14.2 第4课时 运用 “斜边、直角边 (HL)” 证三角形全等（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案作业手册（人教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“斜边、直角边（HL）”判定直角三角形全等，通过基础题直接引入HL条件，结合实际情境应用，衔接之前学过的SSS、SAS等判定方法，构建从具体到抽象的知识支架。 资料分层设计习题，从基础辨析到能力提升再到思维拓展，如错误证明辨析培养推理意识，网格问题发展几何直观，动态分类讨论激发创新意识，详细解析助力学生掌握判定方法，提升数学思维与应用能力。

第4课时 运用“斜边、直角边（HL）”证三角形全等 01 基础达标 知识点一 利用“HL”判定两个直角三角形全等 1. 如图，可直接用“”判定和全等的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，利用“HL”判定与全等，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明和小芳以相同的速度分别从A，B同时出发，小明沿行走，小芳沿行走，并同时到达C，D．若，，则与相等吗？为什么？ 知识点二 判定方法的灵活选择 4. 如图，，，请添加一个条件，使． （1）添加________，根据是________； （2）添加________，根据是________； （3）添加________，根据是________； （4）添加________，根据是________． 5. 如图，为的高，为上一点，交于点，且有． 求证：． 证明：． 在和中， ． ． 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程． 02 能力提升 6. 如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是（ ）． A. Rt△ACD和Rt△BCE全等 B. OA=OB C. E是AC的中点 D. AE=BD 7. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图．在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段交于点F，若，则______． 9. 如图，，，，点P和点Q从A点出发，分别在线段和射线上运动，且，当点P运动到________，与全等． 10. 如图，过点C，于点E，于点F，．求证：． 03 思维拓展 11. 已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． （1）若在的同侧（如图①）求证：． （2）若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 第4课时 运用“斜边、直角边（HL）”证三角形全等 01 基础达标 知识点一 利用“HL”判定两个直角三角形全等 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 故选：C 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即或． 【详解】解：∵，且， ∴添加条件或，都能利用“”判定， 观察四个选项，选项A符合题意． 故选：A． 【3题答案】 【答案】相等，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练应用该知识点是解题的关键．根据题意，可知，结合，，可用证明，从而推出对应边相等． 【详解】解：．理由： 小明和小芳以相同的速度分别从A，B同时出发，小明沿行走，小芳沿行走，并同时到达C，D， ． ，， ． 在和中，， ， ． 知识点二 判定方法的灵活选择 【4题答案】 【答案】 ①. ②. HL ③. ④. HL ⑤. ⑥. AAS ⑦. ⑧. AAS 【解析】 【分析】通过全等三角形的判定进行求解即可； 【详解】（1），， ． ， ； （2）， ； （3）， ； （4）， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定知识点，准确计算是解题的关键． 【5题答案】 【答案】不正确．三角形全等的判定方法中没有“”．正确的证明过程见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明即可解答． 【详解】解：不正确．三角形全等的判定方法中没有“”．正确的证明过程： ， ． 在和中， ， ． 02 能力提升 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据HL证Rt△ACD≌Rt△BCE即可判断A；根据以上全等推出AE=BD，再证△AOE≌△BOD，即可判断B和D，根据已知只能推出AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，即可判断C． 【详解】解：A.∵∠C=∠C=90°， ∴△ACD和△BCE是直角三角形， 在Rt△ACD和Rt△BCE中， ∵AD=BE，DC=CE， ∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），正确； B.∵Rt△ACD≌Rt△BCE， ∴∠B=∠A，CB=CA， ∵CD=CE， ∴AE=BD， 在△AOE和△BOD中， ∵ ∴△AOE≌△BOD（AAS）， ∴AO=OB，正确，不符合题意； C.AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，错误，符合题意； D.∵Rt△ACD≌Rt△BCE， ∴∠B=∠A，CB=CA， ∵CD=CE， ∴AE=BD，正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】共有4对，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可． 【详解】∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠AEE＝90°， 在△ADC和△AEB中， ∵∠ADC=∠AEB，∠DAC=∠EAB，AC=AB， ∴△ADC≌△AEB（AAS）； ∴AD＝AE，∠C＝∠B， ∵AB＝AC， ∴BD＝CE， 在△BOD和△COE中， ∵∠B=∠C，∠BOD=∠COE，BD=CE， ∴△BOD≌△COE（AAS）； ∴OB＝OC，OD＝OE， 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ∵OA=OA，OD=OE， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）； ∴共有3对全等的直角三角形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关概念是解题关键. 【8题答案】 【答案】##132度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，如图，证明，得到，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【9题答案】 【答案】5或10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．分两种情况，根据全等三角形的判定及性质即可得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： ①当时， 在和中， ， ， ②当时， 在和中， ， ， 综上所述，当点P运动到或时，与全等 ． 故答案为：5或10． 【10题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质，可得，从而，则有，然后利用 即可求证． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 03 思维拓展 【11题答案】 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论； （2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论． 【小问1详解】 证明：于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； 【小问2详解】 解：， 于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $