专题20 导数及其应用选填题（10年汇编）（六大考点，38题）（全国通用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦导数及其应用选填题，汇编38道2017-2026年高考真题，覆盖切线方程、单调性等六大考点，结合考情分析与命题规律，精准对接高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选填题|38题|切线方程（2024全国甲卷）、单调性（2026北京卷）、极值最值（2026全国一卷）等六大考点|分层设计基础送分题（切线方程）、中档区分题（参数问题）、压轴难题（零点问题），严格依据高考十年命题规律，突出导数几何意义、函数性质等核心素养|

专题20 导数及其应用选填题 （六大考点，38题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 切线方程 2024 全国甲卷、2023 全国甲卷、2019 全国 Ⅰ/Ⅱ 卷、2019 江苏 / 天津、2018 全国 Ⅰ/Ⅱ 卷、2017 全国 Ⅰ/ 天津 1. 导数基础必考题，单选填空为主，难度偏低，属于送分题型。 2. 核心：求函数在定点处切线方程、切线与坐标轴围成图形面积、曲线上点到直线最短距离。 3. 载体包含一次、三角、对数、指数函数，核心是导数几何意义（切线斜率）。 考点 02 切线问题求参数 2025 全国一卷、2024 新课标 Ⅰ 卷、2021 新高考 Ⅰ 卷、2018 全国 Ⅲ 卷 1. 中档小题，区分度适中，高频考点。 2. 核心：已知切线条件反求参数、两条曲线公切线、过定点作多条切线求参数范围。 3. 解题需联立方程，结合判别式、切点等量关系列式计算。 考点 03 利用导数研究单调性 2026 北京卷、2024 新课标 Ⅰ 卷、2023 新课标 Ⅱ/ 全国乙卷、2019 北京卷、2017 江苏 1. 常规基础题型，常结合恒成立求参数。 2. 核心：由单调区间求参数取值、根据导数符号判断增减、结合奇偶性综合判断函数性质。 3. 易错点：单调递增等价于导数≥0 恒成立，需验证等号不恒成立。 考点 04 极值与最值 2026 全国一卷、2025 全国二卷、2024 新课标 Ⅱ 卷、2023 新课标 Ⅰ/Ⅱ 卷、2018 全国 Ⅰ 卷、2017 全国 Ⅱ 卷 1. 多选、填空高频压轴考点，综合性强。 2. 核心：极值点判定、由极值求参数、闭区间最值、结合奇函数性质判断极值。 3. 常设置多结论多选题，需逐一验证极大、极小值与函数对称性质。 考点 05 导数与零点、方程根 2026 北京卷、2024 全国甲卷、2023 全国乙卷、2022 新高考 Ⅰ 卷、2021 北京卷、2018 江苏 1. 导数选填难点，压轴常客。 2. 核心：根据零点个数求参数、判断零点数量、函数交点问题。 3. 主流方法：数形结合、分离参数，结合单调性与极值画出函数简图分析根的分布。 考点 06 导数实际应用 2025 上海卷、2020 江苏 1. 创新填空小题，以上海、江苏卷为主。 2. 核心：几何面积最值模型（矩形、三角形），利用导数求解实际最大值。 3. 解题步骤：建立目标函数，求导找极值点，结合实际定义域取最优解。 考点01 切线方程 1. （2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2. （2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3. （2019·全国II卷·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D． 4. （2018·全国I卷·高考真题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 5. （2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____. 6. （2019·天津·高考真题） 曲线在点处的切线方程为__________. 7. （2019·全国I卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为___________． 8. （2018·全国II卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为__________． 9. （2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 10. （2018·全国II卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为__________． 11. （2017·全国I卷·高考真题）曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 12. （2017·天津·高考真题）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________ . 考点02 切线问题求参数 1. （2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 2. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 3. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 4. （2018·全国III卷·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则________． 考点03 利用导数研究函数的单调性 1. （2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 3. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 4. （2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 5. （2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 6. （2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________． 考点04 利用导数研究函数的极值与最值 1. （2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 2. （2017·全国II卷·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为． A． B． C． D． 3. （2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 4. （2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则的最小值是_____________． 5. （2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 6. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 7. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 8. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 考点05 零点与方程的根 1. （2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 2. （2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 4. （2018·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 5. （2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 6. （2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 考点06 导数的实际应用 1. （2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    2. （2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________． 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 导数及其应用选填题 （六大考点，38题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 切线方程 2024 全国甲卷、2023 全国甲卷、2019 全国 Ⅰ/Ⅱ 卷、2019 江苏 / 天津、2018 全国 Ⅰ/Ⅱ 卷、2017 全国 Ⅰ/ 天津 1. 导数基础必考题，单选填空为主，难度偏低，属于送分题型。 2. 核心：求函数在定点处切线方程、切线与坐标轴围成图形面积、曲线上点到直线最短距离。 3. 载体包含一次、三角、对数、指数函数，核心是导数几何意义（切线斜率）。 考点 02 切线问题求参数 2025 全国一卷、2024 新课标 Ⅰ 卷、2021 新高考 Ⅰ 卷、2018 全国 Ⅲ 卷 1. 中档小题，区分度适中，高频考点。 2. 核心：已知切线条件反求参数、两条曲线公切线、过定点作多条切线求参数范围。 3. 解题需联立方程，结合判别式、切点等量关系列式计算。 考点 03 利用导数研究单调性 2026 北京卷、2024 新课标 Ⅰ 卷、2023 新课标 Ⅱ/ 全国乙卷、2019 北京卷、2017 江苏 1. 常规基础题型，常结合恒成立求参数。 2. 核心：由单调区间求参数取值、根据导数符号判断增减、结合奇偶性综合判断函数性质。 3. 易错点：单调递增等价于导数≥0 恒成立，需验证等号不恒成立。 考点 04 极值与最值 2026 全国一卷、2025 全国二卷、2024 新课标 Ⅱ 卷、2023 新课标 Ⅰ/Ⅱ 卷、2018 全国 Ⅰ 卷、2017 全国 Ⅱ 卷 1. 多选、填空高频压轴考点，综合性强。 2. 核心：极值点判定、由极值求参数、闭区间最值、结合奇函数性质判断极值。 3. 常设置多结论多选题，需逐一验证极大、极小值与函数对称性质。 考点 05 导数与零点、方程根 2026 北京卷、2024 全国甲卷、2023 全国乙卷、2022 新高考 Ⅰ 卷、2021 北京卷、2018 江苏 1. 导数选填难点，压轴常客。 2. 核心：根据零点个数求参数、判断零点数量、函数交点问题。 3. 主流方法：数形结合、分离参数，结合单调性与极值画出函数简图分析根的分布。 考点 06 导数实际应用 2025 上海卷、2020 江苏 1. 创新填空小题，以上海、江苏卷为主。 2. 核心：几何面积最值模型（矩形、三角形），利用导数求解实际最大值。 3. 解题步骤：建立目标函数，求导找极值点，结合实际定义域取最优解。 考点01 切线方程 1. （2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2. （2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3. （2019·全国II卷·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C． 【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 4. （2018·全国I卷·高考真题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程. 详解：因为函数是奇函数，所以，解得， 所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得，故选D. 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5. （2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 6. （2019·天津·高考真题） 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程． 【详解】， 当时其值为， 故所求的切线方程为，即． 【点睛】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 7. （2019·全国I卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】. 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解： 所以， 所以，曲线在点处的切线方程为，即． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 8. （2018·全国II卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程. 【详解】由，得， 则曲线在点处的切线的斜率为， 则所求切线方程为，即. 【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 9. （2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 【答案】. 【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点，则.又， 当时，， 点A在曲线上的切线为， 即， 代入点，得， 即， 考查函数，当时，，当时，， 且，当时，单调递增， 注意到，故存在唯一的实数根，此时， 故点的坐标为. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 10. （2018·全国II卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 11. （2017·全国I卷·高考真题）曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】 【详解】设，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 12. （2017·天津·高考真题）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________ . 【答案】1 【详解】函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：， 切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)， l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1. 故答案为1. 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 考点02 切线问题求参数 1. （2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 2. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 3. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 4. （2018·全国III卷·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则________． 【答案】 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解： 则 所以 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 考点03 利用导数研究函数的单调性 1. （2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 2. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 3. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 4. （2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 5. （2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】 -1; . 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 6. （2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以数在上单调递增， 又，即，所以，即， 解得，故实数的取值范围为． 点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内． 考点04 利用导数研究函数的极值与最值 1. （2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 2. （2017·全国II卷·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得， 因为，所以，，故， 令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，故选A． 【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； （2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 3. （2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 4. （2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则的最小值是_____________． 【答案】 【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值. 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法； 方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出； 方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高； 方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高； 方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙； 方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解． 5. （2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 6. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 7. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 8. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 考点05 零点与方程的根 1. （2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 2. （2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 上单调递增， 在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 3. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 4. （2018·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 【答案】 【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出. 【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法 求导得， 当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点； 当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增． 当时，；当时，． 要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为． 故答案为：． ［方法二］： 等价转化 由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，． 只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一． ［方法三］：【最优解】三元基本不等式 同方法二得，，当且仅当时取等号， 要满足条件只需，下同方法一． ［方法四］：等价转化 由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图． 设切点，因为，于是，解得， 下同方法一． 【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法； 方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解； 方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解； 方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解． 5. （2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 6. （2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 考点06 导数的实际应用 1. （2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值. 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大.    故答案为： 2. （2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________． 【答案】 【分析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值. 【详解】 设圆心到直线距离为，则， 所以点P到AB的距离为或，且 所以 令（负值舍去） 当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $