专题27 向量的坐标表示（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 向量的坐标表示 【复习目标】 1. 了解平面向量的坐标表示； 2. 理解平面向量共线、垂直的条件。 【考点1 平面向量的坐标定义】 1. 在平面直角坐标系中，取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内任意一个向量，有且只有一对实数，使得. 2. 向量的坐标表示：，其中为向量的横坐标，为向量的纵坐标. 3. 特殊向量坐标： 零向量：；单位向量，. 4. 若向量的起点为坐标原点，终点为，则向量. 5. 若已知两点，，则向量（终点坐标减起点坐标）. 【考点2 向量的坐标运算】 设，，为实数，则： 1. 向量加法的坐标运算：； 2. 向量减法的坐标运算：； 3. 数乘向量的坐标运算：； 4. 向量内积（数量积）的坐标运算：. 【考点3 向量内积核心推论】 1. 向量模长与内积关系：，向量的模长公式：； 2. 两点间距离公式：若，，则； 3. 向量夹角余弦坐标公式：. 【考点4 向量平行（共线）的坐标判定】 设，（），则. 【考点5 向量垂直的坐标判定】 设，，则. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 已知点，，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【考点】平面向量两点坐标公式 【答案】A 【解析】根据向量两点坐标公式，代入、，可得 ，故选A. 2. 已知，，则 等于（ ） A. B. C. D. 【考点】向量数乘与减法坐标运算 【答案】C 【解析】数乘运算：， 向量减法：. 3. ， 的数量积是（ ） A. B. C. D. 【考点】平面向量数量积坐标运算 【答案】D 【解析】代入公式计算：. 4. 若向量 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【考点】向量数乘、加减线性运算、数量积坐标运算 【答案】B 【解析】分别化简两个向量：， ， 计算数量积：. 5. 下列向量中与向量 垂直的是（ ） A. B. C. D. 【考点】向量垂直判定：数量积为0 【答案】D 【解析】依次验证各选项数量积是否为0： A：，不垂直；B：，不垂直； C：，不垂直；D：，数量积为0，两向量垂直. 6. ，，，，，则 为（ ） A. B. C. D. 【考点】向量平行、垂直坐标条件综合应用 【答案】C 【解析】由 得：；由 得：. 故 . 二、多项选择题 7. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【考点】向量坐标加减运算、向量共线判定、向量模长计算 【答案】ACD 【解析】逐一验证选项： 向量加法：，A正确； 向量内积：，B错误； 共线判定：，故，C正确； 模长计算：，D正确. 8. 已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是 A. B. C. D. 【考点】向量坐标、向量平行判定 【答案】ABC 【解析】先求向量坐标： 两向量平行的充要条件是：一个向量是另一个向量的实数倍 选项A：，平行，正确；选项B：，平行，正确； 选项C：，平行，正确；选项D：不存在实数使得，不平行，错误； 综上，本题选ABC. 三、填空题 9. 已知 为单位向量，则 ________. 【考点】单位向量定义：向量模长为1 【答案】 【解析】单位向量满足 ，故：，展开计算： 解得：. 10. 已知，，则_________，_________. 【考点】向量坐标减法运算、数乘向量运算 【答案】； 【解析】2； . 11. 已知，，若，则________；若，则________. 【考点】向量垂直、平行的坐标判定 【答案】； 【解析】垂直判定：，解得，； 平行判定：，解得. 12. 已知向量 、、，，则实数 ______；与 的夹角是______. 【考点】向量平行判定、向量夹角计算 【答案】； 【解析】由 得： 所以，，，， 代入公式，计算得夹角 . 四、解答题 13. 已知点 、、，、、. (Ⅰ) 求 的坐标； (Ⅱ) 求 的坐标； (Ⅲ) 求 与 的夹角. 【考点】向量坐标求解、线性运算、向量夹角计算 【答案】(Ⅰ) ，，；(Ⅱ) ；(Ⅲ) 【解析】(Ⅰ) ； ；； (Ⅱ) ； (Ⅲ) ，， 所以，则 . 14. 已知平面向量，，解答下列问题： (Ⅰ) 求； (Ⅱ) 若向量与平行，求实数的值； (Ⅲ) 若向量与垂直，求实数的值. 【考点】向量坐标混合运算、向量模长计算、向量共线参数求解 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) 【解析】(Ⅰ) ； 根据模长公式：； (Ⅱ) 向量与平行，根据共线的坐标判定条件可得： ，解得； (Ⅲ) 向量与垂直，根据向量垂直的坐标判定条件可得： ，解得. 1.（2026年湖北省技能高考第20题）若向量 ，， 与 共线，则 的值为（ ） A. 3　 B. 　 C. 5　 D. 【考点】平面向量共线的坐标判定： 【答案】B 【解析】若 ，，两向量共线满足： 代入坐标得：，解得 ，本题选 B. 2.（2025年湖北省技能高考第20题）已知向量 ，，若 ，则实数 （ ） A. 1　 B. 2　 C. 3　 D. 4 【考点】平面向量垂直的坐标判定： 【答案】B 【解析】根据平面向量垂直的坐标充要条件，两向量垂直则数量积为0. 代入坐标计算数量积： 由 得：，解得 . 3.（2024年湖北省技能高考第19题）已知 ，，则 （ ） A. 1 　 B. 3 　 C. 5 　 D. 7 【考点】平面向量数量积坐标运算公式： 【答案】C 【解析】直接代入数量积坐标运算公式：. 4.（2022年湖北省技能高考第29题）已知 ，，则 (1) ；(2) . 【考点】向量数量积运算、向量夹角公式 【答案】(1) ；(2) 【解析】(1) 数量积计算：； (2) 求模长：，， 代入向量夹角公式，得 ，由向量夹角范围 ，得 . 5.（2021年湖北省技能高考第25题）向量 ，，，则 . 【考点】向量平行的坐标判定公式 【答案】 【解析】两向量平行，坐标满足：，代入坐标：， 化简：，解得 . 6.（2020年湖北省技能高考第23题），，且 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 【考点】向量线性坐标运算、向量垂直的坐标判定 【答案】A 【解析】， 由向量垂直，数量积为0，得 ，代入坐标：， 展开计算：，解得：. 7.（2019年湖北省技能高考第23题）若向量 ，，，则 （ ） A. B. C. D. 【考点】向量平行坐标判定、向量减法运算、向量模长计算 【答案】B 【解析】由向量平行坐标条件：，得 ， ，， 所以，. 8.（2018年湖北省技能高考第24题），，且 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 【考点】向量线性运算、数量积运算、一元一次方程求解 【答案】C 【解析】∵， ， 又，∴， 展开：，合并同类项：，解得：. 9.（2016年湖北省技能高考第30题）已知 ，， (Ⅰ) 若 ，求实数； (Ⅱ) 向量 ，满足 ，，求 的值. 【考点】向量线性运算、数量积运算、向量平行与垂直综合、二元一次方程组求解 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】(Ⅰ) 化简向量：， 代入数量积公式列方程： 展开整理：，解得：； (Ⅱ) 化简向量：， 由 得平行条件：，整理得： ① 由 得垂直条件：，整理得： ② 联立①②，由②得 ，代入①： 代入求： 综上：. 10.（2015年湖北省技能高考第29题）解答下列问题： (Ⅰ) 已知 ，满足 ，求 ； (Ⅱ) 已知 ，求 与 的夹角 . 【考点】向量线性坐标运算、向量夹角公式 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ) 展开线性运算： 对应坐标相等列方程：，解得：. (Ⅱ) ，， ， 代入夹角公式：，由 ，得 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 向量的坐标表示 【复习目标】 1. 了解平面向量的坐标表示； 2. 理解平面向量共线、垂直的条件。 【考点1 平面向量的坐标定义】 1. 在平面直角坐标系中，取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内任意一个向量，有且只有一对实数，使得______________. 2. 向量的坐标表示：，其中为向量的横坐标，为向量的纵坐标. 3. 特殊向量坐标： 零向量：；单位向量，. 4. 若向量的起点为坐标原点，终点为，则向量. 5. 若已知两点，，则向量_______（终点坐标减起点坐标）. 【考点2 向量的坐标运算】 设，，为实数，则： 1. 向量加法的坐标运算：_____________； 2. 向量减法的坐标运算：______________； 3. 数乘向量的坐标运算：； 4. 向量内积（数量积）的坐标运算：. 【考点3 向量内积核心推论】 1. 向量模长与内积关系：，向量的模长公式：； 2. 两点间距离公式：若，，则_____________________； 3. 向量夹角余弦坐标公式：______________. 【考点4 向量平行（共线）的坐标判定】 设，（），则______________. 【考点5 向量垂直的坐标判定】 设，，则______________. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 已知点，，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. ， 的数量积是（ ） A. B. C. D. 4. 若向量 ，，则 （ ） A. B. C. D. 5. 下列向量中与向量 垂直的是（ ） A. B. C. D. 6. ，，，，，则 为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 7. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是 A. B. C. D. 三、填空题 9. 已知 为单位向量，则 ________. 10. 已知，，则________，________. 11. 已知，，若，则________；若，则________. 12. 已知向量 、、，，则实数 ____；与 的夹角是________. 四、解答题 13. 已知点 、、，、、. (Ⅰ) 求 的坐标； (Ⅱ) 求 的坐标； (Ⅲ) 求 与 的夹角. 14. 已知平面向量，，解答下列问题： (Ⅰ) 求； (Ⅱ) 若向量与平行，求实数的值； (Ⅲ) 若向量与垂直，求实数的值. 1.（2026年湖北省技能高考第20题）若向量 ，， 与 共线，则 的值为（ ） A. 3　 B. 　 C. 5　 D. 2.（2025年湖北省技能高考第20题）已知向量 ，，若 ，则实数 （ ） A. 1　 B. 2　 C. 3　 D. 4 3.（2024年湖北省技能高考第19题）已知 ，，则 （ ） A. 1 　 B. 3 　 C. 5 　 D. 7 4.（2022年湖北省技能高考第29题）已知 ，，则 (1) ；(2) . 5.（2021年湖北省技能高考第25题）向量 ，，，则 . 6.（2020年湖北省技能高考第23题），，且 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 7.（2019年湖北省技能高考第23题）若向量 ，，，则 （ ） A. B. C. D. 8.（2018年湖北省技能高考第24题），，且 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 9.（2016年湖北省技能高考第30题）已知 ，， (Ⅰ) 若 ，求实数； (Ⅱ) 向量 ，满足 ，，求 的值. 10.（2015年湖北省技能高考第29题）解答下列问题： (Ⅰ) 已知 ，满足 ，求 ； (Ⅱ) 已知 ，求 与 的夹角 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $