暑假收心卷02（暑假测试，范围：新教材八上1-3章）新八年级数学新教材浙教版

**基本信息** 浙教版八年级上册暑假收心卷，聚焦三角形、不等式等核心知识，通过自动驾驶模型推理时间、放风筝高度计算等真实情境设计，融合几何直观与应用意识，适配暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、命题真假判断、三角形稳定性|基础概念辨析，如第3题结合自行车支架考稳定性| |填空题|6/18|对顶角命题改写、三角形周长计算、不等式应用|第13题以自动驾驶模型考不等式求解，体现科技情境| |解答题|8/52|解不等式组、尺规作图、全等证明、动点问题、倍长中线法探究|第20题风筝高度计算融合勾股定理应用，第24题倍长中线法培养推理能力，第22题充电桩购买问题体现模型意识|

暑假收心卷02 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，浙教版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能组成三角形，此项不符题意； B、，不能组成三角形，此项不符题意； C、，能组成三角形，此项符合题意； D、，不能组成三角形，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键． 2．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”的说法：其中正确的是（  　） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 【答案】A 【分析】题目主要考查命题真假判断，逆命题的书写，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键 写出命题的逆命题，然后根据平行线的判定和性质进行判断即可 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”，根据平行线的判定定理，若同旁内角互补，则两直线平行，故原命题为真命题； 逆命题为：若两直线平行，则它们被第三条直线所截形成的同旁内角互补，根据平行线的性质定理，逆命题也为真命题， 综上，原命题和逆命题均为真命题， 故选：A 3．如图，为了让自行车更稳固，生产厂家把核心支架做成三角形的形状，其运用的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形三个内角的和等于 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质在实际生活中的应用，需要根据各个选项所涉及的三角形性质，结合车架的结构特点进行判断． 【详解】解：为了让自行车更稳固，生产厂家把核心支架做成三角形的形状，其运用的数学知识是三角形具有稳定性 故选：B． 4．如图，已知，以点O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点 D，交于点 E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 F；作射线．则射线为平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的尺规作图，由作图可得，，而，即可通过得到，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，而， ∴， ∴， ∴射线为平分线 故选：A． 5．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项是否成立． 【详解】解：∵， A、两边同时乘以，不等号方向改变，则，故本选项不符合题意； B、两边同时减去 1，不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； C、两边同时乘以，不等号方向改变，则，再两边加 1，则，故本选项符合题意； D、由，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．能把三角形面积分成相等两部分的是（   ） A．该三角形一边的中垂线 B．该三角形的角平分线 C．该三角形的高线 D．该三角形的中线 【答案】D 【分析】本题考查三角形中线的定义和性质．根据等底等高的两个三角形面积相等可得：三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分判断即可． 【详解】解：把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线． 故选：D． 7．如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，关键是判定，推出， 由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，求出，得到，由三角形的外角性质得到，因此，推出． 【详解】解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 8．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（    ）    A．8 B．9 C．12 D．20 【答案】A 【分析】连接，由勾股定理得，代入a，b，c，d整理可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，，    在和中， ∵，即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 9．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，在数轴上表示不等式的解集，根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 【详解】解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ． 故选：B． 10．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 首先判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理，得到是等边三角形，即可得到②正确，又由，可得④正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故②正确； 在和中， ， ， ，故③不正确； ， ， ， ， ， 故④正确； 故选：C． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12．已知的两边长为2和4，第三边长为偶数，则的周长为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值，即可求解三角形周长． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边长为偶数， ∴， ∴第三边的长为． 则的周长为， 故答案为：． 13．某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间T（单位：毫秒）与单帧视频数据量x（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量x的允许范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意，建立不等式，求解范围，并结合实际数据量的非负性确定最终结果，理解题意，正确得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∵数据量不能为负数， ∴， 故单帧视频数据量的允许范围是， 故答案为：． 14．如图，是等边的边上的中线，，则的度数为_____． 【答案】/15度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用等边三角形的中线性质求出相关角的度数，结合等腰三角形等边对等角的性质推导角度关系． 根据等边三角形性质，得出，为中线则平分且求出和；由可得为等腰三角形，利用内角和求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵是边上的中线， ∴ 平分（等边三角形三线合一）， ∴，． ∵ ∴ 是等腰三角形，． 在中，， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，，则的面积是______．    【答案】18 【分析】过D点作于H，如图，由作法得平分，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：过D点作于H，如图，    由作法得平分， ∵， ∴， ∴的面积= ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，利用角平分线的性质求出中边上的高是解题的关键． 16．如图，在等腰中，点是底边边的中点，，分别是和上的动点．若，，则的最小值_______．    【答案】/ 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：，点是底边边的中点， ，， ， 如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值．   ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，，是边上的中点， ， ， ， ， 解得：， 的最小值， 故答案为：． 3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）    (1)在边上求作一点，使点到和的距离相等； (2)画的高. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图，作的角平分线，交于点D，根据角平分线的性质，点D即为所求． （2）如图，过点C作的垂线，交射线于点E，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，交于点D，即为所求．    （2）如图，过点C作的垂线，交射线于点E，线段即为所求    【点睛】本题考查尺规作图作角平分线，角平分线的性质，过一点作已知直线的垂线，掌握基本的尺规作图是解题的关键． 19．如图，已知，点和点在线段上，与交于点，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据，得，结合已知用进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 则， ∵， ∴． 20．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 21．如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 22．在低碳出行的理念倡导下，近两年中国汽车电动化发展加速，新能源汽车产销量大幅度增长，年国内新能源汽车销量达到万辆，同比增幅，连续年全球第一．某市欲引进个新能源汽车充电桩，已知大功率充电桩可同时充台新能源汽车，普通充电桩可同时充台新能源汽车，购买一个大功率充电桩和个普通充电桩需要元，购买个大功率充电桩和个普通充电桩需要元． (1)购买个大功率充电桩和个普通充电桩需要多少元； (2)根据该市的新能源汽车保有规模预测，汽车同时充电的峰值数量不低于台，且该市市政府拨给此购买项目的总预算不超过万元，请确定最省购买方案． 【答案】(1)购买个大功率充电桩和个普通充电桩需要元； (2)最省购买方案为购买个大功率充电桩和个普通充电桩． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用． （1）设购买个大功率充电桩需要元，购买个普通充电桩需要元，根据题意列方程组求解，可得两种充电桩的单价，相加即可； （2）设购买个大功率充电桩，根据题意列不等式组，取整数解，分别计算、比较所需费用，即可得最省购买方案． 【详解】（1）解：设购买个大功率充电桩需要元，购买个普通充电桩需要元， 根据题意可得， 解得， （元） 答：购买个大功率充电桩和个普通充电桩需要元． （2）解：元万元，元万元， 设购买个大功率充电桩，则 根据题意可得， ∴， 根据题意可知为正整数， ∴或， 当时， （万元）， （个）， ∴购买个大功率充电桩和个普通充电桩需要万元， 当时， （万元）， （个）， ∴购买个大功率充电桩和个普通充电桩需要万元， ∵， ∴最省购买方案为购买个大功率充电桩和个普通充电桩． 23．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 24．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）根据三角形三边关系，列式计算即可得出答案； （3）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （4）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）．理由如下： 延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷02 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，浙教版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10 2．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”的说法：其中正确的是（  　） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 3．如图，为了让自行车更稳固，生产厂家把核心支架做成三角形的形状，其运用的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形三个内角的和等于 4．如图，已知，以点O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点 D，交于点 E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 F；作射线．则射线为平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 5．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．能把三角形面积分成相等两部分的是（   ） A．该三角形一边的中垂线 B．该三角形的角平分线 C．该三角形的高线 D．该三角形的中线 7．如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（    ）    A．8 B．9 C．12 D．20 9．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 12．已知的两边长为2和4，第三边长为偶数，则的周长为__________． 13．某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间T（单位：毫秒）与单帧视频数据量x（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量x的允许范围是__________． 14．如图，是等边的边上的中线，，则的度数为_____． 15．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，，则的面积是______．    16．如图，在等腰中，点是底边边的中点，，分别是和上的动点．若，，则的最小值_______．    3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列不等式（组）： (1)； (2) 18．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）    (1)在边上求作一点，使点到和的距离相等； (2)画的高. 19．如图，已知，点和点在线段上，与交于点，．求证：． 20．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 21．如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 22．在低碳出行的理念倡导下，近两年中国汽车电动化发展加速，新能源汽车产销量大幅度增长，年国内新能源汽车销量达到万辆，同比增幅，连续年全球第一．某市欲引进个新能源汽车充电桩，已知大功率充电桩可同时充台新能源汽车，普通充电桩可同时充台新能源汽车，购买一个大功率充电桩和个普通充电桩需要元，购买个大功率充电桩和个普通充电桩需要元． (1)购买个大功率充电桩和个普通充电桩需要多少元； (2)根据该市的新能源汽车保有规模预测，汽车同时充电的峰值数量不低于台，且该市市政府拨给此购买项目的总预算不超过万元，请确定最省购买方案． 23．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 24．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $