第9练 指数函数与对数函数的应用《数学》基础模块下册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》同步练（第五章第9练指数函数与对数函数的应用），以三阶梯度设计实现从单一公式应用到复杂情境建模的知识巩固，适配中职教学“基础+适度提升”需求，培养数学眼光、思维与语言素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1、6，填空7、9、10）|指数/对数函数基本模型|直接套用公式，如年产值增长、细菌分裂等简单情境| |提升层（选择2、3、4，填空8）|函数性质与计算应用|结合参考数据求解，如研发资金增长、翻译准确率提升| |综合层（选择5，解答11、12）|多知识点综合建模|复杂情境分析，如充电数据模型、广告投入利润关系，需数据处理与模型选择|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第五章 指数函数与对数函数 第 9 练 指数函数与对数函数的应用 一、选择题 1．某工厂的年产值从2020年开始每年比上一年增长8%，设2020年产值为 万元，则经过 年后的年产值 与 的函数关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数增长模型求解即可. 【详解】 已知2020年（初始年份）年产值为a万元，每年增长率为， 即每年产值是上一年的倍： 经过1年后的年产值：， 经过2年后的年产值：， 以此类推，经过年后的年产值满足：. 故选：A. 2．某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 【答案】C 【分析】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则，即可求解. 【详解】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元， 则， 则， 所以的最小整数值为4，此时的年份是年. 故选：C. 3．已知放射性物质的剩余质量占初始质量的比例与时间（单位：年）的关系为．若经过5年，剩余质量变为初始质量的，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意代入解析式，求解即可. 【详解】根据题意，将年、剩余质量比例代入关系式， ，即，可得. 故选：A. 4．以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度与时间（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的至少需要的时间为（    ）（参考数据：） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 【答案】C 【分析】根据题意列方程，再由对数的运算法则求解即可. 【详解】由题意得， 则，由， 则，所以， ， 即个月，根据题意“至少需要的时间”， 所以需要向上取整，则至少需要的时间为个月． 故选：C. 5．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比”.根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从999提升至，使得增加了一半，则的值大约为（参考数据：）（   ） A．31599 B．31601 C．315999 D．316001 【答案】A 【分析】根据题意写出信噪比为999时的，再写出信噪比为时的，利用对数性质化简即可得解. 【详解】最大信息传送速率的公式， 当时，； 当时，， 则， 所以， 解得， 故选：. 6．一种产品原来的年产量是a件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量y（单位：件）关于经过的年数x（且）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解每年产量是上一年的倍数，再根据指数型函数模型求解即可. 【详解】∵原年产量是a件，计划使产量平均每年比上一年增加， ∴每年产量是上一年的倍， ∴经过的年数x（且）后的年产量为， ∴函数解析式为. 故选：A. 二、填空题 7．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：月）满足函数，若投资个月后收益为1500元，则____________． 【答案】18 【分析】根据题意把代入函数中即可得解. 【详解】由题可知收益与投资时间满足函数， 所以当收益，代入函数中为， 整理为，即，解得. 故答案为：. 8．某科技公司研发的翻译系统，初始版本的翻译准确率为，后续每更新一个版本，准确率会在前一版本基础上提升（即变为前一版本的倍）．当准确率首次超过时，该系统已更新了_______个版本.（参考数据） 【答案】9 【分析】设更新个版本，则准确率为，根据题意列不等式为，解不等式即可求解. 【详解】设更新个版本，初始版本的翻译准确率为， 每个版本准确率会变为前一版本的倍， 则准确率为， 当准确率首次超过，则， 即，所以， 所以当准确率首次超过时，该系统已更新了9个版本． 故答案为：9. 9．一种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则经过2小时，这种细菌由一个可以繁殖为_____个.（分裂过程中细菌不死亡） 【答案】 【分析】根据指数增长模型即可求解. 【详解】因为2小时等于分钟，每15分钟分裂一次，则分裂了次， 所以经过2小时，这种细菌由一个可以繁殖为个. 故答案为：. 10．某产品初始价值1000元，每年贬值，则3年后价值为______. 【答案】729 【分析】根据题干信息，利用指数函数模型计算求解即可． 【详解】某产品初始价值1000元，每年贬值， 则3年后价值为. 故答案为：729. 三、解答题 11．某款智能手机在充电过程中，其电量（单位：单位电量）与充电时间（单位：分钟）之间的关系如下表所示： 充电时间（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 电量（单位电量） 0 20 40 60 80 90 95 97.5 (1)分别求出该手机在分钟与分钟内的平均充电速度，比较快慢；并结合结果说明前后电量的变化趋势. (2)已知当时，电量与时间满足（为常数，）.根据表格数据，求和的值. (3)根据（2）中求得的函数模型，求电量充到98.75单位电量时，所需的充电时间. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)80（分钟） 【分析】（1）根据平均充电速度的公式，结合题意即可求解. （2）根据分别把，和，代入解析式即可求解. （3）根据题意，结合对数的运算即可求解. 【详解】（1）由题意得，平均充电速度， 则分钟：（单位电量/分钟）， 分钟：（单位电量/分钟）. ∵，所以前40分钟充电速度更快；则分钟后，充电速度变慢，电量增长趋势由快变缓. （2）由题意得，当，，则，解得. 当时，，则，解得. （3）由题意得，当时，. 令，则， 两边取自然对数：（分钟）. 12．某文化传媒企业响应国家号召，积极参与持续推进企业出海经营，为了解每月的利润（单位：万元）与每月广告投入费用（单位：万元）之间的函数关系，统计了前四个月每月的广告投入费用与每月的利润的相关数据（见下表）．当每月广告投入费用不超过10万元时，企业初步计划用函数模型和，研究变量与之间的函数关系． 月份 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 每月的广告投入费用（单位：万元） 2 4 8 10 月利润（单位：万元） 4 8 31 64 (1)利用第1、2个月数据，求与之间的函数解析式（定义域不作要求）； (2)利用第3、4个月数据，判断应该选择哪个模型才更合理； (3)每月广告投入费用超过10万元时，与满足函数关系．结合（2）中的结果，请问：当在什么范围内时，每月的利润不少于64万元？每月的最大利润为多少？ 【答案】(1)；． (2)选择指数型函数模型. (3)，100万元. 【分析】（）根据题意结合待定系数法即可得解. （）分别算出对应的值，判断哪个模型更贴近表格数据即可得解. （）根据题意解一元二次不等式，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）①代入函数模型得，解得， ∴与之间的函数解析式为． ②代入函数模型得，解得， ∴与之间的函数解析式为． （2）选择二次函数模型得； 选择数型数型函数模型得，； ∴指数型函数模型更贴近表格数据，故选择指数型函数模型． （3）由（2）可知：当时，利润； 而当时，令，解得，∴． 综上所述，的范围是． ∵，∴当时，， ∴每月的最大利润为100万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第五章 指数函数与对数函数 第 9 练 指数函数与对数函数的应用 一、选择题 1．某工厂的年产值从2020年开始每年比上一年增长8%，设2020年产值为 万元，则经过 年后的年产值 与 的函数关系为（　　） A． B． C． D． 2．某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 3．已知放射性物质的剩余质量占初始质量的比例与时间（单位：年）的关系为．若经过5年，剩余质量变为初始质量的，则（   ） A． B． C． D． 4．以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度与时间（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的至少需要的时间为（    ）（参考数据：） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 5．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比”.根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从999提升至，使得增加了一半，则的值大约为（参考数据：）（   ） A．31599 B．31601 C．315999 D．316001 6．一种产品原来的年产量是a件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量y（单位：件）关于经过的年数x（且）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：月）满足函数，若投资个月后收益为1500元，则____________． 8．某科技公司研发的翻译系统，初始版本的翻译准确率为，后续每更新一个版本，准确率会在前一版本基础上提升（即变为前一版本的倍）．当准确率首次超过时，该系统已更新了_______个版本.（参考数据） 9．一种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则经过2小时，这种细菌由一个可以繁殖为_____个.（分裂过程中细菌不死亡） 10．某产品初始价值1000元，每年贬值，则3年后价值为______. 三、解答题 11．某款智能手机在充电过程中，其电量（单位：单位电量）与充电时间（单位：分钟）之间的关系如下表所示： 充电时间（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 电量（单位电量） 0 20 40 60 80 90 95 97.5 (1)分别求出该手机在分钟与分钟内的平均充电速度，比较快慢；并结合结果说明前后电量的变化趋势. (2)已知当时，电量与时间满足（为常数，）.根据表格数据，求和的值. (3)根据（2）中求得的函数模型，求电量充到98.75单位电量时，所需的充电时间. 12．某文化传媒企业响应国家号召，积极参与持续推进企业出海经营，为了解每月的利润（单位：万元）与每月广告投入费用（单位：万元）之间的函数关系，统计了前四个月每月的广告投入费用与每月的利润的相关数据（见下表）．当每月广告投入费用不超过10万元时，企业初步计划用函数模型和，研究变量与之间的函数关系． 月份 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 每月的广告投入费用（单位：万元） 2 4 8 10 月利润（单位：万元） 4 8 31 64 (1)利用第1、2个月数据，求与之间的函数解析式（定义域不作要求）； (2)利用第3、4个月数据，判断应该选择哪个模型才更合理； (3)每月广告投入费用超过10万元时，与满足函数关系．结合（2）中的结果，请问：当在什么范围内时，每月的利润不少于64万元？每月的最大利润为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $