专题10 指数函数（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数函数 1．了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质； 2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质； 3．会解简单的指数方程、不等式； 4．了解指数函数在实际问题中的简单应用． 【考点1 指数幂】 1. 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 ，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 ，负数的n次方根是一个 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 ，它们互为 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 【即时训练】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则等于（　　） A． B． C． D． 3．将根式化为分数指数幂是（ ） A． B． C． D． 4．将 写成根式，正确的是 （   ） A． B． C． D． 5．下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 7． （    ） A． B． C． D． 8．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 9．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10． __________； 【考点2 指数函数的概念和图像】 1.　指数函数定义 函数 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2.指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 【即时训练】 1．若指数函数的图像经过点，则其解析式可以写作（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．函数是指数函数，则（   ） A．8 B． C．4 D．2 5．在同一直角坐标系中，函数与函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数（且）的图像恒过定点P，则定点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【考点3 指数函数的单调性】 1.判断指数函数的单调性（根据底数） 2.比较同底指数幂的大小 3.复合指数函数的单调区间 4.利用单调性解不等式（如ax>ay型） 【即时训练】 1．下列各函数中，在内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．为递减区间 C．是奇函数 D．值域为 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点4 指数方程】 指数方程的常见类型与解法 类型 形式 解题方法 关键点 同底型 af(x)=ag(x) 转化为f(x)=g(x) 底数 a>0 且a≠1 异底可化同底型 af(x)=bg(x)（可化为同底） 将底数化为相同，再令指数相等 利用幂的运算性质 换元型 含 a2x、ax 的方程 换元法：令t=ax（t>0） 转化为普通方程后要验根 【即时训练】 1．解指数方程：__________. 2．指数方程的解是__________. 3．解； 4．解方程 4x-1=8 x+1 1. （2025·河北对口升学·真题T07）如图，函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 2. （2023·河北对口升学·真题T09）已知，其中，则、、从小到大顺序为（ ） A. B. C. D. 3. （2023·河北对口升学·真题T18）已知，则a，b，c按由小到大的顺序排列为_______. 4. （2023·河北对口升学·真题T02）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5.（2021·河北对口升学·真题T22）已知方程，则__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数函数 【复习目标】 1．了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质； 2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质； 3．会解简单的指数方程、不等式； 4．了解指数函数在实际问题中的简单应用． 【考点1 指数幂】 1. 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 【即时训练】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的化简及指数幂的运算可判断. 【详解】因为，，，， 所以只有D选项正确. 故选：D 2．已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数幂与根式的关系，结合对应根次数确定根即可. 【详解】已知， 则． 故选：B. 3．将根式化为分数指数幂是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根式化为分数指数幂即可求解. 【详解】根式化为分数指数幂是， 故选：A. 4．将 写成根式，正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式即可解答. 【详解】， 故选：C. 5．下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘除法、合并同类项、积的乘方及幂的乘方进行计算即可. 【详解】A. ，原式计算正确，不符合题意； B. ，原式计算正确，不符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，原式计算正确，不符合题意. 故选：C. 6．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算即可求解. 【详解】对A，，故A错误. 对B，，故B错误. 对C，要使有意义，则且，即，故C错误. 对D，，故D正确. 故选：D. 7． （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再进行运算即可. 【详解】， 故选：B 8．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的运算法则进行计算. 【详解】. 故选：C. 9．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂运算解答即可. 【详解】， 故选：. 10． __________； 【答案】16 【分析】由指数幂的运算计算即可. 【详解】 . 故答案为：16. 【考点2 指数函数的概念和图像】 1.　指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2.指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 【即时训练】 1．若指数函数的图像经过点，则其解析式可以写作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的解析式求解. 【详解】设该指数函数的解析式为（且）， 因为函数图像经过点，所以，解得， 所以该指数函数的解析式为， 故选：A. 2．下列函数中，为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念可判断. 【详解】因为形如且的函数为指数函数， 所以只有C选项符合要求. 故选：C 3．已知函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用函数的解析式直接代入即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 4．函数是指数函数，则（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用函数为指数函数求出参数值，再求函数值即可. 【详解】函数是指数函数，则，即， 则，； 故选：D. 5．在同一直角坐标系中，函数与函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和指数函数的图像的特点进行分析即可. 【详解】已知与轴交于点， 且恒过点， 则当时，与轴交点位于的上方， 且图像为上升趋势，BD均不符合. 则当时，与轴交点位于的下方， 且图像为下降趋势，A不符合，C符合. 故选：C. 6．已知函数（且）的图像恒过定点P，则定点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的值，再将其代入函数解析式，即可得定点坐标. 【详解】令，解得：， 所以， 所以定点P的坐标为， 故选：A. 【考点3 指数函数的单调性】 1.判断指数函数的单调性（根据底数） 2.比较同底指数幂的大小 3.复合指数函数的单调区间 4.利用单调性解不等式（如ax>ay型） 【即时训练】 1．下列各函数中，在内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数，指数函数的单调性即可得解. 【详解】，在内为减函数，故不符合题意； ，底数，在定义域上为增函数，在内为增函数，故正确； ，底数，在定义域上为减函数，即在内为减函数，故错误； ，底数，在定义域上为减函数，即在内为减函数，故错误； 故选：. 2．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．为递减区间 C．是奇函数 D．值域为 【答案】B 【分析】根据指数型复合函数的图像与性质逐个进行判断. 【详解】A. 显然，函数的定义域为R，故A错误； B. 函数是与组成的复合函数， 函数的对称轴为，开口向上， 在上单调递增，在上单调递减， 显然在R上单调递减， 根据复合函数同增异减的原则， 可知函数在上单调递减，故B正确； C.由A知，函数的定义域关于原点对称，， 故函数不是奇函数，故C错误； D. ， 函数在R上单调递减， 所以，又恒成立， 故函数的值域为，故D错误. 故选：B. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】不等式可化为， 根据指数函数在上单调递增， 所以有，即， 所以不等式的解集为. 故选：A. 4．不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性进行求解即可解得. 【详解】由题，， 又知在上单调递增， 则，解得， 所求不等式的解集为. 故选：B 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式，解指数不等式即可求解. 【详解】由，可得，根据指数函数的单调性， 解得. 故函数的定义域为. 故选：B 6．已知，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】， 则，因为为在上的减函数， 所以， 故选：. 7．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、指数函数、和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为幂函数是增函数，且，所以，故A错误； 因为指数函数是减函数，且，所以，故B错误； 因为指数函数是增函数，且，所以，故C正确； 因为对数函数在上单调递减，且，所以，故D错误． 故选：C. 【考点4 指数方程】 指数方程的常见类型与解法 类型 形式 解题方法 关键点 同底型 af(x)=ag(x) 转化为f(x)=g(x) 底数 a>0 且a≠1 异底可化同底型 af(x)=bg(x)（可化为同底） 将底数化为相同，再令指数相等 利用幂的运算性质 换元型 含 a2x、ax 的方程 换元法：令t=ax（t>0） 转化为普通方程后要验根 【即时训练】 1．解指数方程2x+3=32 32=25，原式化为 2 x+3=25。 底数相同，令指数相等：x+3=5，解得x=2。 2．指数方程的解是__________. 【答案】 【分析】由方程看成关于的二次方程，解得（舍或，从而得到方程的解． 【详解】：， （舍或，解得． 故答案为：． 3．解； 【答案】 【分析】根据指数运算得到，解得答案. 【详解】（1），故， ∴，∴，得. 4．解方程 4x-1=8 x+1 解：原式化为  (22) x-1=(23) x+1。 即 22x−2=23x+3，令指数相等：2x−2=3x+3，解得 x=−5。 1. （2025·河北对口升学·真题T07）如图，函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图像与性质判断． 【详解】∵函数在上单调递增，过点，且， ∴函数在上单调递减，且过点，且， 故ABC不符，D符合， 故选：D． 2. （2023·河北对口升学·真题T09）已知，其中，则、、从小到大顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因其中， 所以在为减函数， 因为，且有， 所以即. 故选：D. 3. （2023·河北对口升学·真题T18）已知，则a，b，c按由小到大的顺序排列为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质和对数的运算性质分析即可. 【详解】因为， 又在定义域上单调递增， 所以， 因为在上单调递增， 又因为， 所以a，b，c按由小到大的顺序排列为. 故答案为：. 4. （2023·河北对口升学·真题T02）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质和指数函数，对数函数的单调性逐个分析即可. 【详解】A选项，当时，则有，所以A错误. B选项，当时，则有，所以B错误. C选项，由于为增函数，且，则，所以C正确. D选项，由于为增函数， 当时，，且， 则，所以D 错误. 故选：C. 5.（2021·河北对口升学·真题T22）已知方程，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据换元法和指数幂的运算解方程即可. 【详解】已知， 设，， 则等价于， 即，解得或（舍去）， 所以，即，解得， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $