第1章 第1讲 集合（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，涵盖集合含义、关系及运算，按元素特征-集合关系-运算性质逻辑架构知识，通过考点梳理、易错诊断、真题演练、分层训练四环节，助力学生突破交并补运算及含参问题难点，体现复习系统性与针对性。 资料以数形结合策略培养直观想象，如用数轴和Venn图解析集合运算，结合不等式强化数学运算能力。设置母题探究（如子集关系求参数分类讨论）和分层练习，精准对接高考题型，帮助学生高效构建知识体系，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第1讲　集　合 课标要求 考情分析 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3．理解并会求并集、交集、补集；能用Venn图表达集合的基本关系与基本运算． 考点考法：集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和Venn图，题型以选择题为主． 核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象． [对应学生用书P1] 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：__确定性__、__互异性__、__无序性__． (2)元素与集合的关系是__属于__或__不属于__关系，用符号__∈__或__∉__表示． (3)集合的表示法：__列举法__、__描述法__、__图示法__． (4)常见数集的记法 集合 自然 数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ 2．集合间的基本关系 关系 表示 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中的__任何一个__元素都属于集合B __A⊆B__(或__B⊇A__) 真子集 集合A⊆B，且A≠B __AB__(或__BA__) 集合相等 集合A，B中元素完全相同 A＝B 3．集合的基本运算 表示 运算 并集 交集 补集 图形 语言 符号 语言 A∪B＝ __{x|x∈A，或x∈B}__ A∩B＝ __{x|x∈A，且x∈B}__ ∁UA＝__{x|x∈U，且x∉A}__ 4．集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 4．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B). 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(×) (2)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝{0，1}．(√) (3)集合{x|x＝x3}用列举法表示为{－1，1}．(×) (4)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(×) (5){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×) 2．已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N＋}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．3 B．4 C．8 D．7 解析　A＝{x|x2－4x<0，x∈N＋}＝{1，2，3}，所以集合A的真子集的个数为23－1＝7.故选D. 答案　D 3．(北师大版必修一P12习题A组第9题改编)若集合M＝{(x，y)|y＝1}，集合N＝{(x，y)|x＝0}，则M∩N＝(　　) A．{0，1} B．{(0，1)} C．{(1，0)} D．{(0，1)，(1，0)} 解析　集合M表示纵坐标为1的点集，集合N表示横坐标为0的点集，所以M∩N＝{(0，1)}，故选B. 答案　B 4．(北师大版必修一P12习题B组第1题改编)已知集合A＝{x－2，x＋5，12}，且－3∈A，则x＝____________． 解析　若x－2＝－3，得x＝－1，符合题意； 若x＋5＝－3，得x＝－8，符合题意， 故x＝－1或x＝－8. 答案　－1或－8 5．若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝____________，B∩∁RA＝____________． 解析　因为A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，所以A∪B＝R，B∩∁RA＝{x|x≤－1，或x≥5}． 答案　R　{x|x≤－1，或x≥5} [对应学生用书P2] 考点一　集合的含义与表示 基础考点　自练自悟 1．已知集合A＝{x|2x－a＞0}，且1∉A，2∈A，则(　　) A．a＞1 B．a≤2 C．2＜a≤4 D．2≤a＜4 解析　∵1∉A，∴2×1－a≤0，解得a≥2，又∵2∈A，∴2×2－a＞0，解得a＜4，∴2≤a＜4.故选D. 答案　D 2．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N＋，且x－1∈A}，则B＝(　　) A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 解析　因为A＝{x|x2≤4}＝[－2，2]，B＝{x|x∈N＋，且x－1∈A}，所以B＝{1，2，3}． 答案　C 3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 025＋b2 026＝____________． 解析　由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 025＋b2 026＝－1＋1＝0. 答案　0 4．若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是____________． 解析　若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(2k)2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}． 答案　{1，－1} 1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义． 2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 考点二　集合间的基本关系 一题多变　母题探究 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(一题多变)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若A⊆B，则实数m的取值范围是____________． [解析]　(1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，故满足条件的集合C的个数为4. (2)由题得A＝{x|－1＜x＜3}，若A⊆B(如图)，则所以m≥3. 故实数m的取值范围是[3，＋∞). [答案]　(1)D　(2)[3，＋∞) (变条件)本例(2)中，若“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________． 解析　当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A. 当m＞0时，因为A＝{x|－1＜x＜3}． 当B⊆A时，在数轴上表示出两个集合，如图， 所以解得0＜m≤1. 综上所述，实数m的取值范围为(－∞，1]. 答案　(－∞，1] 根据两集合的关系求参数的方法 (1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论．求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解． 1．设M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ 解析　因为M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}＝{x|x＝2(2k－1)－1，k∈Z}， N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以M⊆N.故选A. 答案　A 2．设集合A＝{x|x－5＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为____________． 解析　因为A＝{x|x－5＝0}＝{5}，B⊆A. 当B＝∅时，a＝0，符合题意；当B＝{5}时，5a－1＝0，解得a＝. 综上可得，a＝0或a＝. 答案　0或 考点三　集合的基本运算 多维探究　发散思维 角度1　集合的基本运算(考教衔接) 高考真题 1．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 解析　因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}, ∁UA中的元素个数为5.故选C. 答案　C 2．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 解析　方法一　因为A＝{x|－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}．故选A. 方法二　将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A. 答案　A 3．(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x＜4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x＜1} B．{x|x＞－3} C．{x|－3＜x＜4} D．{x|x＜4} 解析　由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3＜x＜4}． 答案　C 教材溯源 1．(北师大版必修一P45复习题一A组第1题(2)改编)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA，∁UB. 解析　根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{4，5，6，7，8}， ∁UB＝{1，2，7，8}． 2．(人A必修一P14T14)已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB). 解析　因为A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B＝{x|2<x<10}，A∩B＝{x|3≤x＜7}，∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}；∁R(A∩B)＝{x|x＜3，或x≥7}；(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x＜10}；A∪(∁RB)＝{x|x≤2，或3≤x＜7，或x≥10}． 预测高考 1．(2025·浙江宁波一模)集合A＝{－2，0，1}，B＝{y}，则A∪B＝(　　) A．{－2，0，1} B．{0，1，4} C．{0，1} D．{－2，0，1，4} 解析　由A＝{－2，0，1}，B＝{y}可得B＝{0，1，4}， 故A∪B＝{－2，0，1，4}，故选D. 答案　D 2．(2025·武汉四调)已知集合A＝{x|x2－4x≤0}，B＝{x|－3<x≤4}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．(0，4) B．[－3，4] C．(－3，0) D．[4，＋∞) 解析　由x2－4x≤0，可得x(x－4)≤0，解得0≤x≤4， 所以A＝{x|0≤x≤4}， 所以∁RA＝{x|x<0，或x>4}， 所以(∁RA)∩B＝{x|x<0，或x>4}∩{x|－3<x≤4}＝(－3，0). 故选C. 答案　C 角度2　利用集合的运算求参数 (1)(2025·山东临沂一模)已知集合A＝{2x－a≤0}，B＝{1<x<2}.若A∩B＝∅，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－∞，2) D．(－∞，2] (2)已知集合A＝{x∈Z|x2＜3}，B＝，若A∩B有2个元素，则实数a的取值范围是(　　) A．∪(1，＋∞) B． C．∪ D． [解析]　(1)A＝{x|2x－a≤0}＝， 因为A∩B＝∅，所以≤1，解得a≤2， 所以a的取值范围为(－∞，2].故选D. (2)A＝{x∈Z|x2＜3}＝{－1，0，1}，B＝，若A∩B有2个元素，则或解得－＜a＜－1或－＜a＜0，所以实数a的取值范围是∪.故选C. [答案]　(1)D　(2)C 集合运算的求解策略 (1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算． (2)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 3．(2025·山东临沂二模)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}，B＝，则A∩B＝(　　) A． B． C． D． 解析　A＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝[－1，3]，B＝{0，1，2，3，4，5}， 所以A∩B＝{0，1，2，3}，故选A. 答案　A 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为(　　) A．{x|x＜－1} B．{x|x≤－1} C．{x|x≤0，或x＞3} D．{x|0＜x≤3} 解析　因为B＝{y|y＝2x，x∈R}，所以B＝(0，＋∞).而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞)，故阴影部分所对应的集合为∁R(A∪B)＝(－∞，－1).故选A. 答案　A 5．已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x2－ax<0，x∈Z}，若集合M∩N恰有两个元素，则实数a的取值范围是____________． 解析　因为M＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，N＝{x|x2－ax<0，x∈Z}＝{x|x(x－a)<0，x∈Z}，又集合M∩N恰有两个元素，所以M∩N恰有两个元素1和2，所以a>2，即实数a的取值范围为(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $