专练 24 相似与特殊图形 (一) 直角三角形（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦直角三角形相似模型，通过典例导练先引导学生证明射影定理夯实基础，再结合正方形性质应用定理实现进阶，搭建从相似三角形判定到特殊图形性质应用的学习支架。 资料以模型化分层设计为特色，射影型与作垂直构造相似模型搭配示范题与检测题，帮助学生用数学眼光抽象图形关系，通过推理能力解决折叠、旋转等问题，提升几何直观与逻辑思维。

专练24 相似与特殊图形（一） 直角三角形 典例导练 模型一 射影型相似 示范题 1. （1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． （2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明． 知能检测 模型二 作垂直构造相似 2. 如图，在中，，，点，分别在，上，将沿直线翻折，点恰好落在上的点处，若，求的值． 3. 如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转． （1）当时，的值为__________． （2）当时，求的值．（用含的式子表示） 专练24 相似与特殊图形（一） 直角三角形 典例导练 模型一 射影型相似 示范题 【1题答案】 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）由AA证明，再结合相似三角形对应边成比例即可解题； （2）根据正方形的性质及射影定理解得BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，再运用SAS证明△BOF∽△BED即可． 【详解】证明：（1）如图1， （2）如图2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD＝90°， ∴BC2＝BO•BD， ∵CF⊥BE， ∴BC2＝BF•BE， ∴BO•BD＝BF•BE，即， 而∠OBF＝∠EBD， ∴△BOF∽△BED． 【点睛】本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 知能检测 模型二 作垂直构造相似 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，由折叠可得，垂直平分，通过直角三角形两个锐角互余可得到 ，即可证明 ，通过相似三角形的性质得到，再根据等腰三角形的性质和判定得到，根据平行线分线段成比例得到，即可得到，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：连接，过点作于点， 由折叠可得，垂直平分， ， ， ， 又 ， ， ， 在中，，， ， ， , ， ， ， ， ， ． 【3题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作于，于，先证明四边形为矩形，然后由等角的余角相等得到 ，即可证明 ，由相似三角形的性质得到，再根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到，，代入可得，最后将代入，即可求出的值； （2）由（1）可得，将代入，即可求出的值． 【小问1详解】 解：． 【提示】作于，于， ， 又， 四边形为矩形， ，， ， 又 ， ， ， ， ，， ， 在和中，，， ， 当时，． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $