1.5 等腰三角形 暑假预习作业 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形核心知识，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等腰三角形性质与判定、直角三角形性质|选择1-3直接考查底角计算、周长分类等基础概念，填空7-8强化三边关系应用| |能力提升|全等/相似推理、动态问题|填空13结合30°角分类讨论三角形存在性，选择6综合中线与垂直平分线性质| |综合应用|实际情境与动点问题|解答19以双翼闸门为背景融合30°角性质，20通过动点探究等边/直角三角形存在性，培养模型意识|

1.5 等腰三角形 暑假预习作业 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 一．选择题（共6小题） 1．一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　） A．40° B．70° C．100° D．100°或70° 2．已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长等于（　　） A．5 B．2或5 C．3.5 D．5或3.5 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 4．如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 5．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角∠BAC＝30°，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离BC长为（　　） A．12米 B．6米 C．3米 D．1.5米 6．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时， 二．填空题（共10小题） 7．已知等腰三角形的一边长等于11cm，一边长等于5cm，它的周长为　 　 ． 8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是　 　 ． 9．如图，等边△ABC的边长为2，点D在边AC上，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，若BD•BE＝8，则CD的长为　 　 10．如图，在△ABC中，AC＝6，以A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点D．若M、N分别是BD，AC的中点，则MN的长为　 　 ． 11．将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若AB＝12cm，则△ACF的面积为　 　 cm2． 12．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E，那么下列结论中：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE的周长等于AB+BC；④BF＝CF．其中正确的是　 　 （填写正确的序号） 13．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝6．若对于BC的每一个值，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定，则BC长的取值范围是　 　 ． 14．如图，一棵树在一次强台风中折断，已知折断处与地面的距离为2m，倒下部分与地面的夹角为30°，则这棵树在折断前的高度是 　 　 m（假设该树在折断前与地面垂直）． 15．如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝　 　 ． 16．如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝ 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 17．已知△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足． （1）若AB＝7，BC＝5，求△BCE的周长； （2）若BE平分∠ABC，求∠A的度数． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O． （1）△OBC是等腰三角形吗？为什么？ （2）连接AO，AO是BC的垂直平分线吗？为什么？ 19．图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，双翼的边缘AC＝BD＝50cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 20．如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，AB＝60cm，动点P、Q同时从 A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．【解答】解：∵等腰三角形的装饰品的顶角为40°， ∴等腰三角形的装饰品的底角为：（180°﹣40°）＝70°， 故选：B． 2．【解答】解：当腰为5时，三边为5，5，2能构成三角形； 当底为5时，腰为3.5，3.5，也能构成三角形． 所以这个等腰三角形的腰长为5或3.5． 故选：D． 3．【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， 所以，结论不一定正确的是AB＝2BD． 故选：B． 4．【解答】解：∵A，D，B对应的刻度分别为1，4，7， ∴AD＝4﹣1＝3（cm），BD＝7﹣4＝3（cm），AB＝7﹣1＝6（cm）， ∴AD＝BD， ∵∠ACB＝90°， ∴CDAB＝3（cm）． 故选：A． 5．【解答】解：由图可知，在Rt△ACB中， ∵∠BAC＝30°，AB＝6米， ∴米， 故选：C． 6．【解答】解：连接DE，如图1所示： ∵CE⊥AB，点D是AC的中点， ∴DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， 即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意； 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α， 即∠BDC＝3∠ABD，故选B正确，不符合题意； 当E为AB中点时，则， ∵CE⊥AB， ∴CE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∵，，BE＝CD， ∴AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意； 连接AO，并延长交BC于F，如图2所示： 当E为AB中点时， ∵点D为AC的中点， ∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点， ∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC， ∴∠OBC＝∠OAC＝30°， ∴OA＝OB， 在Rt△OBF中，OB＝2OF， ∴OA＝OB＝2OF， ∴AF＝OA+OF＝3OF， ∴，， ∵E为AB中点， ∴S△AECS△ABCBC•OF ∴， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 7．【解答】解：当等腰三角形的腰长为5cm时，则该等腰三角形的三边长分别为11cm，5cm，5cm， ∵5+5＜11， ∴此时不能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为11cm时，则该等腰三角形的三边长分别为11cm，11cm，5cm， ∵11﹣5＜11＜11+5， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为11+11+5＝27cm； 综上所述，该等腰三角形的周长为27cm， 故答案为：27cm． 8．【解答】解：过P作PD⊥OB于点D， 在Rt△OPD中， ∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°， ∴∠OPD＝30°， ∴， ∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2， ∴， ∴OM＝OD﹣MD＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 9．【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2， ∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠ACB＝60°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ADE＝∠CDB， ∴△ADE∽△CDB， ∴（相似三角形对应边成比例）， 设CD＝x，则AD＝AC﹣CD＝2﹣x， ∴， ∴， ∴， ∵BD•BE＝8， ∴， 即BD2＝4x， 过点 B作BH⊥AC于点H， ∵△ABC是等边三角形，AC＝2， ∴，， ∴DH＝|CH﹣CD|＝|1﹣x|， 在Rt△BHD中，BD2＝BH2+DH2＝3+（1﹣x）2， ∴4x＝3+（1﹣x）2， 解得， ∵0＜x＜2， ∴， 即CD的长为， 故答案为：3． 10．【解答】解：如图，连接AD、AM， 则AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， ∵M是BD的中点， ∴AM⊥BD， ∵N是AC的中点，AC＝6， ∴MNAC6＝3， 则MN的长为3， 故答案为：3． 11．【解答】解：∵将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，AB＝12cm， ∴∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴， ∵∠ACF＝90°，∠CAF＝45°， ∴∠CAF＝∠CFA＝45°， ∴CF＝AC＝6cm， ∴， 故答案为：18． 12．【解答】解：①∵∠B、∠C的平分线相交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF． ∵DE∥BC， ∴∠BFD＝∠CBF，∠CFE＝∠BCF， ∴∠DBF＝∠BFD，∠CFE＝∠ECF， ∴BD＝FD，CE＝EF． ∴△BDF，△CEF都是等腰三角形．故①正确； ②根据①得DE＝DF+EF＝DB+CE．故②正确； ③根据②得AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC．故③正确； ④AB和AC不一定相等，∴BF和CF不一定相等．故④错误． 故答案为：①②③． 13．【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC交直线AC于点D， ∴∠ADB＝90°， ∵∠A＝30°，AB＝6， ∴； ∴BC≥BD； 由垂线段最短可知，当BC＝3时，此时点C与点D重合，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定； 当BC≥6时，点C只能在线段AD的延长线上，此时对应的△ABC的形状、大小都不能唯一确定； 当3＜BC＜6时，此时点C在线段AD上和点C在线段AD的延长线上都符合题意，即此时对应的△ABC的形状、大小都不能唯一确定； 故答案为：BC＝3或BC≥6． 14．【解答】解：如图所示： 依题意得：AC⊥BC，且AC＝2m，∠ABC＝30°， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°， ∴ACAB， ∴AB＝2AC＝4m， ∴AB+AC＝2+6＝6（m）， ∴这棵树在折断前的高度是6m． 故答案为：6． 15．【解答】解：如图，延长CD交AB于E， ∵CD⊥AD， ∴∠ADE＝∠ADC＝90°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴∠AED＝∠ACD， ∴AE＝AC＝6， ∴DE＝CD， ∵AB＝10， ∴BE＝10﹣6＝4， ∵∠B＝∠BCD， ∴BE＝CE＝4， ∴CDCE＝2． 故答案为：2． 16．【解答】解：（1）当P位于MN左侧时，如图1， ∵△OMN是等边三角形， ∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°， ∵∠MNP＝∠AOB＝α， ∴∠PON＝∠PNO， ∴PO＝PN， △MPO≌△MPN，（SAS） ∴∠OMP＝∠NMP∠OMN60°＝30° （2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ， 此时△MPQ是等边三角形， ∴∠MPQ＝60°， ∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α， 故答案为：30°或120°﹣α． 三．解答题（共4小题） 17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AB＝7， ∴AC＝7． ∵AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足， ∴AE＝BE， ∴BE+EC＝AE+EC＝AC， ∴△BCE的周长＝BE+EC+BC＝AC+BC＝7+5＝12； （2）∵AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2∠ABE＝2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， 即：5∠A＝180°， ∴∠A＝36°． 18．【解答】解：（1）△OBC是等腰三角形， 理由是：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O． ∴（角平分线的性质）， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC（等角对等边）， ∴△OBC是等腰三角形； （2）AO是BC的垂直平分线， 理由： ∵OB＝OC（已知）， ∴点O在线段BC的垂直平分线上， ∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴AO是BC的垂直平分线． 19．【解答】解：过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于点F， ∵AE⊥PC，BF⊥DQ， ∴∠AEC＝∠BFD＝90°（垂直的定义）， ∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，AC＝50cm， ∴AEAC50＝25cm， ∵在Rt△BFD中，∠BFD＝90°，∠BDF＝30°，BD＝50cm， ∴BFBD50＝25cm， ∴EA+AB+BF＝25+8+25＝58（cm）， 答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为58cm． 20．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∵60÷2＝30， ∴0≤t≤30，BP＝（6﹣2t）cm，BQ＝tcm． 当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形， 即60﹣2t＝t， ∴t＝20； 当t＝20时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即60﹣2t＝2t， ∴t＝15， ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（60﹣2t）， ∴t＝24． 即当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $