8 指数运算与指数函数-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(北师大版)

高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（八） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 指数函数的概念 易 0.80 与指数函数有关的 2 选择题 易 0.72 定义域 由指数函数的单调 3 选择题 5 中 0.65 性比较大小 指数函数图象的 4 选择题 5 中 0.55 识别 由指数型分段函数 5 选择题 5 中 0.45 单调性求参 与指数函数有关的 6 选择题 5 中 0.30 实际应用题 根式与分数指数幂 选择题 6 / 易 0.80 的互化 指数函数与分式函 8 选择题 中 0.35 数的综合应用 与指数运算有关的 9 填空题 5 易 0.75 条件求值 指数函数的新定 10 填空题 5 中 0.35 义题 解答题 13 指数的运算 中 0.60 指数函数与绝对值 12 解答题 15 中 0.45 函数的综合 指数函数与基本不 13 解答题 20 难 0.25 等式的综合 昏考答案及解析 一、选择题 1.C【解析】当m=1时，f(x)=6是指数函数：若 2D【解折】函数了)=写的定义线满足 f(x)=(6m)是底数为6m的指数函数，则6m>0, :一3≠0，解得≥2且x≠3，则函数的定义域为 2x-4≥0 且6m≠1，解得m≠0，故“m=1”是“∫(x)=6m为指 数函数”的充分不必要条件.故选C [2,3)U(3,十∞).故选D. ·29· ·数学（北师大版）必修第一册· 参考答案及解析 3.A【解析】因为y=1.9在定义域R内单调递增，则 m,可得f1)二f02=二m-一3-m2=2,又 1.92<1.9,即a<b:又因为y=x3在定义域R内 1-0 1-0 单调递增，则1.93<23=8，即b<c,综上所述，a<b< 因为函数y=32一3+1-m在[0,1]上存在均值 .故选A 点，即方程3-3+1-m=2在[0,1]上有解，设t 4.C【解析】对于A和B,指数函数f(x)=a过定点 =3r∈[1,3]，则有-3t-m=2在[1,3]上有解， (0,1),且单调递增，则a>1,所以幂函数g(x)=x 即m=t2-3t-2,因此函数y=m与y=t-3t-2 递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合：对 (t∈[1,3])的图象有交点，而二次函数y=t-3t 于C和D,指数函数f(x)=a过定点(0,1)，且单 调递减，则0<a<1,所以幂函数g(x)=x“递增，且 -2(1[1.3])的对称轴为多，其在[1,3]上 增加的越来越慢，故C符合，D不符合.故选C. 的值玻为[-子。一2]，所以可得实数m的取值范 5.B【解析】由题意，对任意x1≠x2,都有 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则函数 围是[一 -2 02a-11 f(x)在R上单调递减，所以 4a-3∠0 四、解答题 2 ·解得号 11.解：(1)原式=(2)京-1十π-3 、1≥3a-1 =2十x-4=-子 (4分) <a<号，即实数。的取值范用是（分，号]故选B (2)8子+（号）'-(3-x)+(3×2) 6.C【解析】由题意可得11=e2e十b,83=eou+b,两 式相减可得eoa一e20a一72=0，所以 =(2)号+(31)-2-1+(33)6×(27) (e20a-9)(e20a十8)=0，所以e2e=9或e20u=-8(舍 =22+32-1十32×23 去)，即e=3,所以b=2,所以该催化剂在50℃的 =4十9-1十9×8 活性指标为e5十2=35十2=245.故选C. =84. (8分) 二、选择题 7.ACD【解标】对于A,因为√aE=(a)片=a, 3)(0.064)-(-)°+(8)广+1-0.1山 故A正确：对于B,因为x=1=1 子行故B错 =[c0.4)]-1+[(号)]片+1-0.1 误，对C--医故心正确对于 6d-1+号+0.1=器 1 (13分) 12.解：(1)因为y=2-2的图象是由y=2的图象向 D,因为[-x)严]片=()异=(x导)导=xx子 下平移两个单位而得， x立(x>0),故D正确.故选ACD, 而f(x)=|2r一2|的图象是由y=2一2的图象保 &.AD【解析】对于A)多号1一由 2 留x轴上方的图象， 再将x轴下方的图象沿着x轴向上翻折而得， 1<专得-号<1-2品<合即号< 所以∫(x)=|2-2|的大致图象如图， 2<号得多<2+1<3，解得-1<<1，即原 不等式的解集为(-1,1)，故A正确：对于B,f(-x) 2 2x+1 =1一2中有=1一2”+≠f(x),故B错误：对于C, 1)=1-号=号<号=1-号=2).所以/ -2-10 2 3 在R上单调递减不成立，故C错误；对于D,由0< 2 2 2千下2知-1<1一2有<1，即函数f()的值域 -2 为（一1,1），故D正确.故选AD 三、填空题 所以f(x)的单调递减区间为（一∞，1），单调递增 9.14194【解析】a十a1=(a7十a)2-2a元· 区间为「1，十o),值域为「0，十o). (7分) a立=14，a2十a2=(a十a1)2-2a·a1=196-2 (2)因为函数g(x)=f(x)十a-2的图象与x轴有 =194. 两个不同的交点， 1o[￥-2] 所以f(x)十a一2=0有两个不相等的解， 【解析】根据题意由y=324一3r+1 即f(x)与y=2一a的图象有两个交点， ·30· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 所以函数f(x)的单调递增区间为[0，十∞). y=f(x) (5分) (2)若a=2,则f(x)=22-x+2r, 因为f(x)<f(x+1), 即22x十2<21-x十2+1， (7分) y=2-a 整理可得22>2，则2x>1, 解得心子， (9分) 结合图象可知，0<2-a<2, 所以不等式f(x)<f(x+1)的解集为（分，十∞）： 解得0<a<2, (10分) 即实数a的取值范围为(0,2). (15分) 13.解：(1)若a=0,则f(x)=2x+2的定义域为R, (3)因为f(号-x)≥4+4+11， 且f(-x)=2十2x=f(x),可知f(x)为偶函 即2+号十2号≥4十4x+11, (12分) 数， (1分) 令t=2+2,由(1)可知t=2十2≥2， 设x1,x2∈[0，十o∞)，且x1<x2, 则2+号十2登x=2号·t,4十4-x=-2,(14分) 则f(x1)-f(x2)=(21十251)-(22十+22) =C21-2)(21+2-1) 251+2 (2分) 可得行·企f+9,即举≥1十号， 因为0≤x1<x2, 原题意等价于2学≥1十号在[2，十©)内有解， 则1≤21<22,211+2>1>0， 则21-22<0,21+2-1>0， 则2≥(+号） (17分) 可得f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 又因为号V,-6，当且仅当1=，即 所以函数(x)在[0，十o)内单调递增，(4分) =3时等号成立， 结合偶函数对称性可知函数f(x)在（一∞，0]内 所以2兰≥6，得证. 单调递减， ·31高一同步周测卷/数学必修第一册 (八)指数运算与指数函数 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的》 1.“m=1”是“f(x)=6r为指数函数”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数fx)=②的定义域为 x-3 A.(-∞，2] B.(-∞，3)U(3,十∞) C.[2,+∞) D.「2,3)U(3,+o∞) 3.已知a=1.92.8,b=1.93,c=8,则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 4.在同一直角坐标系中，函数f(x)=a(a>0且a≠1)，g(x)=x(x≥0)的部分图象可 能是 A B 5.已知函数f()={x十（4a-3x+3a-1,x≥0 f(2a-1)r,x<0 满足对任意x1≠x2,都有 (x1一x2)[f(x1)一f(x2)]<0成立，则实数a的取值范围是 A.(合 (哈号别 c[号别 D(合] 数学（北师大版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.某催化剂的活性指标K(单位：kgPP/gCat)与反应温度t(单位：℃)满足函数关系：K =e十b(其中a,b为常数，e=2.71828…是一个和π类似的无理数).若在20℃时的 活性指标为11kgPP/gCat,在40℃时的活性指标为83kgPP/gCat,则该催化剂在 50℃的活性指标为 A.125 kgPP/gCat B.225 kgPP/gCat C.245 kgPP/gCat D.250 kgPP/gCat 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列根式与分数指数幂的互化正确的是 A.√aa=a(a>0) B.x+=-x(x>0) C.xy= (x>0,y>0) D.[3(-x)]F=x(x>0) 8.已知函数f(x)= 品则 A.不等式f(x)川<3的解集是(-1,1) B.Hx∈R,都有f(-x)=f(x) C.f(x)是R上的单调递减函数 D.f(x)的值域为(-1,1) 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知a十a立=4，则a十a1的值为 ,a2十a2的值为 .(本题第一空 2分，第二空3分) 10.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上存在∈[a,b]满足f(x)=fb)二f@,则称 b-a xo为函数y=f(x)在区间[a,b]上的一个“均值点”.已知函数y=32x一3x+1一m在 [0,1]上存在“均值点”，则实数m的取值范围是 高一同步周测卷八 数学（北师大版）必修第一册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满份13分) 化简下列各式： (1)8寺-(-π)0+√(3-π)； (2)8+(传)-(3-x)°+(3×2*)； 3)0.064)+-()°+(0)广+1-0.1. 12.(本小题满分15分)》 已知函数f(x)=2-2. 外 4 3 2 -32-10 23x -2 (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出f(x)的大致图象，并写出f(x)的单调区 间及值域； (2)若函数g(x)=f(x)十a一2的图象与x轴有两个不同的交点，求实数a的取值 范围. 数学（北师大版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 设常数a∈R,已知f(x)=2a-x十2x. (1)当a=0时，求函数f(x)的单调递增区间： (2)当a=2时，求不等式f(x)<f(x+1)的解集； (3)若存在x∈R,使f%-x≥4+4+11成立，求证：2≥6. 一同步周测卷八 数学（北师大版）必修第一册第4页（共4页）】