2027年高考第一轮专题第18讲 复数

该高中数学高考复习课件聚焦复数专题，依据课标要求梳理定义、几何意义、四则运算等核心考点，对接高考评价体系分析运算（占比高）、几何意义（高频）等权重，归纳概念辨析、模的计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于真题实战与技巧指导，如典例2用模的性质法简化分式复数模计算，培养运算能力（数学思维），典例4结合复平面向量求三角形面积，发展几何直观（数学眼光）。助力学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习指导。

第18讲 复数 数 学 目标导航•建网络 教材核心知识 课标要求 学业水平评价要求 复数的定义及相关概念 通过方程的解,认识复数 了解 复数的几何意义及其应用 理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义 理解 复数代数形式的四则运算 掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义 理解 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 知能构建•强技能 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 2.复数的几何意义及其应用 复平面:我们知道,实数与数轴上的点一一对应,推广到复数,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都与平面直角坐标系上的点(a,b)一一对应,将这个平面叫做复平面.点的横坐标代表复数的实部,纵坐标代表复数的虚部,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴. 复数的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应 复平面内的点Z(a,b)一一对应 平面向量. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 5.复数方程 (1)代数基本定理:任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根; 一元n次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计). 实系数一元二次方程当Δ<0时有2个共轭复根;实系数一元n次方程虚根总是成对出现的. (2)复数方程表示的轨迹: 设复数z=x+yi(x,y∈R),z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则|z-z1|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆;|z-z1|=λ|z-z2|(λ≠1)表示圆;|z-z1|=|z-z2|表示线段Z1Z2的中垂线. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 实战演练•明方向 考向1　 复数的概念 典例1复数2-i(i为虚数单位)的实部是(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 C 解析 显然复数2-i的实部是2.故选C. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 典例2已知复数z=,那么|z|=　　　　. 解析 因为z===-i, 所以|z|=. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向2　 复数的几何意义 典例3已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 解析 ∵z=1+2i, ∴=1-2i,在复平面内对应的点为(1,-2).故选D. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 典例4已知复数z1=3+i,z2=-1+3i(i为虚数单位)在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,则△OZ1Z2的面积为___________. 5 归纳总结复数及其方程可对应于复平面上的点、向量、直线和轨迹,从而为几何法解复数问题提供了依据. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向3　 复数的运算 典例5(2025浙江7月学考)(1+i)(1-i)=(　　) A.-i B.i C.0 D.2 D 解析 由题意可得(1+i)(1-i)=1-i2=2.故选D. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向4　 复数方程 典例6(多选) 在复数范围内(i是虚数单位),下列选项正确的有(　　) A.关于x的方程x3=1的解为x=1 B.复数z=i2 023(2+3i)的虚部是-2 C.若复数z满足z2=3+4i,则|z|= D.已知a,b∈R,若i-a是关于x的方程x2+bx+2=0的一个根,则a=1,b=2 BC 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 归纳总结i幂值具有周期性:对于n∈N*,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 1.复数的定义及相关概念 (1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部. (2)复数的分类:已知复数z=a+bi(a,b∈R),①当且仅当b=0时,复数z为实数;②当b≠0时,复数z为虚数;③当a=0且b≠0时,复数z为纯虚数. (3)复数的模:|z|=|a+bi|=(注意|z|2≠z2). (4)共轭复数:当两个复数实部相同,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,即z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数=a-bi. (5)两个复数相等:若两个复数的实部和虚部分别对应相等,则称这两个复数相等,即a+bi=c+di⇔ (6)z∈R⇔z=;z为纯虚数⇔z+=0. 3.复数代数形式的四则运算 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R) (1)加法:z1+z2=(a+c)+(b+d)i. (2)减法:z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (3)乘法:z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 注:乘法运算可以把i理解为字母,进行分配律的运算. (4)除法:(a+bi)÷(c+di)=i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0). 注:除法不要死记公式而要理解方法:由于复数的标准形式为z=a+bi(a,b∈R),所以不允许分母带有i,分子分母同时乘分母的共轭复数即可. 4.共轭复数的运算规律和模的性质 ()==z;|z|2=z,||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|,|z1z2|=|z1||z2|,||=. 归纳总结例2求复数的模除了通过分母实数化把复数化成标准形式再求模,也可用模的性质计算:|z|==. 解析 因为复数z1=3+i,z2=-1+3i(i为虚数单位)在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,所以Z1(3,1),Z2(-1,3),所以=(3,1),=(-1,3),则||=,||==-1×3+1×3=0,所以OZ1⊥OZ2,所以|||==5. 解析 对于A,方程x3=1化为(x-1)(x2+x+1)=0,解得x=1或x=-i, 故A错误; 对于B,z=-i(2+3i)=3-2i,即复数z=i2 023(2+3i)的虚部是-2,故B正确; 对于C,设z=c+di,c,d∈R,则(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i,于是解得c2=4,d2=1,所以|z|=,故C正确; 对于D,依题意,(i-a)2+b(i-a)+2=0,即(a2-ab+1)+(b-2a)i=0,于是解得故D错误.故选BC. $