第07讲 角的平分线（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第07讲 角的平分线 （2大考点4大题型） 学习目标 1. 掌握角平分线的定义； 2. 掌握作角平分线的尺规作图方法； 3. 掌握角平分线的性质和判定。 考点整理 一、角平分线的性质和判定 角平分线 解释 示例 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，若射线OC是的角平分线，则． 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，若，则OC是的角平分线． 二、角平分线模型 模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 模型III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种． 题型归纳 【题型1 作角平分线（尺规作图）】 1．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 2．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 【详解】∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 3．在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可． 【详解】解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B ． 4．如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上取一点E，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交、于两点；再分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，连接点B与该点并延长，交于点D，即为的角平分线；以点D为圆心，的长度为半径画弧，该弧与边的交点即为点E，最后连接即可； （2）过点作于点，根据证明，得，求出，再证明，得，从而可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点F， ∵是的角平分线，且 （即）， ， 在和中， ∴， ， ∵， ∴， 在和中， ∴ , ∴． 【题型2 角平分线的性质定理】 5．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为，，则线段的长不可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：过点作， 则：， ， 点为直线上的一个动点， 当时，最短， 是的平分线， 当时，， 线段的长不可能是4． 6．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 则有的长为点到的距离， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点到的距离是 ． 7．如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而求出的最小值． 【详解】解：如图，当时，线段的长度取得最小值， 平分，，， ． 8．如图，在中，和的平分线相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判断①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判断②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断③，即可得． 【详解】解：∵和的平分线，相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，作于H，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ ，故③正确； 综上，其中正确的有①②③共个． 【题型3 角平分线的判定定理】 9．如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】首先利用证明，可得，；利用三角形外角性质以及全等三角形的性质可证；利用全等三角形面积相等及底边相等可得对应高相等，进而根据角平分线的判定定理证得平分；对于，现有条件无法证明． 【详解】解：由题意得， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故D成立，不符合题意； ∵， ∴， 设与交于点，， ∵ ∴， ∴，故B成立，不符合题意； 过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ， ∴平分，故C成立，不符合题意； 现有条件不足以证明，故A不一定成立，符合题意． 10．如图，已知中，，，分别平分，，点为，的交点，则下列说法正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可对①进行判断；证明，，可得，即可判断②；根据②的结论即可判断③；根据角平分线的性质与判定，可对④进行判断． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴， 故①正确， 如图，在上截取，连接， ∵，分别平分，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在与中， ∴， ， ∴， ∴， 故②正确； 由②可知，， ∴， 即，故③准确， 如图，连接，过点作， ∵，分别平分，， ∴， ∴， 设边上的高为, ∵, ∴ 即， 故④错误． 11．如图，，连接交于F，连接．结论：①；②；③；④ 平分．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设交于点O，证明，可以判断①②，由，，可以判断③，过点C作，于点G，H，由，得，根据角平分线的性质可以判断④． 【详解】解：如图，设交于点O，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误； 过点C作，于点G，H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分，故④正确， 综上所述：结论正确的为①②④，共3个． 12．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ∴ ∵ ， 平分，所以④正确； 对于平分，现有条件不足以证明， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． ∴有3个正确的． 【题型4 角平分线性质的实际应用】 13．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 14．如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 15．在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题． 16．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1)见详解 (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：、和如图所示： （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 17．如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，，求出，即可证明平分； 【详解】（1）解：， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）证明：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，平分， ，， ， 平分 18．如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定，角平分线的尺规作图，理解题意：加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等，且结合到角两边距离相等的点在角的平分线上，即作出的角平分线，它们交于一点，即为点P，进行作答． 【详解】解：P点的位置如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 角的平分线 （2大考点4大题型） 学习目标 1. 掌握角平分线的定义； 2. 掌握作角平分线的尺规作图方法； 3. 掌握角平分线的性质和判定。 考点整理 一、角平分线的性质和判定 角平分线 解释 示例 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，若射线OC是的角平分线，则． 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，若，则OC是的角平分线． 二、角平分线模型 模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 模型III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种． 题型归纳 【题型1 作角平分线（尺规作图）】 1．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上取一点E，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【题型2 角平分线的性质定理】 5．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为，，则线段的长不可能是（     ）． A． B． C． D． 6．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，和的平分线相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3 角平分线的判定定理】 9．如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 10．如图，已知中，，，分别平分，，点为，的交点，则下列说法正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A． B． C． D． 11．如图，，连接交于F，连接．结论：①；②；③；④ 平分．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型4 角平分线性质的实际应用】 13．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 14．如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 15．在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 16．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 17．如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分 18．如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 学科网（北京）股份有限公司 $