专题05 统计与数字特征小题综合（10年汇编）（六大考点，28题）（全国通用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 统计与数字特征高考真题汇编，覆盖2017-2026年六大考点28题，聚焦基础与高频考点，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择、填空|28题|分层抽样、扇形与折线统计图、样本数字特征、变量相关关系及回归、离散型随机变量均值与方差|结合学生群体、气象数据等实际背景，考查数据分析素养；样本数字特征结合频率分布表，变量相关关系强调回归预测意义，贴合高考命题规律。|

专题05 统计与数字特征小题综合 （六大考点，28题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 分层抽样 2023 新课标 Ⅱ 卷、 2018 全国 Ⅲ 卷、 2017 江苏卷 1. 题型以选择、填空为主，难度较低，属于统计基础送分题。 2. 核心考查分层抽样定义、抽样比例计算、抽样方法选择判断。 3. 常结合产品、学生群体等实际背景出题，侧重分层抽样比例运算。 考点 02 扇形统计图与折线统计图 2018 全国 Ⅰ 卷、 2017 全国 Ⅲ 卷 1. 全部为选择题，依托图表给出数据，读图分析是核心能力。 2. 依托饼图、折线图判断收入、游客量等数据变化趋势与大小关系。 3. 侧重识图、数据估算，考查数据分析素养，易错点为总量变化下占比与实际数值区分。 考点 03 样本数字特征 2026 全国一卷、 2025 全国二卷、 2024 新课标 Ⅱ 卷、 2023 新课标 Ⅰ 卷、 2023 上海卷、 2019 全国 Ⅱ 卷 1. 选择、填空均有考查，是统计高频核心考点。 2. 考查中位数、平均数、极差、方差、标准差，结合频率分布表、条形图综合判断。 3. 常设置数据变形对比题型，判断数字特征是否变化，同时结合实际统计场景计算求值。 考点 04 变量间的相关关系及线性回归直线方程 2026 天津卷、 2025 天津卷、 2024 上海卷、2024 天津卷、 2023 上海卷、2023 天津卷 1. 以选择题为主，部分题目结合散点图直观判断。 2. 核心考查正负相关判定、相关系数 r 的意义、回归直线的预测含义。 3. 结合生物、气象、生活数据设置散点图，区分相关性强弱，强调回归仅为预测而非确定结果。 考点 05 离散型随机变量的均值 2026 全国一卷、2026 上海卷、 2025 全国一卷、2025 上海卷、2025 天津卷 1. 选择、填空均有，难度中等，常结合有放回抽样、生活场景构建分布列。 2. 核心考点：根据分布列计算数学期望、结合概率综合求解期望。 3. 题干情境丰富，涉及取球、运动打卡、空间点集等，需要先求解概率再计算均值。 考点 06 离散型随机变量的方差 2019 浙江卷、 2018 浙江卷、 2017 浙江卷、2017 全国 Ⅱ 卷 1. 以选择题为主，少量填空，集中在浙江卷与全国乙卷。 2. 考查两点分布方差变化趋势、二项分布方差公式计算。 3. 动态分析参数变化对方差大小的影响，侧重公式理解与单调性判断。 考点01 分层抽样 1. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 2. （2018·全国III卷·高考真题）某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 3. （2017·江苏·高考真题）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 考点02 扇形统计图与折线统计图 1. （2018·全国I卷·高考真题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 2. （2017·全国III卷·高考真题）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（    ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 考点03 样本数字特征 1. （2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2. （2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 3. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 4. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 5. （2023·上海·高考真题）如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（   ） A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大 B．从2018年开始，进出口总额逐年增大 C．从2018年开始，进口总额逐年增大 D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小 6. （2019·全国II卷·高考真题）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 7. （2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______； 8. （2023·上海·高考真题）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为_______________． 考点04 变量间的相关关系及线性回归直线方程 1. （2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 2. （2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 3. （2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 4. （2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 5. （2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（    ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 6. （2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 考点05 离散型随机变量的均值 1. （2026·全国一卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 2. （2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________． 3. （2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 4. （2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 5. （2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 考点06 离散型随机变量的方差 1. （2019·浙江·高考真题）设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2. （2018·浙江·高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 3. （2017·浙江·高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则 A．<，< B．<，> C．>，< D．>，> 4. （2017·全国II卷·高考真题）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________． 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 统计与数字特征小题综合 （六大考点，28题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 分层抽样 2023 新课标 Ⅱ 卷、 2018 全国 Ⅲ 卷、 2017 江苏卷 1. 题型以选择、填空为主，难度较低，属于统计基础送分题。 2. 核心考查分层抽样定义、抽样比例计算、抽样方法选择判断。 3. 常结合产品、学生群体等实际背景出题，侧重分层抽样比例运算。 考点 02 扇形统计图与折线统计图 2018 全国 Ⅰ 卷、 2017 全国 Ⅲ 卷 1. 全部为选择题，依托图表给出数据，读图分析是核心能力。 2. 依托饼图、折线图判断收入、游客量等数据变化趋势与大小关系。 3. 侧重识图、数据估算，考查数据分析素养，易错点为总量变化下占比与实际数值区分。 考点 03 样本数字特征 2026 全国一卷、 2025 全国二卷、 2024 新课标 Ⅱ 卷、 2023 新课标 Ⅰ 卷、 2023 上海卷、 2019 全国 Ⅱ 卷 1. 选择、填空均有考查，是统计高频核心考点。 2. 考查中位数、平均数、极差、方差、标准差，结合频率分布表、条形图综合判断。 3. 常设置数据变形对比题型，判断数字特征是否变化，同时结合实际统计场景计算求值。 考点 04 变量间的相关关系及线性回归直线方程 2026 天津卷、 2025 天津卷、 2024 上海卷、2024 天津卷、 2023 上海卷、2023 天津卷 1. 以选择题为主，部分题目结合散点图直观判断。 2. 核心考查正负相关判定、相关系数 r 的意义、回归直线的预测含义。 3. 结合生物、气象、生活数据设置散点图，区分相关性强弱，强调回归仅为预测而非确定结果。 考点 05 离散型随机变量的均值 2026 全国一卷、2026 上海卷、 2025 全国一卷、2025 上海卷、2025 天津卷 1. 选择、填空均有，难度中等，常结合有放回抽样、生活场景构建分布列。 2. 核心考点：根据分布列计算数学期望、结合概率综合求解期望。 3. 题干情境丰富，涉及取球、运动打卡、空间点集等，需要先求解概率再计算均值。 考点 06 离散型随机变量的方差 2019 浙江卷、 2018 浙江卷、 2017 浙江卷、2017 全国 Ⅱ 卷 1. 以选择题为主，少量填空，集中在浙江卷与全国乙卷。 2. 考查两点分布方差变化趋势、二项分布方差公式计算。 3. 动态分析参数变化对方差大小的影响，侧重公式理解与单调性判断。 考点01 分层抽样 1. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 2. （2018·全国III卷·高考真题）某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 【答案】分层抽样. 【详解】分析：由题可知满足分层抽样特点 详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样 故答案为分层抽样． 点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题． 3. （2017·江苏·高考真题）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 【答案】18 【详解】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N． 考点02 扇形统计图与折线统计图 1. （2018·全国I卷·高考真题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 2. （2017·全国III卷·高考真题）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（    ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可 【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错； 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确； 对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确； 对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确. 故选：A 考点03 样本数字特征 1. （2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2. （2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 3. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 4. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 5. （2023·上海·高考真题）如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（   ） A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大 B．从2018年开始，进出口总额逐年增大 C．从2018年开始，进口总额逐年增大 D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小 【答案】C 【分析】根据已知条形统计图分别判断各个选项即可. 【详解】2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A正确； 统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B正确； 2020年相对于2019年的进口总额是减少的，故C错误； 显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小， 且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确. 故选：C. 6. （2019·全国II卷·高考真题）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． ②原始平均数，后来平均数 平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确 ③ 由②易知，C不正确． ④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 7. （2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______； 【答案】946 【分析】设第二季度、第三季度分别为，利用平均数和中位数概念列出方程，解出即可. 【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为. 因为中位数与平均数相等，所以, 所以2020年GDP总额：. 故答案为：946. 8. （2023·上海·高考真题）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为_______________． 【答案】 【分析】求得各组的范围，从而确定组数. 【详解】第一组；第二组； 第三组；第四组； 第五组；第六组； 第七组. 所以组数为. 故答案为： 考点04 变量间的相关关系及线性回归直线方程 1. （2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 【答案】A 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 2. （2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 3. （2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项. 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 4. （2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 5. （2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（    ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 【答案】C 【分析】根据给定的散点图的特征，直接判断作答. 【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确； 由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势， 所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误. 故选：C 6. （2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】C 【分析】根据散点图的特点及经验回归方程可判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项. 【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误， 把代入可得，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 考点05 离散型随机变量的均值 1. （2026·全国一卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得，，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以； 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以； 解法三：因为，， 对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0， 因为，样本空间， 可知样本空间中存在唯一点与点对应， 所以中所有点的坐标和的总和为， 故. 2. （2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________． 【答案】/ 【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解. 【详解】因为随机变量的分布为，且， 所以，且， 解得. 3. （2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 【答案】 【分析】根据分布列结合期望公式可求期望. 【详解】由题设有. 故答案为：. 4. （2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】/ 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 5. （2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 考点06 离散型随机变量的方差 1. （2019·浙江·高考真题）设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得，则 ，则当在内增大时，先减小后增大. 方法2：则 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式. 2. （2018·浙江·高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】， ， ，∴先增后减，因此选D. 【点睛】 3. （2017·浙江·高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则 A．<，< B．<，> C．>，< D．>，> 【答案】A 【详解】∵，∴， ∵，∴，故选A． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确． 4. （2017·全国II卷·高考真题）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________． 【答案】1.96 【分析】根据二项分布，由公式得到结果. 【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布，,填1.96 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $