第12练 三角计算测验《数学》拓展模块一下册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》同步练，聚焦三角计算，以“三阶支架”设计实现基础巩固与能力进阶，通过真实情境问题培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|解三角形、三角函数定义等单一知识点|选择题1-5（如湖泊距离测量）、填空题12-13，直接应用公式，强化运算能力| |进阶层|多公式综合应用与性质理解|选择题6-8（如隧道长度计算）、填空题11、14，结合几何直观，培养推理意识| |综合层|复杂情境问题解决|解答题15-18（如露营路线规划），融合方位角、函数变换，发展模型观念与应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第六章 三角计算 第 12 练 三角计算测验 一、选择题 1．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得千米，千米，则A，B间的直线距离约为（   ）    A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米 2．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线.日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为厘米，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度I为（    ） A．5A B． C．2A D． 4．在中，已知，那么是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，设A、B两点在河的两岸，测量者与A在河的同侧，在河岸边确定一点C，测出，，则（    ）    A． B． C． D． 6．在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道的两端点 到某一点 的距离分别是 3 km 和 1 km，且 ，则 两点的距离为（    ） A． km B． km C． km D． km 7．如图所示，是边长为4的等边三角形用斜二测画法画出的水平放置的直观图，则的边长等于（   ）    A．2 B． C． D． 8．函数的最大值和最小正周期分别是（    ） A． B． C． D． 9．在中，，，分别为内角，，所对的边，若，且，则等于（    ） A． B． C． D． 10．若，，，为实数，且，定义函数，现将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 二、填空题 11．香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征．某同学为测量香霏楼的高度，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，香霏楼顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则香霏楼的顶部与地面的距离约为________m．      12．在中，已知，则该的形状为__________. 13．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出，的长b，则可求出A，B两点间的距离．若测得m，m，，则的长为________． 14．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m．    三、解答题 15．如图所示，，，，，，试求A和B之间的距离.    16．六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图.入口在点A，露营基地在点.经勘测，入口A在点的正北方向，点在入口A的南偏东方向处，且在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向处，且在点的正南方向.（参考数据）    (1)求的长度（结果保留根号）； (2)小聪从入口A处进入前往露营基地点.小聪可以选择鹅卵石步道①，步行速度为50米/分，也可以选择塑胶步道②，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条步道所用时间较少？请通过计算说明. 17．已知函数. (1)求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合； (2)若函数.求函数的最小正周期. 18．在中，角 的对边分别为.已知  . (1)求边的值； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第六章 三角计算 第 12 练 三角计算测验 一、选择题 1．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得千米，千米，则A，B间的直线距离约为（   ）    A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米 【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可； 【详解】由题可知，得千米，千米， 所以由余弦定理可得，， 所以千米. 故选：B 2．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线.日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为厘米，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题意转化为三角形问题，再根据正弦定理求值即可. 【详解】 如图，， ， 又，根据勾股定理， 在中，根据正弦定理可知， 即， 解得. 故选：C. 3．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度I为（    ） A．5A B． C．2A D． 【答案】B 【分析】将代入函数解析式中即可得解. 【详解】电流强度随时间变化的关系式是， 当时，， 故选：. 4．在中，已知，那么是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为，设，则， 因为，则为最大内角， ， 所以，即是钝角三角形. 故选：A. 5．如图，设A、B两点在河的两岸，测量者与A在河的同侧，在河岸边确定一点C，测出，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故选：A. 6．在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道的两端点 到某一点 的距离分别是 3 km 和 1 km，且 ，则 两点的距离为（    ） A． km B． km C． km D． km 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，， 则由余弦定理得，， 解得km. 故选：B. 7．如图所示，是边长为4的等边三角形用斜二测画法画出的水平放置的直观图，则的边长等于（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出辅助线，结合斜二测画法的性质求出的长度，利用余弦定理即可得解. 【详解】    如图所示，取的中点为，则，，    如图所示，得到原图，则，， 由余弦定理可知. 故选：D. 8．函数的最大值和最小正周期分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的性质即可得解. 【详解】， 所以该函数的最大值是，最小正周期是， 故选：. 9．在中，，，分别为内角，，所对的边，若，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理将条件化为边的关系，结合余弦定理求出角，又由，求出，再由正弦定理求出即可. 【详解】由，根据正弦定理可得， 结合余弦定理知，，所以， 因为，所以， 又，，可知， ， 而， 根据正弦定理变形知. 故选：A. 10．若，，，为实数，且，定义函数，现将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】根据题意求出，利用二倍角公式化简，再根据图像平移的性质和函数的奇偶性求解即可. 【详解】由题意知 ， 又将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象， 所以， 又定义域为，满足，， 所以为偶函数，不是奇函数. 故选：B. 二、填空题 11．香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征．某同学为测量香霏楼的高度，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，香霏楼顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则香霏楼的顶部与地面的距离约为________m．      【答案】30 【分析】根据直角三角形中边角关系及正弦定理求解. 【详解】在中，； 在中，； 由图可知，易知， 在中，， 根据正弦定理可得：， 所以， 所以． 故答案为：30. 12．在中，已知，则该的形状为__________. 【答案】等腰或直角三角形 【分析】根据正弦定理以及二倍角的正弦公式进行化简求解即可. 【详解】根据正弦定理，化为， ， 即，即， 至少有一个是锐角，即至少有一个小于，至少有一个大于0， 所以，即， 得到或， 或，所以是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 13．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出，的长b，则可求出A，B两点间的距离．若测得m，m，，则的长为________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求解. 【详解】在中，由余弦定理得， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m．    【答案】 【分析】根据正弦定理以及三角形内角之和求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 三、解答题 15．如图所示，，，，，，试求A和B之间的距离.    【答案】. 【分析】根据题意得出为等边三角形，利用正弦定理求出，再运用余弦定理即可得解. 【详解】    由图可知，，又因为， 所以为等边三角形，则， 在中，， 由正弦定理可知，，解得， 在中，由余弦定理可知，， 所以， 则A和B之间的距离为. 16．六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图.入口在点A，露营基地在点.经勘测，入口A在点的正北方向，点在入口A的南偏东方向处，且在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向处，且在点的正南方向.（参考数据）    (1)求的长度（结果保留根号）； (2)小聪从入口A处进入前往露营基地点.小聪可以选择鹅卵石步道①，步行速度为50米/分，也可以选择塑胶步道②，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条步道所用时间较少？请通过计算说明. 【答案】(1) (2)选择塑胶步道②所用的时间较少，说明见解析 【分析】（1）根据勾股定理以及直角三角形的性质求解即可. （2）求出两条道路的长度，再根据速度求出时间，最后对比选择即可. 【详解】（1）    在中，因为，，所以， 在中，因为，，所以， ，所以， 因为，，所以， . （2）因为，， 则选择鹅卵石步道①的长度为， 所以选择鹅卵石步道①的时间为分， 选择塑胶步道②的长度为 ， 所以选择塑胶步道②的时间为分， ， 所以选择塑胶步道②所用的时间较少. 17．已知函数. (1)求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合； (2)若函数.求函数的最小正周期. 【答案】(1)最大值为2， (2) 【分析】（1）使用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再由正弦型函数的性质求解即可； （2）先表示出函数的解析式，再由最小正周期公式求解即可. 【详解】（1）函数. 函数的最大值2，此时，可得， 所以最大值为2，集合为. （2）由（1）知，函数， 所以， 则函数， 因为， 所以， 最小正周期为. 18．在中，角 的对边分别为.已知  . (1)求边的值； (2)求的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解. （2）根据同角三角函数的平方关系，结合正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， ，解得. （2）在中，因为，所以. 由正弦定理得， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $