专题14 解三角形选填题综合（10年汇编）（四大考点，28题）（全国通用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 解三角形选填题综合专题，汇编2017-2026年高考真题28题，覆盖正弦定理、余弦定理、面积计算及实际应用四大核心考点，注重基础题型与创新应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选填题|28题|正弦定理边角互化、余弦定理求边求角、三角形面积公式、实际问题建模|以高考真题为载体，基础题如2024全国甲卷正弦定理应用，中档题如2025全国二卷余弦定理与面积结合，创新题如2026北京卷摇杆机械装置建模，贴合高考命题趋势|

专题14 解三角形选填题综合 （四大考点，28题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 正弦定理解三角形 2026 天津卷、2024 全国甲卷、2024 上海卷、2023 北京卷、2023 全国乙卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2019 上海卷、2018 浙江卷、2017 山东卷、2017 全国 Ⅰ 卷、2017 全国 Ⅱ 卷、2017 全国 Ⅲ 1. 以选择、填空小题为主，解三角形基础核心题型，难度偏低。 2. 核心考查正弦定理边角互化、比例关系、已知两边一对角求解角度与边长。 3. 常结合三角恒等变换，注意锐角 / 钝角三角形多解讨论陷阱。 考点 02 余弦定理解三角形 2025 全国二卷、2023 全国乙卷、2023 全国甲卷、2023 上海卷、2018 全国 Ⅱ 卷、2018 全国 Ⅲ 卷、2018 北京卷、2017 全国卷 1. 高频必考小题，与正弦定理搭配出题，中档难度。 2. 核心利用余弦定理已知三边求角、两边夹角求第三边，结合角平分线模型命题。 3. 常结合三角形面积，限定钝角条件求解参数范围。 考点 03 三角形的面积 2019 全国 Ⅱ 卷、2018 全国 Ⅰ 卷、2018 江苏卷、2017 浙江卷 1. 填空高频考点，多结合均值不等式求面积最值。 2. 核心面积公式，角平分线背景为特色考法。 3. 常结合等腰三角形、多边形分割图形综合计算面积。 考点 04 解三角形及其应用 2026 北京卷、2024 上海卷、2021 全国乙卷 1. 创新应用题，以上海、北京卷为主，中档偏难。 2. 结合机械摇杆、古代海岛测量、方位角实际模型建模。 3. 读懂几何示意图，转化为标准三角形边角关系求解角度、边长范围。 考点01 正弦定理解三角形 1. （2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 2. （2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 3. （2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 4. （2019·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则= A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得 ，故选A． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用． 5. （2017·山东·高考真题）在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 所以，选A. 【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 6. （2017·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C= A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， ∵＜A＜π， ∴A= ， 由正弦定理可得， ∵a=2，c=， ∴sinC== ， ∵a＞c， ∴C=， 故选B． 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 7. （2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 8. （2024·上海·高考真题）三角形中，，则______ 【答案】 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【详解】三角形中，， ， 由正弦定理，，， 得． 故答案为：． 9. （2019·上海·高考真题）在中，，且，则____________ 【答案】 【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出. 【详解】由正弦定理可知：，又 由余弦定理可知： 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题. 10. （2018·浙江·高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________． 【答案】 3 【详解】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c. 详解：由正弦定理得,所以 由余弦定理得（负值舍去）. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 11. （2017·全国III卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________. 【答案】 【详解】由正弦定理，得，结合可得，则. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 12. （2017·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为，若，则 ________． 【答案】 【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角. 【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA. ∴2sinBcosB＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB. 又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝. ∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝. 又0<B<π，∴B＝. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 考点02 余弦定理解三角形 1. （2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2. （2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B.    3. （2018·全国III卷·高考真题）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 4. （2018·全国II卷·高考真题）在中，,BC=1,AC=5，则AB= A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为 所以，选A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 5. （2017·全国·高考真题）的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由，得， 则， 因为，所以． 故选：B. 6. （2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 7. （2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则__________． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得. 【详解】， A为的内角， . 故答案为:. 【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题. 8. （2018·北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 考点03 三角形的面积 1. （2019·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________. 【答案】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得， 所以， 即 解得（舍去） 所以， 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算． 2. （2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 【答案】9 【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为：. ［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式． 因为，所以，化简得，即，亦即， 所以， 当且仅当，即时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式 如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以． 下同方法一． ［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一． ［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在与中，由正弦定理得． 在中，由正弦定理得． 所以，由正弦定理得，即，下同方法一． ［方法六］： 相似＋基本不等式 如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则． 由，得，即，从而．下同方法一． 【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解； 方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大； 方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值； 方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大； 方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多； 方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单． 3. （2018·全国I卷·高考真题）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【答案】. 【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角 因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. ［方法二］：角化边 因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解； 方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积． 4. （2017·浙江·高考真题）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______． 【答案】 【详解】取BC中点E，由题意：， △ABE中，，∴， ∴． ∵，∴， 解得或（舍去）． 综上可得，△BCD面积为，． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解． 5. （2017·浙江·高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，________． 【答案】 【详解】将正六边形分割为6个等边三角形，则． 【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解． 考点04 解三角形及其应用 1. （2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【详解】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 2. （2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】A 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故选：A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 3. （2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 解三角形选填题综合 （四大考点，28题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 正弦定理解三角形 2026 天津卷、2024 全国甲卷、2024 上海卷、2023 北京卷、2023 全国乙卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2019 上海卷、2018 浙江卷、2017 山东卷、2017 全国 Ⅰ 卷、2017 全国 Ⅱ 卷、2017 全国 Ⅲ 1. 以选择、填空小题为主，解三角形基础核心题型，难度偏低。 2. 核心考查正弦定理边角互化、比例关系、已知两边一对角求解角度与边长。 3. 常结合三角恒等变换，注意锐角 / 钝角三角形多解讨论陷阱。 考点 02 余弦定理解三角形 2025 全国二卷、2023 全国乙卷、2023 全国甲卷、2023 上海卷、2018 全国 Ⅱ 卷、2018 全国 Ⅲ 卷、2018 北京卷、2017 全国卷 1. 高频必考小题，与正弦定理搭配出题，中档难度。 2. 核心利用余弦定理已知三边求角、两边夹角求第三边，结合角平分线模型命题。 3. 常结合三角形面积，限定钝角条件求解参数范围。 考点 03 三角形的面积 2019 全国 Ⅱ 卷、2018 全国 Ⅰ 卷、2018 江苏卷、2017 浙江卷 1. 填空高频考点，多结合均值不等式求面积最值。 2. 核心面积公式，角平分线背景为特色考法。 3. 常结合等腰三角形、多边形分割图形综合计算面积。 考点 04 解三角形及其应用 2026 北京卷、2024 上海卷、2021 全国乙卷 1. 创新应用题，以上海、北京卷为主，中档偏难。 2. 结合机械摇杆、古代海岛测量、方位角实际模型建模。 3. 读懂几何示意图，转化为标准三角形边角关系求解角度、边长范围。 考点01 正弦定理解三角形 1. （2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2. （2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3. （2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4. （2019·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则= A．6 B．5 C．4 D．3 5. （2017·山东·高考真题）在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 A． B． C． D． 6. （2017·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C= A． B． C． D． 7. （2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 8. （2024·上海·高考真题）三角形中，，则______ 9. （2019·上海·高考真题）在中，，且，则____________ 10. （2018·浙江·高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________． 11. （2017·全国III卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________. 12. （2017·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为，若，则 ________． 考点02 余弦定理解三角形 1. （2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2. （2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 3. （2018·全国III卷·高考真题）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A． B． C． D． 4. （2018·全国II卷·高考真题）在中，,BC=1,AC=5，则AB= A． B． C． D． 5. （2017·全国·高考真题）的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 6. （2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 7. （2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则__________． 8. （2018·北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 考点03 三角形的面积 1. （2019·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________. 2. （2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 3. （2018·全国I卷·高考真题）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 4. （2017·浙江·高考真题）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______． 5. （2017·浙江·高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，________． 考点04 解三角形及其应用 1. （2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 2. （2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 3. （2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $