暑假收心卷02（暑假测试，范围：新教材九上1-4章）新九年级数学新教材浙教版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦浙教版九年级上册1-4章，以皮影戏（位似变换）、水火箭比赛（二次函数建模）为情境，分层考查二次根式、圆、相似三角形等核心知识，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、方程根、中点四边形|第3题中点四边形多结论判断，考查推理意识| |填空题|6/18|二次函数图像与不等式、概率|第12题函数图像交点转化为方程解，体现几何直观| |解答题|8/72|计算、证明、数据建模|第23题水火箭飞行数据建模，第24题抛物线与圆综合，发展创新意识|

暑假收心卷02 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，浙教版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列判断或计算正确的是（ ） A．是最简二次根式 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A，，不是最简二次根式，A错误； 对选项B，，B错误； 对选项C，，当时，，结果不一定等于，C错误； 对选项D，∵，∴D正确． 2．若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 3．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．有下列结论：①四边形是平行四边形；②若，则四边形是菱形；③若，则四边形是矩形；④若，，则四边形是正方形．上述四个结论中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据三角形中位线的性质，结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，对各结论逐一分析判断即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，，分别是，，，的中点， ∴，，，，，， ，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当时，则：， ∴四边形是菱形；故②正确； 当时，则：， ， ∴四边形是矩形；故③正确； 当，，则：，， ∴四边形是正方形；故④正确． 4．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 抛物线中，， ∴ 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 抛物线对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴． 5．如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图象，应用数形结合的思想求解是解题的关键． 直接根据函数的图象确定顶点坐标、开口方向及对称轴，得取值范围内的最大值为，由对称性可知时，由图知时，，故时，函数有最大值，有最小值． 【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为，对称轴为， ∵此抛物线开口向下， ∴此函数有最大值，最大值为； ∵关于对称轴对称的点为，此时对应的函数值， 当时，， ∴当时，，即函数有最大值，有最小值． 故选：C． 6．一个不透明袋子中有20个白球、6个黑球、3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，取出某一颜色球的频率稳定在，则该球的颜色最可能是（ ） A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率．用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：根据题意，该球的频率稳定在左右，所以抽到该球的概率为， 总球数为， ∵抽到白球的概率为：， 抽到黑球的概率为：， 抽到红球的概率为：， 抽到黄球的概率为：， ∴该球的颜色最有可能是黑色． 故选：C． 7．如图，内接于，是直径，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90度，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先连接，结合，得，又因为是直径，得，再列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故选：C． 8．是的一条弦，于点P．若，，则的半径为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是先利用垂径定理求出弦长的一半，再结合勾股定理计算的半径． 【详解】解：连接 ， （垂径定理：垂直于弦的直径平分弦．） 在中，， 即的半径为5． 故选B． 9．如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B． C．   D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 10．皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得位似比为，由道具上的点可得对应到幕布上的点的坐标． 【详解】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为， ∴位似比为， ∴道具上的另一点对应到幕布上的点为． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的取值范围是且． 12．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 13．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、抛物线与轴的交点．依据题意，由抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，利用对称性可得另一个交点的坐标为，结合抛物线的开口向下，进而可得不等式的解集． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为， 另一个交点的横坐标为， 即另一个交点的坐标为， 抛物线的开口向下， 不等式的解集是， 故答案为：． 14．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，把第一个转盘分为相同的三部分，一部分为红，另两部分为蓝，再利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出一个转出红色，另一个转出蓝色的所占结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为 共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， 可配成紫色的概率是， 故答案为：． 15．如图，为内接于的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ． 【答案】 【分析】如图，连接，求出圆心角，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是直径，， ， ， ， 的长． 16．如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么的值是______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 根据重心的性质得到，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：∵的两条中线和相交于点G， ∴点G是的重心， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为： 三．解答题（本题共8小题，共72分） 17．计算 (1) (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 令或， 解得：， 18．如图，正方形的边长为2，点在边上，的中垂线分别交，于点，，延长至点，使，连接，，． (1)求证：； (2)设，四边形的面积． ①用含的代数式表示； ②当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理： （1）由线段垂直平分线的性质和正方形的性质可得，，则可证明； （2）①作于点，证明四边形是正方形，得到，再根据进行求解即可．②分当时，即，当时，即，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接．   垂直平分， ． 又为正方形对角线上一点， ∴由正方形的轴对称性得：． ． （2）解：①如图2，作于点，   垂直平分， ． 又为正方形对角线上一点， 平分，， ， ∴四边形是正方形， ∴ ． ②， 为等腰三角形分两种情况（如图3）： 当时，即， ， 解得：． ． 当时，即， ， 化简得：． 解得：， ， ． ． 综上可得：或． 19．已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点，在该抛物线上，且，求m的取值范围； (3)将此抛物线向左平移n（）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为，若e的最大值和最小值分别为，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先对称性求得点到对称轴的距离为，根据，列式计算即可求解； （3）先求得平移后的解析式，得到与y轴交点的纵坐标：，利用二次函数的性质求得e取最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：先将抛物线解析式化为顶点式：， 抛物线开口向上，对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为， 所以，即：， 解得； （3）解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：， 当时，与y轴交点E的纵坐标：， 这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，e取最小值， 题目中，则， 令，即， 解得：， 因为，所以． 20．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 【答案】(1) (2)不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解题的关键； （1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解； （2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘上的一个数字使得游戏公平即可． 【详解】（1）解：列表如下： A      B 2 3 4 1 3 事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种， 则甲获胜的概率为． 答：甲获胜的概率为． （2）解：不公平； 理由如下： 由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种， 则乙获胜的概率为． 而甲获胜的概率小于乙获胜的概率， 所以游戏不公平． 把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 答：游戏不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 21．如图，是的直径，弦与半径平行，连结交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用垂径定理证明即可； （2）利用垂径定理，勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．如图，在中，，为的中点，连接，相交于点．过点作交于点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）结合平行四边形的性质，证明，然后利用相似三角形对应边成比例解题即可； （2）通过平行线分线段成比例，可得，再证明，得到，从而得到，推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 为的中点， ． ，， ， ，即． ， ， ，即． ， ， ． ． 23．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … (1)根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； (2)根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； (3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 【答案】(1) (2)持续时间秒 (3)当水平距离为20米时，最大高度差为4米 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）令，解出x的值求解即可； （3）设高度差为h，，根据二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：设，将、、代入，得 ， ； （2）解：令，， ，， 将，代入得， 得，， 持续时间秒． （3）解：设高度差为， ， 当水平距离为20米时，最大高度差为4米． 24．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C，以AB为直径的圆，经过点O，C，交x轴于点D，连结AO，AC． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求点D的坐标； (3)点E在x轴上，连结BD，BE．当与相似时，求满足条件的OE长． 【答案】(1)； (2)（2，0）； (3)10或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）连接AD，设点D的坐标为（x，0），根据圆周角定理得到，列得，即，求出x，即可得到点D的坐标； （3）先根据抛物线的解析式求出C的坐标，过点A作AF⊥y轴于F，过点B作BG⊥x轴于G，则F（0，5），G（5，0），根据正切值求出，分两种情况：①当△BDE∽△ACO时，得到，求出DE，即可求出OE；②当△EBD∽△AOC时，得到，求出DE，即可求出OE． 【详解】（1）解：将点，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （2）解：连接AD，设点D的坐标为（x，0）， ∵AB为圆的直径， ∴， ∴， ∴， 解得x=2或x=0（舍去）， ∴点D的坐标为（2，0）； （3）解：∵交y轴于点C， ∴C（0,8）, 过点A作AF⊥y轴于F，过点B作BG⊥x轴于G，则F（0，5），G（5，0）， ∴，， ∴， ①当△BDE∽△ACO时，如图1， 则， ∵，， ∴， ∴DE=CO=8， ∴OE=OD+DE=2+8=10； ②当△EBD∽△AOC时，如图2， 则， ∵，，OC=8， ∴， ∴DE=， ∴OE=OD+DE=2+=； 综上，OE长为10或． ． 【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，圆周角定理即勾股定理，相似三角形的性质，角的正切值的计算公式，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 5 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷02 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，浙教版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列判断或计算正确的是（ ） A．是最简二次根式 B． C． D． 2．若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A． B．2024 C．2026 D．2028 3．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．有下列结论：①四边形是平行四边形；②若，则四边形是菱形；③若，则四边形是矩形；④若，，则四边形是正方形．上述四个结论中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 4．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 6．一个不透明袋子中有20个白球、6个黑球、3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，取出某一颜色球的频率稳定在，则该球的颜色最可能是（ ） A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 7．如图，内接于，是直径，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．是的一条弦，于点P．若，，则的半径为（ ） A．4 B．5 C． D． 9．如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B． C．   D． 10．皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 12．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 13．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 14．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是_____． 15．如图，为内接于的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ． 16．如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么的值是______． 三．解答题（本题共8小题，共72分） 17．计算 (1) (2)解方程： 18．如图，正方形的边长为2，点在边上，的中垂线分别交，于点，，延长至点，使，连接，，． (1)求证：； (2)设，四边形的面积． ①用含的代数式表示； ②当为等腰三角形时，求的值． 19．已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点，在该抛物线上，且，求m的取值范围； (3)将此抛物线向左平移n（）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为，若e的最大值和最小值分别为，，且，求n的值． 20．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 21．如图，是的直径，弦与半径平行，连结交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图，在中，，为的中点，连接，相交于点．过点作交于点． (1)求的长； (2)求的值． 23．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … (1)根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； (2)根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； (3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 24．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C，以AB为直径的圆，经过点O，C，交x轴于点D，连结AO，AC． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求点D的坐标； (3)点E在x轴上，连结BD，BE．当与相似时，求满足条件的OE长． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $