精品解析：陕西省西安市高新区高新一中教育联合体2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

2025~2026学年度第二学期期末考试 七年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为0.000000698米，将数据“0.000000698”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各数：0.05005000500005…，，0.2，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 4. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E，F，G，H．作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q．作第3个正方形，依此方法一直继续下去，可以认为聚成了一点，将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C. 本次充电持续时间是120分钟 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 8. 如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是______． 10. 的平方根是____． 11. 某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________． 12. 已知，，则____________． 13. 在中，，D、E分别是边的中点，和相交于点O，如果点O到边的距离为2，，那么的长为______． 14. 如图，点D，点E，点F分别是的三边上的动点，若，，，则的最小值y与x的关系式为：____________________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： （1） （2） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，中，请你用尺规在边上找一点，使得． 18. 如图，AE⊥DB，CF⊥DB，垂足分别是点E，F，DE＝BF，AE＝CF，求证：∠A＝∠C． 19. 小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题： （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 （结果精确到0.1）； （2）若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在 附近（结果用分数表示）； （3）根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． 20. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 21. 阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 （1）______； （2）_______； （3）计算：． 22. 如图，在四边形中，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 23. 如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． (1)求∠PAQ的度数． (2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 24. 某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 （1）当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； （2）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 25. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度； （2）当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 26. 问题发现： （1）如图①，线段，点P为平面内任意一点，连接，则的最大值为______． （2）问题探究：如图②，和均为直角三角形，，，，点E在上，连接，点M、N分别为的中点，求的长度． （3）问题解决： 在（2）的条件下，兴趣小组为研究需要，将绕点B顺时针旋转一周，在这个过程中，连接，取的中点M，连接．请问是否能取得最大值？如果能，请求出最大值，并求出此时的面积．若不能，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 七年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为0.000000698米，将数据“0.000000698”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 在下列各数：0.05005000500005…，，0.2，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，先化简可化简的数，再根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个判断计数即可.初中常见无理数类型包括无限不循环特殊结构小数，含的数，开方开不尽的数． 【详解】解： 是无限不循环小数，是无理数； ，是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 开方开不尽，是无理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 综上，无理数共有个． 3. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 4. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：依题意，水面与容器底面平行， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 5. 如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E，F，G，H．作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q．作第3个正方形，依此方法一直继续下去，可以认为聚成了一点，将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，，面积相等，，，，面积相等，依此方法一直继续下去，可知阴影区域的面积占正方形面积的，据此可得出答案． 【详解】解：是正方形， ， 取正方形各边的四等分点E，F，G，H．作第2个正方形， ，， ， 同理得：， 依此方法一直继续下去，可知阴影区域的面积占正方形面积的， 将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是：， 故选：C． 【点睛】本题考查几何概率，理解几何概率的意义，并正确计算是解题的关键． 6. 如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 7. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C. 本次充电持续时间是120分钟 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由函数图像读取信息，仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可 【详解】解：A、由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意； B、由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； C、由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意； D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意， 故选：D 8. 如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，过作于点，作于点，由折叠性质可知，，，，由角平分线的性质得出，再由勾股定理得，设，点到得距离为，则，再通过等面积法得出，，然后由列出解方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，作于点， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 设，点到得距离为，则， ∴，， ∴，，即，， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是______． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】利用同位角相等，两直线平行画一条直线与原直线平行． 【详解】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行． 故答案为同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 10. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 11. 某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，证明即可解答． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 故答案为12． 12. 已知，，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 在中，，D、E分别是边的中点，和相交于点O，如果点O到边的距离为2，，那么的长为______． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义确定点为的重心，利用等腰三角形三线合一的性质及重心的性质求出边上的高，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点， 、分别是边、的中点， 、是的中线， 点是的重心， ∴是的中线， ， ，， 点到边的距离为， ， 点是的重心， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得． 14. 如图，点D，点E，点F分别是的三边上的动点，若，，，则的最小值y与x的关系式为：____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形．根据点D，点E，点F分别是的三边上的动点，求的最小值y与x的关系式，可得点D、E、F有两点重合在的某个顶点处．作于点M，比较、、后，最短，它的长度即为的最小值．根据面积的不同表示方法可得的长，即可求得的最小值y与x的关系式． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴． ∵点D，点E，点F分别是的三边上的动点，求的最小值y与x的关系式， ∴点D、E、F有两点重合在的某个顶点处． ①点D、F在点A处， ∵点A到的最小距离为， ∴点E在点B处． ∴． ②点D、E在点B处，作于点M． ∵点B到的最小距离为， ∴点F在点M处． ∴． ③点E、F在点C处， ∵点C到的最小距离为， ∴点D在点B处． ∴． ∵． ∴的最小值为． ∵． ∴． ∴的最小值y与x的关系式为：． 故答案为： 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算、化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】 当，时， 原式． 17. 如图，中，请你用尺规在边上找一点，使得． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的定义与性质，作的垂直平分线交于点，连接，即可求解． 【详解】解：如图所示，点即为所求， ∵， ∴， ∵． 18. 如图，AE⊥DB，CF⊥DB，垂足分别是点E，F，DE＝BF，AE＝CF，求证：∠A＝∠C． 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】欲证明∠A=∠C，只要证明△AEB≌△CFD即可． 【详解】证明∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠DFC=90°， ∵DE=BF， ∴DF=BE， 在△AEB和△CFD中， ， △AEB≌△CFD（SAS）， ∴∠A=∠C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法. 19. 小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题： （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 （结果精确到0.1）； （2）若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在 附近（结果用分数表示）； （3）根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） （2） （3）阴影部分的面积为平方米． 【解析】 【分析】（）根据提供的和的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （）大量试验时，频率可估计概率； （）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【小问1详解】 解：根据表格数据得，当投掷的次数很大时，的值越来越接近； 【小问2详解】 解：观察表格得：； 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右； 【小问3详解】 解：设封闭图形的面积为， 根据题意得， 解得， 则（平方米） 答：阴影部分的面积为平方米． 20. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 （1）______； （2）_______； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，在四边形中，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 23. 如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． (1)求∠PAQ的度数． (2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【答案】(1)∠PAQ＝20°；(2)PQ＝2． 【解析】 【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论； （2）根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP＝12，由等量代换得BC+2PQ＝12，可得PQ的长． 【详解】(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°， 即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； (2)∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12， 即CQ+BQ+2PQ＝12， BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和. 24. 某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 （1）当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； （2）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 【答案】（1） （2）某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW·h． 【解析】 【分析】（1）用电量分为两部分计费：前170千瓦时按单价0.5元计算，超出170千瓦时的部分按单价0.6元计算，总电费为两部分电费相加； （2）先算出各档位电费区间，判断127元落在第几档，再代入对应解析式解方程． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，． 【小问2详解】 解：， ， 设用电量为xkW·h， 由题意得， ， 解得， 则该户12月的用电量为240kW·h． 25. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度； （2）当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设秋千的长度为，在中，由勾股定理建立方程进行求解即可； （2）在中，由勾股定理得到的长，进而求出的长，即可. 【小问1详解】 解：由题意知，，， ，，， ， ， ， ， ， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即秋千的长度是； 【小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即此时踏板离地的垂直高度为． 26. 问题发现： （1）如图①，线段，点P为平面内任意一点，连接，则的最大值为______． （2）问题探究：如图②，和均为直角三角形，，，，点E在上，连接，点M、N分别为的中点，求的长度． （3）问题解决： 在（2）的条件下，兴趣小组为研究需要，将绕点B顺时针旋转一周，在这个过程中，连接，取的中点M，连接．请问是否能取得最大值？如果能，请求出最大值，并求出此时的面积．若不能，请说明理由 【答案】（1）5 （2） （3）能，最大值为，此时的面积为 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系，即可得出结果； （2）连接并延长使，连接，证明，，推出为等腰直角三角形，得到，勾股定理求出的长即可； （3）如图所示，连接并延长使，连接，证明为等腰直角三角形，得到，得到，进而得到当M在延长线上时，最大，最大值为，再利用勾股定理求得，即可求得面积． 【小问1详解】 解：∵， ∵， ∴的最大值为5； 【小问2详解】 解：如图所示，连接并延长使，连接，， M是中点， ， 在和中， ， ，， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， 即； 为等腰直角三角形， M为中点， ，， 为等腰直角三角形， 同理为等腰直角三角形， N为中点， ， 在中 ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接并延长使，连接，， M是中点， ， 在和中， ， ，， ， 在五边形中，， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ∴ ，， ， ， ， 即， 为等腰直角三角形， M为中点， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ∴当M在延长线上时，最大，此时，即最大值为，如图， 在中，， 在中，， ， ， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $