极值|第14题导数与三角结合，考查极值条件应用| |解答|5/77|圆与切线、三角函数图像、导数应用、茶文化温度模型、三角与几何综合|18题以茶水温度数据构建函数模型，考查数据处理与模型应用；19题综合三角恒等变换与外接圆，体现高考综合命题趋势|

2025-2026学年度光山县文殊高中数学期末考试模拟卷 高二数学 考试范围：新高考全部内容；考试时间：120分钟；分值：150 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．在中，已知，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（    ） A．()与C是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C．的概率一定不超 D．的概率一定等于0.5 4．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，且，则m的值为（    ） A． B．2 C．4 D．或4 7．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的偶函数且在上为减函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．点是图象的一个对称中心 C．在上单调递减 D．将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 10．下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 11．随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.已知某种信号的波形可以利用函数的图象近似模拟，则（    ） A．是非奇非偶函数 B．的值域为 C．当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为 D．的图象与的图象恰有个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若从总体中随机抽取的样本为：､､､1､1､3､2､2､4､2，则该总体标准差的点估计值是___________.(精确到0.1) 13．过直线 与直线 的交点， 圆心为的圆的标准方程是_____. 14．在处取得极值，则______. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且. (1)求圆的方程； (2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程. ①；②. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 16．（15分）已知函数． (1)请画出函数在一个周期上的图象； (2)写出如何由函数的图像变换得到函数y=的图像． 17．（15分）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在上单调递增，且存在，使得，若，证明：． 18．（17分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关．经验表明，某种普洱茶用95度的水冲泡，等茶水温度降至60度饮用，口感最佳，某实验小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y与时间t的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出以下三种函数模型：①；②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少． 参考数据：． 19．（17分）已知锐角中，内角的对边分别为，，，为外接圆的圆心. (1)求； (2)求的取值范围； (3)求和面积之差的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度光山县文殊高中数学期末考试模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B D A D A AD BC 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】利用三角函数的定义可得，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 【详解】解：由题意可得，， 故. 故选：B 2．B 【分析】直接由正弦定理即可得到答案 【详解】由正弦定理，得． 故选：B 3．C 【分析】根据A，B，C不一定互斥，利用和事件的一般概率公式计算可判断各选项得解. 【详解】由事件A，B，C不一定两两互斥， 所以， ，且， 所以不一定是必然事件，无法判断与C是不是互斥事件， 所以A、B、D中说法错误． 故选：C． 4．B 【分析】由已知可得的定义域即函数的定义域为，令，可得答案． 【详解】由，解得， 即的定义域是，则， 即函数的定义域为， 令，解得， 则函数的定义域为． 故选：B． 5．D 【分析】根据向量加减和向量积的坐标表示，根据向量夹角余弦值坐标公式求值即可. 【详解】根据题意知，可知. 故选：D. 6．A 【分析】根据平面向量平行的坐标表示可求得结果. 【详解】根据题意，得， 由，得，解得． 故选：A． 7．D 【分析】由集合包含关系可直接构造不等式组求得结果. 【详解】，，， 且，解得：，即的取值范围为. 故选：D. 8．A 【分析】根据偶函数的定义及对数的运算，利用指数对数函数的性质及函数的单调性即可求解. 【详解】因为是偶函数， 所以， 由， 由指数函数的性质知，函数在上单调递减，且， 所以， 所以， 因为在上为减函数， 所以，即. 故选：A. 9．AD 【分析】由已知利用两角差的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的周期公式即可求解得的值，即可判断A；利用正弦函数的对称性即可判断B；利用正弦函数的单调性即可判断C；利用三角函数的图象变换即可判断D． 【详解】因为的最小正周期为， 所以，解得，故A正确， 所以， 由于， 所以点不是图象的一个对称中心，故B错误， 当，可得,，函数不是单调递减，故C错误， 将的图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得，故D正确． 故选：AD． 10．BC 【解析】根据函数奇偶性的定义，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，的定义域为，且，所以是奇函数，故A错； B选项，的定义域为，且，所以是偶函数，故B正确； C选项，的定义域为，且，所以是偶函数，故C正确； D选项，的定义域为，且，所以是奇函数，故D错. 故选：BC. 11．BD 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判定A，根据函数的周期性，结合对讨论去绝对值，即可利用辅助角公式，结合三角函数的性质，利用整体法即可求解B，根据函数的图象，结合对称性即可求解CD. 【详解】对于A，由于，所以是偶函数，故A错误； 对于B，当时，， 故当时，是一个周期函数，其中一个周期为，故只需考察这个函数在内的情况. 当时，. 此时，故， 当时，，此时，故， 综上可得时，的值域为，故B正确； 对于C，作出在上的图象，故当，时，由图可知直线与的图象有个交点，设这个交点的横坐标分别为，，，，由图可知，，和，分别关于直线，对称，故，故C错误； 对于D，当时，，由图可知的图象与的图象在区间内恰有个交点，又为偶函数，故的图象与的图象恰有个交点，故D正确. 故选：BD.   【点睛】 方法点睛：已知函数交点问题常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 12． 【分析】利用样本标准差的点估计值估计总体标准差的点估计值即可. 【详解】解：由已知，样本的平均值为， 所以样本标准差的点估计值为 ， 所以总体标准差的点估计值是， 故答案为：. 13． 【分析】先求出两直线的交点坐标，再求这点到圆心的距离就是半径，从而可求出圆的标准方程 【详解】由，得， 所以直线 与直线 的交点为， 所以圆的半径为， 所以所求圆的标准方程为， 故答案为： 14． 【分析】对求导，代入，使得，变形整理得到，利用三角函数的有界性，可得，再利用倍角公式可求． 【详解】解：由已知， 因为在处取得极值， ， 即， 因为，， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查导数的运算，考察三角公式的应用，关键是对的整理变形，考查了学生的因式分解的能力，是一道中档题． 15．(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦长与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆的方程. （2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出该斜率继而得出直线方程. 【详解】（1）如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点， 根据点点到直线距离公式：，， 根据勾股定理：， 得圆的方程： （2）选①： 由（1）可知点在圆外，若切线斜率不存在， ，由图可知为过点P与圆相切的直线的方程； 若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式， 因为直线与圆相切，则，解得， 直线的方程为：， 综上所述过点与圆相切的直线的方程为或. 选②：由（1）可知点在圆上，的直线方程为， 则过点与圆相切的直线与垂直，斜率为 根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式. 16．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先求出函数的周期，选择函数一个周期的区间利用五点作图法作出图像； （2）根据图像变换的规律写出图像变换的过程，可先进行平移变换，再进行伸缩变换，也可以先进行伸缩变换，再进行平移变换. 【详解】（1）函数的周期为. 列表如下，   x 0 0 1 0 0 描点作图即可 （2）方法一： 把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得函数的图象， 再将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数的图象， 最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数的图象． 方法二： 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数的图象， 再将图象上所有的点向左平移个单位长度，得函数的图象， 最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数的图象． 17．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出导数，根据导数的二次式取值情况讨论a 的取值范围与单调性关系； （2）根据（1）可知时，满足题中要求，根据单调性将转换为，再通过构造函数判断单调性，根据其单调性证明不等式成立. 【详解】（1）由题可知，令， 当，即时，恒成立， 故在上单调递增； 当，即时，令，则或， 令，则 故在上单调递增； 在单调递减； （2）由（1）可知，当且仅当时，在上单调递增，且存在，使得； 故，则， 在上单调递增；且，又， 不妨设，设，且， 设，则, 当时，且， 所以当时，，因此在单调递增， 又，， 则，故在上单调递增； ，， 即， 又在上单调递增，，即得证． 【点睛】解决拐点偏移问题的一般方法是对称化构造，而且一阶导函数极值点右偏（左偏）对应拐点右偏（左偏），偏移方向是相同的，因此一般的解题步骤如下： （1）分析单调性，也就是分析； （2）求解函数拐点，即令求出拐点； （3）构造，证明（或）恒成立； （4）得出结论． 18．(1)选②，理由见解析， (2)6.5分钟 (3)25℃ 【分析】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数，所以排除③，代入数值之后计算不是直线，所以排除①，所以选②，然后代入数据计算. （2）令，求解方程后并换底公式化简，再根据题目给的参考数据计算即可. （3）根据指数函数单调递减求函数的值域，再求室温即可. 【详解】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数， 故③为增函数，不合题意； 又，不是同一常数，故①不符合题意； 故选②， 则，解得， 所以． （2）由题意，即， 所以（分钟）. 即刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间大约为6.5分钟 （3）由，即，所以进行实验时的室温约为25℃. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得到，再利用辅助角公式，即可求解； （2）根据条件及（1）中结果，利用正弦定理得，再结合条件得，利用正切函数的性质，即可求解； （3）利用正弦定理及三角形面积公得到，令，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理及，得. 因为，所以，则， 所以，得到， 又，则，所以，得到. （2）由正弦定理， 得. 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，则，所以， 即的取值范围为. （3）设外接圆的半径为，则， 且，即. 因为，， 所以， ， 所以， 由（2）知， 令，则， 所以当时，取得最大值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $