第11练 三角计算的应用《数学》拓展模块一下册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版《一课一练》三角计算应用同步练，以三阶分层设计（基础-中档-提高）实现从概念理解到综合应用的知识巩固，适配课堂教学目标，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形类型判断、线段组成条件|选择题1-2题聚焦单一概念，降低门槛巩固基础| |中档|三角函数模型、余弦定理应用|结合筒车、弦图等实际情境（选择3-4题），培养数学眼光与建模意识| |提高|综合航海、几何证明问题|解答题11-12题需多公式联用，提升数学思维与问题解决能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第六章 三角计算 第 11 练 三角计算的应用 一、选择题 1．在中，，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．2cm，3cm，5cm B．3cm，4cm，6cm C．1cm，1cm，2cm D．4cm，5cm，10cm 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆）．规定：盛水筒对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：秒），且此时点P距离水面的高度为h（单位：米），则h与t的函数关系式为，若筒车的半径为2米，筒车转轮的中心O到水面的距离为1米．筒车每分钟沿逆时针方向旋转2圈．则下列h关于t的函数关系式正确的是（   ）        A． B． C． D． 4．第24届国际数学家大会的会徽如图所示，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.其中直角三角形中较小的锐角为，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（ ） A． B．2 C． D． 二、填空题 7．如图，某人工湖上有一座桥长为，经测量桥的一端点到点和的距离分别为和，且，，则湖宽________m．    8．高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与．现测得，，米，在点测得大厦顶A的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）．参考数据：，. 9．在 中， 是角平分线， ， ，则 ____. 10．某船开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东航行后，灯塔在正西方向，此时船与灯塔的距离为________km. 三、解答题 11．某海岛上有一座灯塔，在灯塔正东方向相距海里的处有一艘渔船.渔船从处出发，沿北偏西方向航行海里到达处. (1)求处到灯塔的距离； (2)求 的正弦值. 12．如题图所示，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．    (1)求角C； (2)若D为边上一点，，求的值及的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第六章 三角计算 第 11 练 三角计算的应用 一、选择题 1．在中，，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】在中，，则，进而是三角形中最大角. 根据余弦定理，，所以C为锐角. 所以该三角形是锐角三角形. 故选：A． 2．下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．2cm，3cm，5cm B．3cm，4cm，6cm C．1cm，1cm，2cm D．4cm，5cm，10cm 【答案】B 【分析】根据三角形三条边的关系即可选出正确答案. 【详解】三角形三边关系要满足“任意两边之和大于第三边”， A选项， ，不符合； B选项，3cm和4cm为两条短边，，符合要求； C选项，，不符合； D选项，，不符合. 故选：B 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆）．规定：盛水筒对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：秒），且此时点P距离水面的高度为h（单位：米），则h与t的函数关系式为，若筒车的半径为2米，筒车转轮的中心O到水面的距离为1米．筒车每分钟沿逆时针方向旋转2圈．则下列h关于t的函数关系式正确的是（   ）        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求出以及，再根据周期求出，最后得到解析式. 【详解】筒车的半径为振幅，已知筒车半径为2米，因此. 已知圆心到水面的距离为1米，水面在圆心下方，是点到水面的高度， 因此函数的平衡偏移量. 筒车每分钟转2圈，因此转1圈的周期秒，则，得， 因此. 故选：B. 4．第24届国际数学家大会的会徽如图所示，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.其中直角三角形中较小的锐角为，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的三角函数的定义及同角三角函数的平方关系分析求解即可. 【详解】设大正方形的边长为，所以大正方形的面积为， 因为直角三角形中较小的锐角为， 所以在中，， 在中，， 所以小正方形的边长为， 因为，所以， 即， 所以， 所以小正方形的面积为：， 所以大正方形与小正方形的面积之比为，即. 故选：C. 5．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 6．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】在中由正弦定理得出，再在中由正弦定理可得. 在中由正弦定理得，， 即， 因为， 且为锐角三角形， 所以，， 因为为的角平分线，所以，， 则在中由正弦定理得， 即. 二、填空题 7．如图，某人工湖上有一座桥长为，经测量桥的一端点到点和的距离分别为和，且，，则湖宽________m．    【答案】 【分析】根据题意结合余弦定理求出，得出为等腰三角形，为直角三角形，利用勾股定理即可得解. 【详解】已知，，， 在中，由余弦定理得， 即， 解得或（舍去）， 即为等腰三角形，又因为，所以， 又因为，所以， 即为直角三角形，在中， 由勾股定理得，则， 故湖宽． 故答案为：. 8．高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与．现测得，，米，在点测得大厦顶A的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）．参考数据：，. 【答案】212 【分析】先在中利用正弦定理求出的长度，再在中根据三角函数关系求出大厦高度. 【详解】因为，， 所以， 在中，， 可得：米， 在中，， 则米. 故答案为：212. 9．在 中， 是角平分线， ， ，则 ____. 【答案】 【分析】根据角平分线的性质以及三角形的面积求解即可. 【详解】 过点作 因为是角平分线，且，所以 ， 结合面积公式 . 故答案为：. 10．某船开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东航行后，灯塔在正西方向，此时船与灯塔的距离为________km. 【答案】 【分析】根据正弦定理列方程求解即可. 【详解】如图，设某船开始位置为，行驶后位置为， 灯塔位置为，所以，因为船沿南偏东行驶， 且行驶后灯塔在正西方向，所以，， 且，所以在中，， 即，， 故答案为：. 三、解答题 11．某海岛上有一座灯塔，在灯塔正东方向相距海里的处有一艘渔船.渔船从处出发，沿北偏西方向航行海里到达处. (1)求处到灯塔的距离； (2)求 的正弦值. 【答案】(1)海里. (2). 【分析】（）作出图像，根据题意可知为等边三角形即可得解. （）由（）可知，即可得解. 【详解】（1）    如图所示，作出图像， 则， 因为海里，海里，所以为等边三角形， 则海里， 所以处到灯塔的距离为海里. （2）由（1）知为等边三角形，则， 所以. 12．如题图所示，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．    (1)求角C； (2)若D为边上一点，，求的值及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据正弦定理以及特殊角的三角函数值求解即可. （2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为． 可得， 由正弦定理可知，， 因为，，所以， 则. 因为，则，， 所以， 则， 所以，则． （2）    因为，所以为等边三角形， 所以，又因为， 在中，由余弦定理可知， 解得或（舍），所以． 从而 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $