第18练 等差数列与等比数列的应用《数学》拓展模块一下册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学同步练，第七章数列第18练，聚焦等差数列与等比数列应用，以“基础巩固-情境应用-综合提升”三阶分层设计，通过古代算题与生活案例培养数学眼光、运算能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公式直接应用|选择1-3（等差/等比求和求公差）、解答11-12（基础运算问答），强化定义理解与基本运算| |情境层|实际问题建模|选择4-6（弹球路程、成绩奖励）、填空7-10（产值增长、十二平均律），以古代算题与生活场景培养应用意识| |提升层|跨知识综合|填空9（等腰直角三角形垂线序列），结合几何图形深化数列规律探究，发展推理能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第七章 数列 第 18 练 等差数列与等比数列的应用 一、选择题 1．《张丘建算经》曰：今有女善织，日益功疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布）．若该女第一天织布2尺，现有一月（按30天计），共织布390尺，则从第2天起每天比前一天多织布（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共要走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，在这个问题中，此人第四天走的里数是（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的一半，则第10次着地时，小球所经过的路程之和为（参考数据：，）（    ） A．199.8米 B．299.6米 C．166.9米 D．266.9米 5．小李同学在高三第一次月考成绩进步时，妈妈奖励了他1支纪念签字笔，并承诺：之后每次月考，若成绩较上一次进步，则奖励的签字笔数量翻倍，否则不奖励．小李最终以优异成绩考入理想大学，期间共获得31支纪念签字笔，则他月考成绩进步的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．为创建“卫生文明城市”，某志愿者团队第一天服务几小时，之后每天比前一天多服务相同时间，前5天共服务50小时，前10天共服务150小时，则从第________天起，当日服务时间首次超过12小时．（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 7．某工厂每年的产值以的速度增长，如果年底总产值为万元，那么到年底该厂的总产值为________万元． 8．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历法学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则_____. 9．如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，以此类推，设，，则________．    10．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为________． 三、解答题 11．某网店销售手机壳，第一个月销售了100个，之后每个月比上个月多销售20个. (1)求该网店第3个月的销售量； (2)求该网店前3个月一共销售了多少个手机壳. 12．某工厂流水线生产零件，第一天生产了50个，之后每一天比前一天多生产10个. (1)求该工厂第4天生产的零件数量； (2)求该工厂前4天一共生产了多少个零件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第七章 数列 第 18 练 等差数列与等比数列的应用 一、选择题 1．《张丘建算经》曰：今有女善织，日益功疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布）．若该女第一天织布2尺，现有一月（按30天计），共织布390尺，则从第2天起每天比前一天多织布（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】根据题意，建立等差数列模型，设数列为，其中，，公差为， 则，解得， 故选：. 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共要走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，在这个问题中，此人第四天走的里数是（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据题意得到每天走的路程为等比数列，再根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】设第天走里，则根据题意数列是公比为的等比数列. 已知一共要走254里路，则前7项和，解得， 故第四天走. 故选：B. 3．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和公式分析求解即可. 【详解】由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比， 设塔顶有盏灯，则，解得：， 所以塔顶盏灯. 故选：B. 4．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的一半，则第10次着地时，小球所经过的路程之和为（参考数据：，）（    ） A．199.8米 B．299.6米 C．166.9米 D．266.9米 【答案】B 【分析】根据题意结合等比数列的求和公式即可得解. 【详解】一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的一半， 则每次弹起再落地的路程构成首项为，公比为的等比数列， 则第10次着地时，小球所经过的路程之和为第一次下落的米，加前次弹起再落地的路程和， 即米， 故选：. 5．小李同学在高三第一次月考成绩进步时，妈妈奖励了他1支纪念签字笔，并承诺：之后每次月考，若成绩较上一次进步，则奖励的签字笔数量翻倍，否则不奖励．小李最终以优异成绩考入理想大学，期间共获得31支纪念签字笔，则他月考成绩进步的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】第一次月考进步奖励1支笔，之后每次进步奖励数量翻倍， 因此每次进步获得的笔数构成首项，公比的等比数列． 由等比数列求和公式，得，解得， 所以小李同学获得了5次奖励，即有5次月考成绩是进步的． 故选：C． 6．为创建“卫生文明城市”，某志愿者团队第一天服务几小时，之后每天比前一天多服务相同时间，前5天共服务50小时，前10天共服务150小时，则从第________天起，当日服务时间首次超过12小时．（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式求解. 【详解】设该志愿者团队第一天服务小时，每天比前一天多服务小时， 那么每天服务的时间构成一个首项为，公差为的等差数列. 设等差数列的前项和为， 已知前天共服务小时，可得，即①； 已知前天共服务小时，可得，即②， 联立①②解得：，， 所以， 令，即，解得， 因为为正整数，所以的最小值为， 即从第天起，当日服务时间首次超过小时， 故选：B． 二、填空题 7．某工厂每年的产值以的速度增长，如果年底总产值为万元，那么到年底该厂的总产值为________万元． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式求值即可. 【详解】由题意可知，从年底开始， 每年的年产值是首项为万元，公比为的等比数列， 所以年底该厂的总产值为， 故答案为：. 8．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历法学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则_____. 【答案】 【分析】根据题意可知每个音的频率看作等比数列，由等比数列的性质即可得解. 【详解】由题意知，可以将每个音的频率看作等比数列中的项，一共13项，且. 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍， 所以，即，可得， 所以，所以. 故答案为：. 9．如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，以此类推，设，，则________．    【答案】/ 【分析】根据题意分析可知数列为等比数列，再利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】因为在等腰直角三角形中斜边，所以直角边， 是等腰直角三角形斜边上的高，， 同理，由等腰直角三角形的性质可知，后续每一条垂线都是前一条的倍， 所以，构成等比数列， 其中，，公比，则． 故答案为：. 10．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为________． 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式列方程求解即可. 【详解】由题意知每人所得的旅费构成等差数列， 其中，， 则，解得． 故答案为：. 三、解答题 11．某网店销售手机壳，第一个月销售了100个，之后每个月比上个月多销售20个. (1)求该网店第3个月的销售量； (2)求该网店前3个月一共销售了多少个手机壳. 【答案】(1)个. (2)个. 【分析】（）根据题意可知每月销售量成等差数列，利用等差数列的通项公式即可得解. （）利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）销售手机壳，第一个月销售了100个，之后每个月比上个月多销售20个， 则每月销售量构成等差数列，首项，公差， 则第三个月的销售量为个， （2）因为每月销售量构成等差数列，首项，公差， 则前3个月一共销售量为个. 12．某工厂流水线生产零件，第一天生产了50个，之后每一天比前一天多生产10个. (1)求该工厂第4天生产的零件数量； (2)求该工厂前4天一共生产了多少个零件. 【答案】(1)（个） (2)（个） 【分析】（1）由题可知每天生产的零件数构成等差数列，且，，根据等差数列的通项公式即可求解. （2）根据题意结合等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，每天生产的零件数构成等差数列，且首项，公差， 所以第4天生产数量为 （个）. （2）由（1）可知首项，公差， 所以前4天总产量 （个） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $