暑假收心卷01（暑假测试，范围：新教材八上1-3章）新八年级数学新教材浙教版

**基本信息** 聚焦浙教版八年级上册第1~3章核心知识，通过荡秋千、螺蛳粉销售等生活情境与分层设计，实现暑假收心阶段的基础巩固与能力提升，培养几何直观、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、不等式解集、全等判定|第7题结合屋顶钢架焊接，体现等腰三角形“三线合一”的实际应用| |填空题|6/18|等腰三角形底角计算、中线性质、动态最值|第16题通过动点探究CM+MN最小值，培养空间观念| |解答题|8/52|全等证明、不等式应用、几何探究|第22题螺蛳粉销售问题融合方程组与不等式，第24题“截长补短”法强化推理能力，贴合中考命题趋势|

暑假收心卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，浙教版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一﹑选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，8，4 C．10，6，5 D．2，4，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为3，8，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为5，6，10的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为2，4，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 2．在数轴上表示不等式的解集，下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集． 先解不等式，再在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 解得：， 在数轴上表示如下： 故选：C． 3．如图，在中，是的中点，且，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质等知识，熟记相关几何性质及判定是解决问题的关键． 先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等边三角形的判定与性质求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是的中点，则， ， ， 即是等边三角形， ， 故选：A． 4．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是垂直平分线的作图，可得，能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是角平分线的作图，不能确定． 故选：B． 5．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点据此判断即可． 【详解】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选C． 6．如图，点，在上，，，要添加的一个条件应不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用平行线的性质可得，结合已知的，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答． 【详解】解：， ， 在和中，，， A、添加，由全等三角形的判定定理可以判定， 故选项不符合题意； B、添加，由全等三角形的判定定理可以判定， 故选项不符合题意； C、添加，不能判定， 故选项符合题意； D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定， 故选项不符合题意； 故选：C ． 7．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．中垂线的性质定理 C．角平分线的性质定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故选：D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A．10 B．15 C．30 D．20 【答案】B 【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用基本作图得到AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得DC=DE=3，然后根据三角形面积公式． 【详解】解：作DE⊥AB于E，如图， 由作法得AP平分∠BAC， ∴DC=DE=3， ∴△ABD的面积= 故选B． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 9．关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是(  ) A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】在EA上截取EF=BE，连接CF，根据“AC平分∠BAD”和“∠ADC＋∠ABC＝180°”证明出△ACD≌△ACF，故选项①正确；由①可知，AD=AF，再根据线段间的和差关系可得：AD＋AB＝2AE，AB－AD＝2BE，故选项②④正确. 【详解】在EA上截取EF=BE，连接CF， ∵CE⊥AB， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠B， ∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°， ∴∠D=∠AFC， ∵AC平分∠BAD， 即∠DAC=∠FAC， 在△ACD和△ACF中， ， ∴△ACD≌△ACF（AAS）， ∴CD=CF， ∴CD=CB， 故①正确； ∴AD=AF， ∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE． 故②正确； 根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE， 故③错误； AB-AD=AB-AF=BF=2BE， 故④正确． 其中正确的是①②④． 故选C． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质，此外找出线段之间的和差关系是解决本题的关键. 第Ⅱ卷 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．根据下列数量关系列不等式：的倍不大于的不等式是 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 12．已知等腰三角形的一内角度数为，则它的底角的度数是______． 【答案】40°或70°． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．首先要讨论40°的角是顶角还是底角，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角． 【详解】解：当等腰三角形的顶角为40°时，则底角等于70°； 当等腰三角形的底角为40°时，则底角等于40°， 则它的底角的度数是40°或70°． 故答案为：40°或70°． 13．在△ABC中，AB=6，AC=2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是________． 【答案】2＜AD＜4 【详解】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．   在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB． 在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即4＜2AD＜8， 2＜AD＜4． 故答案是：2＜AD＜4． 14．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：10 15．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为__________．    【答案】3 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据中线的意义可得等底同高，即，同理可得，进而求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴等底同高，即， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 16．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， 解得， ∴原不等式的解集为； （2）解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 18．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点的对应点是点）； (2)画出边上的高； (3)直接写出四边形的面积是 ． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3)24 【分析】本题考查了网格作图，画高，运用网格求面积，画轴对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质得，再依次连接，即可作答． （2）根据高的定义进行作图即可． （3）运用割补法进行求面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：边上的高如图所示： （3）解：四边形的面积， 故答案为：24． 19．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用． （1）先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 20．如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． (1)作线段的垂直平分线交于点； (2)作的角平分线交于点； (3)的周长是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)11 【分析】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，线段垂直平分线的性质，正确掌握各作图方法是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线交于点，即可； （2）利用尺规作出的角平分线交于点，即可； （3）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点E即为所求． （2）解：如图，射线即为所求． （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴周长为． 故答案为：11 21．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离；当他从处摆动到处时，有．    (1)求到的距离； (2)求到地面的距离． 【答案】(1)到的距离为 (2)到地面的距离为 【分析】（1）过点作于点，证明，得到，即可； （2）根据，得到，过点作于点，得到，即可． 【详解】（1）解：由题意和图可知：， 过点作于点，    则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴到的距离为； （2）由（1）知：， ∴， 过点作于点，则：， ∴； 即：到地面的距离为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 22．如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元． （1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？ （2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？ 【答案】（1）A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元；（2）60箱 【分析】（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买品牌螺蛳粉为箱，从而可得购买品牌螺蛳粉为箱，再根据“预算总费用不超过9200元”建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得． 【详解】解：（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元， 由题意得：， 解得， 答：品牌螺蛳粉每箱售价为100元，品牌螺蛳粉每箱售价为80元； （2）设购买品牌螺蛳粉为箱，则购买品牌螺蛳粉为箱， 由题意得：， 解得， 答：品牌螺蛳粉最多购买60箱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． 23．数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图①，在中，平分．求证：”． (1)李老师经过分析：要证，就是要证线段的和差问题，可以采用“截长法”：如图②，先在上截取，再设法证明．请按照这种思路补充证明过程． 证明：在上截取，连接； (2)李强同学受到启发，发现也可以采用“补短法”解答这题．请按照这种思路帮助李强同学补充证明过程． 证明：如图③，延长至点F，使，连接． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定及线段和差的转化． （1）通过构造全等三角形，利用全等推导出角与边的关系，结合外角性质证，进而利用线段和差代换即可； （2）先通过构造等腰三角形与角的关系，再构造全等三角形，利用线段和差代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ∵， ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 24．问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，浙教版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一﹑选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，8，4 C．10，6，5 D．2，4，2 2．在数轴上表示不等式的解集，下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的中点，且，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 4．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（   ） A．B．C．D． 5．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 6．如图，点，在上，，，要添加的一个条件应不能使的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．中垂线的性质定理 C．角平分线的性质定理 D．等腰三角形的“三线合一” 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A．10 B．15 C．30 D．20 9．关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是(  ) A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．根据下列数量关系列不等式：的倍不大于的不等式是 ______ ． 12．已知等腰三角形的一内角度数为，则它的底角的度数是______． 13．在△ABC中，AB=6，AC=2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是________． 14．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，若，，则的周长为___________． 15．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为__________．    16．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解一元一次不等式（组）： (1) (2) 18．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点的对应点是点）； (2)画出边上的高； (3)直接写出四边形的面积是 ． 19．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． (1)作线段的垂直平分线交于点； (2)作的角平分线交于点； (3)的周长是 ． 21．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离；当他从处摆动到处时，有．    (1)求到的距离； (2)求到地面的距离． 22．如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元． （1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？ （2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？ 23．数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图①，在中，平分．求证：”． (1)李老师经过分析：要证，就是要证线段的和差问题，可以采用“截长法”：如图②，先在上截取，再设法证明．请按照这种思路补充证明过程． 证明：在上截取，连接； (2)李强同学受到启发，发现也可以采用“补短法”解答这题．请按照这种思路帮助李强同学补充证明过程． 证明：如图③，延长至点F，使，连接． 24．问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $