精品解析：2026重庆市鲁能巴蜀中学校4月4日人教版小升初自主招生数学试题

【2026.4.4】鲁巴数学 一、填空题（每题3分，共45分） 1. 一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形是（ ）三角形，最小的角的度数是（ ）。 【答案】 ①. 直角 ②. 30° 【解析】 【分析】已知三角形的内角和是180°，三个内角的度数的比是，用内角和除以总份数份，求出一份数；然后分别用一份数乘对应的份数，分别求出3个角的度数；最后根据三角形的分类，确定这个三角形的类型。 【详解】 因为有一个角是， 所以这个三角形是直角三角形，最小的角的度数是。 2. 钟面上的指针在7点（ ）分时，时针与分针的夹角为90°。 【答案】或 【解析】 【分析】分针每分钟转动的角度是6°，时针每分钟转动的角度是0.5°，即分针每分钟比时针每分钟多转动5.5°； 7时整，分针和时针的大夹角是210°，要使时针与分针的夹角为90°，有两种情况：情况一，当时针在分针前面时，分针比时针多走（210－90）°；情况二，当时针在分针的后面时，分针比时针多走（210＋90）°；根据追及问题的解题方法，用分针多走的总角度除以分针每分钟多走的角度，即是追及的时间。 【详解】分针每分钟转动：360°÷60＝6° 时针每分钟转动：360°÷12÷60＝0.5° 7时整，分针和时针的大夹角是：30°×7＝210° 情况一：时针在分针前面； （210－90）÷（6－0.5） ＝120÷ ＝120× ＝（分） 情况二：时针在分针的后面； （210＋90）÷（6－0.5） ＝300÷ ＝300× ＝（分） 钟面上的指针在7点分或分时，时针与分针的夹角为90°。 【点睛】本题考查钟面追及问题，根据“路程差÷速度差＝追及时间”求解。 3. 有浓度为60%的溶液若干，加了一定质量的水后，稀释成浓度为48%的溶液，如果再加入同样多的水，浓度是（ ）%。 【答案】40 【解析】 【分析】假设原来的溶液是100克，用乘法算出溶液里的溶质的质量；用溶质的质量除以48%算出第一次加水后的溶液质量，再减去100算出第一次加的水的质量；再加上同样多的水，算出新的溶液质量；用溶质的质量除以新的溶液质量再乘100%即可算出浓度。 【详解】假设原来的溶液是100克。 100×60%＝60（克） 60÷48%＝60÷0.48＝125（克） 125－100＝25（克） 25×2＝50（克） 60÷（100＋50）×100% ＝60÷150×100% ＝0.4×100% ＝40% 4. 甲乙两个圆的直径之比是2∶1，甲乙两个圆的周长之比是（ ），乙圆的面积比甲圆的面积少（ ）%。 【答案】 ①. 2∶1 ②. 75 【解析】 【分析】根据直径与半径的关系，r＝，圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，大小圆半径的比等于直径的比，大小圆周长的比等于直径的比，大小圆面积的比等于半径平方的比。据此解答即可。 【详解】甲乙两个圆的直径之比是2∶1，甲乙两个圆的周长之比是2∶1； 面积的比等于半径平方的比，因此面积比是： （2÷2）2∶（1÷2）2 ＝1∶ ＝4∶1 乙圆的面积比甲圆的面积少： （4－1）÷4×100% ＝0.75×100% ＝75% 甲乙两个圆的直径之比是2∶1，甲乙两个圆的周长之比是4∶1，乙圆的面积比甲圆的面积少75%。 【点睛】此题主要考查考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是明确：大小圆半径的比等于直径的比，大小圆周长的比等于直径的比，大小圆面积的比等于半径平方的比。 5. 一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长768米的大桥时，速度比通过隧道时增加了2倍，结果用了36秒，则火车车身的长度是（ ）米。 【答案】96 【解析】 【分析】火车通过大桥时速度比通过隧道时增加了2倍，即通过大桥的速度是通过隧道速度的3倍，如果火车通过大桥时速度没有增加，则需要的时间就为（36×3）秒；据此用两次行驶的路程差除以时间差，可求出火车原来的速度；再根据路程＝速度×时间，求出火车52秒行驶的路程，最后根据火车通过隧道行驶的路程是隧道长与火车车身长度之和，用行驶的路程减去隧道长度，求出火车车身的长度。 【详解】36×（1＋2） ＝36×3 ＝108（秒） （768－320）÷（108－52） ＝448÷56 ＝8 （米/秒） 52×8＝416（米） 416－320＝96（米） 6. 有n个自然数相加1＋2＋…＋n＝aaa，那么a＝（ ）。 【答案】6 【解析】 【分析】aaa＝111×a＝3×37×a；根据求和公式1＋2＋…＋n＝n×（n＋1）÷2，那么n×（n＋1）÷2＝3×37×a，两边乘2得n×（n＋1）＝2×3×37×a。n和n＋1是相邻的两个自然数，它们是互质数，所以其中一个数必须有因数37。据此判断n和n＋1的值，再求出a的值。 【详解】因为aaa＝111×a＝3×37×a，1＋2＋…＋n＝n×（n＋1）÷2。 那么n×（n＋1）÷2＝3×37×a， 两边乘2得n×（n＋1）＝2×3×37×a。 当n＝37时，n＋1＝38，和是37×38÷2＝703，不是aaa的形式。 当n＋1＝37时，n＝36，和是36×37÷2＝666，符合题意。所以a＝6。 7. 育实小学五年级同学参加登山活动，从山脚到山顶全程共有21千米，同学们上山时用了4小时，下山时用了3.5小时，上山、下山全程的平均速度是（ ）千米/时。 【答案】5.6 【解析】 【分析】总路程是山脚到山顶路程的2倍，总时间是上山用时和下山用时的和，用总路程除以总时间，即可求出上山、下山全程的平均速度。 【详解】（21×2）÷（4＋3.5） ＝42÷7.5 ＝5.6（千米/时） 8. 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟，有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。则他从乙站到甲站用了（ ）分钟。 【答案】40 【解析】 【分析】因为电车每隔5分钟发出一辆，15分钟走完全程．骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发，骑车人从乙站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第4辆到第12辆．电车共发出9辆，共有8个间隔，间隔数×每个间隔的时长＝总时长。 【详解】（辆） （分钟） 所以他从乙站到甲站用了40分钟。 9. 如图，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别为12平方厘米，8平方厘米，20平方厘米，则另一个（阴影部分）长方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】30 【解析】 【分析】同一行或同一列的两个小长方形，若共用一条边，则面积比等于另一条边的长度比。 观察已知面积的位置，因为面积为8和12的两个长方形共用纵向的边，所以它们的横向边长之比等于面积之比。 因为面积为20和阴影部分的两个长方形同样共用该纵向边，所以它们的横向边长之比也等于上述面积比，再根据份数求解阴影部分的面积。 【详解】第一行两个长方形面积比为，说明左右两部分的长度比为，这个长度比对第二行也成立，即第二行面积比也为，所以阴影部分面积为： （平方厘米） 10. 甲、乙、丙、丁四人到书店买书，已知甲带的钱数是乙的，乙带的钱数是丙的，丁比甲多带3元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人30多元，则乙带了（ ）元。 【答案】45 【解析】 【分析】根据题目给出的钱数比例关系，算出甲、乙、丙三人钱数的连比，结合丁的钱数，解设四人钱数的关联表达式。 根据“平均每人30多元”计算出四人总钱数的取值范围，代入四人钱数总和的表达式，得到关于未知数的不等式，结合整数约束求解。 【详解】甲是乙的， 乙是丙的， 乙在两个比里分别是5份、3份，5和3最小公倍数是15，统一乙为15份。 所以， 设每份钱为元，则甲、乙、丙、丁的钱数分别为： 四人总钱数为，化简得 平均每人三十多元，4个人总钱范围： 至之间，即，所以 ，太小； ，太小； ，，，符合； ，，超出上限，不行。 所以每份（元） 乙是15份：（元） 【点睛】本题考查比的有关知识，先化连比统一中间量，用份数搭建四人钱数的数量桥梁。结合平均数锁定取值范围，再用枚举法求出唯一符合条件的答案。 11. 某公司彩电按原价格销售。每台获利润60元；现在降价销售，结果彩电销量增加了一倍，获得的总利润增加了0.5倍，每台彩电降价（ ）元。 【答案】15 【解析】 【分析】彩电销量增加1倍，即彩电销量是原来的2倍，总利润增加0.5倍，即总利润是原来的1.5倍。用特殊值法，假设原来的销量为1台，原来的总利润为：60×1＝60元，根据降价后的销量和利润的增加倍数求出降价后的销量和利润，降价后的总利润÷数量＝每台利润，因为成本不变，所以每台原来的利润减现在的利润就是每台降价的钱数。 【详解】假设原来销量为1台，则总利润为60×1＝60（元） 现在销量：1×（1＋1）＝1×2＝2（台） 现在总利润：60×（1＋0.5）＝60×1.5＝90（元） 现在每台利润：90÷2＝45（元） 降价：60－45＝15（元） 12. 一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地，原路返回需要11小时才能到达甲地，已知水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度为（ ）千米/时。 【答案】20 【解析】 【分析】轮船在顺流而行时，轮船速度等于在静水中的速度与水流速度之和；在逆流而行时，轮船速度等于在静水中的速度与水流速度之差；设轮船在静水中的速度为千米/时。根据路程不变列方程解决。 【详解】解：设轮船在静水中的速度为千米/时。 轮船在静水中的速度为20千米/时。 13. 如下图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 【答案】7.125 【解析】 【分析】由图可知，①②③可以组成一个直径是5厘米的半圆，先求出半径，圆的面积，代入数值计算求出①②③的面积； ①②④可以组成腰长为5厘米的等腰直角三角形，三角形面积＝底×高÷2，代入数值计算求出①②④的面积； ②④可以组成一个圆心角是45°，半径为5厘米的扇形，面积是等大圆的（），先求出等大圆的面积，再除以8求出②④的面积； 用①②④的面积减去②④的面积求出①的面积，最后用①②③的面积减去①的面积求出②③的面积即为阴影部分的面积。 【详解】①②③的面积： 3.14×（5÷2）2÷2 ＝3.14×2.52÷2 ＝3.14×6.25÷2 ＝19.625÷2 ＝9.8125（平方厘米） ①②④的面积： 5×5÷2 ＝25÷2 ＝12.5（平方厘米） ②④的面积： 3.14×52÷8 ＝3.14×25÷8 ＝78.5÷8 ＝9.8125（平方厘米） 阴影部分的面积： 9.8125－（12.5－9.8125） ＝9.8125－2.6875 ＝7.125（平方厘米） 14. 小明今年13岁，如果将小明的岁数作为分子，当年的公元纪元年号作为分母写成分数，例如：2005年小明13岁，写成分数。则小明从1岁到60岁可以写出60个这样的分数，其中最简分数有（ ）个。 【答案】20 【解析】 【分析】2005年小明13岁，小明出生的年份是2005减13也就是1992年，所以年号等于年龄加1992，所以当小明n岁时，写出的分数就是，最简分数是分子分母不能再进行约分，如果n和1992有公因数，那这个公因数也会是分母n＋1992的公因数，所以将1992分解质因数是2、3、83，n最大是60，只要n不被2、3整除即可。 【详解】小明n岁时，写出的分数就是，n可以取1到60 能被2整除的数有：60÷2＝30（个） 能被3整除的数有：60÷3＝20（个） 同时被2和3整除（即被6整除）的数有：60÷6＝10（个） 所以能被2或3整除的数有：30＋20－10＝40（个） 不能被2或3整除的数有：60－40＝20（个） 所以小明从1岁到60岁可以写出60个这样的分数，其中最简分数有20个。 15. 方程4x＋5y＝98的所有正整数解中x＋y最大等于（ ）。 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意，4x＋5y的和是偶数，其中4x是偶数，所以5y也是偶数，所以y的值是偶数。 y可以从2开始，找出符合题意的值。再找出x＋y的最大值。 【详解】把4x＋5y＝98改写成x＝（98－5y）÷4。 根据题意，y是大于0的偶数。 当y＝2时，x＝（98－5×2）÷4＝（98－10）÷4＝88÷4＝22，这时x＋y＝22＋2＝24。 当y＝4时，x＝（98－5×4）÷4＝（98－20）÷4＝78÷4＝19.5，不符合题意。 当y＝6时，x＝（98－5×6）÷4＝（98－30）÷4＝68÷4＝17，这时x＋y＝17＋6＝23。 当y＝8时，x＝（98－5×8）÷4＝（98－40）÷4＝58÷4＝14.5，不符合题意。 综上，y越大时，x＋y的值越小。 因为24＞23， 所以，x＋y最大等于24。 二、计算（每题4分，共20分） 16. 计算。 【答案】10.2 【解析】 【分析】先计算最内层小括号里的加法，然后算中括号内的乘法，再计算中括号的减法，中括号结果得出后，先算除法，最后计算减法。 【详解】 17. 计算。 【答案】205 【解析】 【分析】将带分数拆分为两部分：整数部分和分数部分。即将拆分为，拆分为，拆分为，……，然后运用乘法分配律展开进行简算。 【详解】 ＝（70＋）×＋（60＋）×＋（50＋）×＋（40＋）×＋（30＋）× ＝70×＋＋60×＋＋50×＋＋40×＋＋30×＋ ＝60＋1＋50＋1＋40＋1＋30＋1＋20＋1 ＝（60＋50＋40＋30＋20）＋（1＋1＋1＋1＋1） ＝200＋5 ＝205 18. 计算。 【答案】 【解析】 【分析】将每个带分数拆分为整数部分加分数部分，转化为所有整数部分分为一组，所有分数部分分为一组；整数部分利用首位相加乘组数求和；将每个分数拆分为两个分数的差，将中间项相互抵消，写成1－的形式，简化运算；最后将整数部分的和与分数部分的和相加。 【详解】 ＝（1＋2＋3＋…＋20）＋（ ＋＋＋…＋） ＝（1＋20）×（20÷2）＋[（1－）＋ ＋…＋] ＝21×10＋[1－＋ ＋…＋ ] ＝210＋[1－] ＝210＋ ＝ 19. 计算。 【答案】 【解析】 【分析】先观察分子中后两项与第一项的关系，判断各项是否可表示为第一项乘某个数的三次方，提取分子的公因式。用同样的方法观察分母中后两项与第一项的关系，提取分母的公因式。因为分子和分母会出现相同的公因式，所以再约分计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 20. 解方程。 【答案】＝﹣21 【解析】 【分析】先找到两个分母的最小公倍数，各项分别乘最小公倍数，等式两边同时减，再加6即可。 【详解】 解： 三、解答题（共35分） 21. 如图，正方形ABCD边长为6厘米，E在CD边上，并且DE＝2EC，F是BC中点，AE交DF于点O，求阴影部分三角形AOD的面积。 【答案】9平方厘米 【解析】 【分析】先根据正方形边长和线段比例关系，计算DE、FC的长度，连接辅助线AF、EF，算出三角形ADE、三角形ADF、三角形DEF的面积。结合和等高关系，得出面积比与边长比的关系，再结合和等高关系，得出对于的面积比与边长比的关系。再根据图形算出三角形AEF的面积，最终得出和面积相等，即得出OD等于OF，所以三角形的面积相等三角形ADF面积的一半，以此求解。 【详解】正方形ABCD边长为6厘米，根据条件：，且，按比例分配得：， F是BC中点，所以 连接辅助线，直角三角形：直角边，，面积为： 阴影和同高（共顶点D，底边在AE上），因此面积比等于底之比：。 三角形：以AD为底，高等于正方形边长，面积为： 即，和同高（共顶点A，底边在DF上），因此面积比等于底之比：① ：以DE为底，高等于FC长度（F到CD边的水平距离就是FC），面积为： 即。 同理和同高，面积比等于底之比：② 由①②可得： ​，代入刚才算的总面积：平方厘米， 因此，也就是。 中，，和面积相等，所以平方厘米 最终阴影部分的面积为平方厘米。 【点睛】本题主要考查等高三角形面积比与边长比的关系，通过几组比得出阴影部分三角形与已知面积三角形面积之间的关系进而求出阴影部分三角形的面积。 22. 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 【答案】小时 【解析】 【分析】将一池水看作单位“1”，每小时工作效率：甲进水管：，丙进水管：，乙排水管：，丁排水管：；初始池内已有​的水，若某次开甲管时水灌满溢出，就不需要开后续的乙、丙、丁了。开若干完整周期后，剩余容量只要不超过甲1小时的进水量，甲开不到1小时水就会溢出。假设完整周期后甲开1小时后正好水满溢出，则最后1次甲进入的水最多占水池的，则前几个完整周期进水总量最少为1－－，进水总量÷一个周期内的进水量＝所需周期数，因为是最少的情况，所以用进一法保留整数，1－－一个周期内的进水量×完整周期数＝最后甲的进水量，最后甲的进水量÷甲的效率＝最后一次甲需要的时间，完整周期数×4＋最后一次甲需要的时间＝总时长。 【详解】－＋－＝ 完整周期数： （1－－ ＝（个）≈5（个） 1－－×5＝ ÷＝（小时） 5×4＋＝（小时） 答：小时后水开始溢出水池。 23. 有一牧场，草均匀生长，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完。现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃2天便将草吃完，那么原来有多少头牛吃草？ 【答案】40头 【解析】 【分析】设定单位量，设每头牛每天的吃草量为1份。17头牛30天的总吃草量：（份），19头牛24天的总吃草量：（份），两种情况的草量差是（天）里新长出来的草，草量差：（份），每天新长草量：（份），用总吃草量减去对应天数新长的草量＝原有草量（份），然后根据吃草过程列方程求解原有牛数，设原来有头牛，前6天，有头牛一共吃了份草，后2天，卖掉4头牛，剩下头牛，一共吃了份草，整个过程一共8天，牧场新长的草总量是（份），总吃草量＝原有草量＋8天新长草量，因此列方程：，求出未知数即可。 【详解】每头牛每天的吃草量为1份， 每日长草： （份） 原有草量： （份） 解：设原来有x头牛。 答：原来有40头牛吃草。 24. 浓度为20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到100克18.8%的盐水，如果18%的盐水比16%的盐水多30克，每种盐水各多少克？ 【答案】16%的盐水10克，18%的盐水40克，20%的盐水50克。 【解析】 【分析】依据浓度的比值关系，混合盐水中盐的总质量与盐水总质量的比等于混合后的浓度，设16%盐水为x克，18%盐水为（x＋30）克，20%盐水为[100−x−（x＋30）]克，根据盐的总量比盐水总量等于18.8∶100列出比例方程求解。 【详解】解：设浓度16%的盐水有x克，则浓度18%的盐水有（x＋30）克， 浓度20%的盐水有：100−x−（x＋30） ＝100−x−x−30 ＝（70−2x）克 [16%x＋18%（x＋30）＋20%（70−2x）] ∶100＝18.8：100 100×（0.16x＋0.18x＋5.4＋14−0.4x）＝100×18.8 0.16x＋0.18x＋5.4＋14−0.4x＝100×18.8÷100 0.16x＋0.18x＋5.4＋14−0.4x＝18.8 （0.16x＋0.18x−0.4x）＋（5.4＋14）＝18.8 19.4－0.06x＝18.8 0.06x＋18.8＝19.4 0.06x＝19.4－18.8 0.06x＝0.6 x＝0.6÷0.06 x＝10 10＋30＝40（克） 100−10−40＝50（克） 答：16%的盐水有10克，18%的盐水有40克，20%的盐水有50克。 【点睛】本题关键是抓住混合前后盐总质量不变列方程求解；先设 16% 盐水质量为未知数，表示出另外两种盐水质量，再根据盐的总量比盐水总量等于18.8∶100列出比例方程求解。 25. 甲、乙两车分别从A 、B两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米/时，乙车速度为48千米/时，它们到达B地和A地后，甲车速度提高，乙车速度减少，它们第一次相遇地点与第二次相遇地点相距74千米，那么A、B之间的距离是多少千米？ 【答案】240千米 【解析】 【分析】相同时间内，甲乙两车的速度比就是它们行驶的路程比，即32∶48＝2∶3。假设A、B两地全程是24份，根据它们的路程比算出第一次相遇时距离A地的份数；当乙车到达A地时，相当于行驶了24份，甲车只行驶了24份的，即16份，剩下的（24－16）份需要的时间是8÷32＝0.25，在这0.25里，乙车已经变速行驶了0.25×40＝10份。变速后，甲车的速度是32×（1＋）＝40（千米/时），乙车的速度是48×（1－）＝40（千米/时），说明甲车从B地返回到与乙车相遇时，与乙车行驶的路程相等；算出第二次相遇时距离A地的份数，用74除以份数的差再乘24即可算出总路程。 【详解】假设A、B两地全程是24份。 32∶48＝（32÷16）∶（48÷16）＝2∶3 第一次相遇距离A地：24×＝24×＝9.6（份） 24÷3×2＝16（份） （24－16）÷32 ＝8÷32 ＝0.25 甲变速后的速度：32×（1＋） ＝32× ＝40（千米/时） 乙变速后的速度：48×（1－） ＝48× ＝40（千米/时） 0.25×40＝10（份） （24－10）÷2 ＝14÷2 ＝7（份） 第二次相遇距离A地：10＋7＝17（份） 74÷（17－9.6）×24 ＝74÷7.4×24 ＝10×24 ＝240（千米） 答：A、B之间的距离是240千米。 26. 若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”。 （1）求证：对任意“好数”m，m2－64一定为20的倍数。 （2）若m＝p2－q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H，例如68＝182－162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值。 【答案】（1）设“好数”m＝10a＋8（1≤a≤9），则 m2－64 ＝（10a＋8）2－64 ＝（10a＋8）（10a＋8）－64 ＝10a×10a＋10a×8＋8×10a＋8×8－64 ＝100a2＋80a＋80a＋64－64 ＝100a2＋160a ＝20a×（5a＋8） 因为a是正整数，所以20a（5a＋8）是20的倍数，即m2－64一定为20的倍数。 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据“好数”的定义，把两位的好数表示成10a＋8（a是1到9的整数），再用乘法把（10a＋8）×（10a＋8）展开，算出m2的结果，接着减去64，最后把得到的式子整理成20×（5a2＋8a），因为a是整数，所以括号里的数也是整数，就能证明它是20的倍数啦。 （2）先找出小于50的所有好数：18、28、38、48。再逐个试算，找两个正整数p和q，让p×p－q×q等于这个好数。找到符合条件的数后，用q÷p求出H（m）的值，最后把所有求出的H（m）比较大小，即可找到最大值了。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 小于50的“好数”有：18，28，38，48。 因为m＝－＝（p＋q）（p－q）， 设s＝p＋q，t＝p－q（s＞t，且s，t同奇偶），则m＝s×t， 且p＝，q＝ 所以H（m）＝＝。 18：18＝1×18＝2×9＝3×6，无同奇偶的s，t，故无“友好数对”。 28：28＝1×28＝2×14（同偶）＝4×7 所以s＝14，t＝2 p＝＝8，q＝＝6，H（28）＝＝ 38：38＝1×38＝2×19，无同奇偶的s，t，故无“友好数对”。 48：48＝1×48＝2×24（同偶）＝3×16＝4×12（同偶）＝6×8（同偶） 当s＝24，t＝2时：p＝13，q＝11，H（48）＝ 当s＝12，t＝4时：p＝8，q＝4，H（48）＝ 当s＝8，t＝6时：p＝7，q＝1，H（48）＝ 比较所有H（m）：＞＞＞ 所以H（m）的最大值为。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2026.4.4】鲁巴数学 一、填空题（每题3分，共45分） 1. 一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形是（ ）三角形，最小的角的度数是（ ）。 2. 钟面上的指针在7点（ ）分时，时针与分针的夹角为90°。 3. 有浓度为60%的溶液若干，加了一定质量的水后，稀释成浓度为48%的溶液，如果再加入同样多的水，浓度是（ ）%。 4. 甲乙两个圆的直径之比是2∶1，甲乙两个圆的周长之比是（ ），乙圆的面积比甲圆的面积少（ ）%。 5. 一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长768米的大桥时，速度比通过隧道时增加了2倍，结果用了36秒，则火车车身的长度是（ ）米。 6. 有n个自然数相加1＋2＋…＋n＝aaa，那么a＝（ ）。 7. 育实小学五年级同学参加登山活动，从山脚到山顶全程共有21千米，同学们上山时用了4小时，下山时用了3.5小时，上山、下山全程的平均速度是（ ）千米/时。 8. 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟，有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。则他从乙站到甲站用了（ ）分钟。 9. 如图，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别为12平方厘米，8平方厘米，20平方厘米，则另一个（阴影部分）长方形的面积是（ ）平方厘米。 10. 甲、乙、丙、丁四人到书店买书，已知甲带的钱数是乙的，乙带的钱数是丙的，丁比甲多带3元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人30多元，则乙带了（ ）元。 11. 某公司彩电按原价格销售。每台获利润60元；现在降价销售，结果彩电销量增加了一倍，获得的总利润增加了0.5倍，每台彩电降价（ ）元。 12. 一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地，原路返回需要11小时才能到达甲地，已知水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度为（ ）千米/时。 13. 如下图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 14. 小明今年13岁，如果将小明的岁数作为分子，当年的公元纪元年号作为分母写成分数，例如：2005年小明13岁，写成分数。则小明从1岁到60岁可以写出60个这样的分数，其中最简分数有（ ）个。 15. 方程4x＋5y＝98的所有正整数解中x＋y最大等于（ ）。 二、计算（每题4分，共20分） 16. 计算。 17. 计算。 18. 计算。 19. 计算。 20. 解方程。 三、解答题（共35分） 21. 如图，正方形ABCD边长为6厘米，E在CD边上，并且DE＝2EC，F是BC中点，AE交DF于点O，求阴影部分三角形AOD的面积。 22. 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 23. 有一牧场，草均匀生长，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完。现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃2天便将草吃完，那么原来有多少头牛吃草？ 24. 浓度为20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到100克18.8%的盐水，如果18%的盐水比16%的盐水多30克，每种盐水各多少克？ 25. 甲、乙两车分别从A 、B两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米/时，乙车速度为48千米/时，它们到达B地和A地后，甲车速度提高，乙车速度减少，它们第一次相遇地点与第二次相遇地点相距74千米，那么A、B之间的距离是多少千米？ 26. 若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”。 （1）求证：对任意“好数”m，m2－64一定为20的倍数。 （2）若m＝p2－q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H，例如68＝182－162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $