第14练 椭圆的几何性质《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学《一课一练》椭圆几何性质同步练，以三阶分层设计（选择-填空-解答）实现从基础性质到综合应用的递进，通过情境化问题培养数学眼光与推理能力，适配课堂同步巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|椭圆定义、离心率等单一性质|选择题直接考查焦点三角形面积计算，夯实概念理解| |深化理解|性质综合应用|填空题结合矩形花坛等几何情境，提升空间观念| |综合应用|方程求解与直线位置关系|解答题含过定点直线探究，发展运算能力与推理意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 14 练 椭圆的几何性质 一、选择题 1．已知点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C． D． 2．已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 3．椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为8，且离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若椭圆的上顶点与两焦点，构成等边三角形，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，在一块长为26米，宽为20米的矩形地块中造一个花坛，花坛边缘由两个半椭圆（）和（）组成，其中，花坛内切于矩形，即花坛和矩形各边均有且只有一个公共点，则m，n的值为（   ） A． B． C． D． 6．椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一动点（异于左右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点，，若直线（为椭圆的左焦点）是圆的切线，则椭圆的离心率为__________. 8．已知，分别为椭圆（其中）的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为正三角形，则椭圆的离心率为______． 9．已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于M，N两点．若，，则该椭圆的离心率为___________． 10．已知椭圆的焦点与椭圆的短轴顶点重合，且两个椭圆的离心率相等，则椭圆的标准方程是____________． 三、解答题 11．已知椭圆的离心率，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 12．已知椭圆  的长轴长为4，离心率 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线  与椭圆交于不同的两点 ，若线段的中点横坐标为 ，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 14 练 椭圆的几何性质 一、选择题 1．已知点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程和性质即可选出正确答案. 【详解】已知椭圆方程， 则， 则， 设， 根据椭圆的定义，， 因为， 根据勾股定理：， ， 则， 故选：B 2．已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质以及离心率公式的计算. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分， 所以可得，即，从而， 故选：A. 3．椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为8，且离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. 【详解】由题意可知， 所以的周长， 解得，又因为离心率，所以， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 4．若椭圆的上顶点与两焦点，构成等边三角形，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得到，再由椭圆的几何性质即可得解. 【详解】∵椭圆的上顶点与两焦点，构成等边三角形， ，. 故选：D. 5．如图所示，在一块长为26米，宽为20米的矩形地块中造一个花坛，花坛边缘由两个半椭圆（）和（）组成，其中，花坛内切于矩形，即花坛和矩形各边均有且只有一个公共点，则m，n的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆的性质即可得解. 【详解】一块长为26米，宽为20米的矩形地块中造一个花坛， 花坛边缘由两个半椭圆（）和（）组成，其中， 则半椭圆（）过点，则， 因为半椭圆（），过点， 则半椭圆（）过点，则， 经检验，符合题意， 故选：. 6．椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一动点（异于左右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆焦点三角形周长得，面积最大值在短轴端点取得，即，结合 ，求解即可. 【详解】    因为的周长为，即， 所以， 又的底为，高为点纵坐标，即， 因为面积的最大值为，此时，即， 根据，代入得到， 即，解得（负值舍去）， 得到1，所以椭圆方程为. 故选：A． 二、填空题 7．以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点，，若直线（为椭圆的左焦点）是圆的切线，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质得出，，由勾股定理求出，然后由椭圆的定义及离心率公式求解. 【详解】    由题意知：，，，所以， 由椭圆的定义知：，所以， 所以椭圆的离心率， 故答案为：. 8．已知，分别为椭圆（其中）的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为正三角形，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】根据题意结合椭圆的性质及离心率公式即可求解. 【详解】    如图所示，作出图像，因为为正三角形， 即，则， 故离心率， 故答案为：. 9．已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于M，N两点．若，，则该椭圆的离心率为___________． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理求解即可. 【详解】设 ， 则， ， 由椭圆定义 ， 在中，由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 因此. 在中，由余弦定理， 化简得，即，因此离心率. 故答案为：. 10．已知椭圆的焦点与椭圆的短轴顶点重合，且两个椭圆的离心率相等，则椭圆的标准方程是____________． 【答案】 【分析】首先由已知椭圆方程确定短轴顶点和离心率，再设椭圆的方程为，并由离心率公式和的关系求值即可. 【详解】已知椭圆的短轴顶点为，离心率为， 故椭圆的焦点为，即，设方程为， 因为两个椭圆的离心率相等， 所以，即， 解得，所以椭圆的标准方程为． 故答案为：. 三、解答题 11．已知椭圆的离心率，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦距，离心率公式即可求解. （2）根据联立直线与椭圆方程，以及韦达定理，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为离心率，焦距为2，所以，解得. 所以，则椭圆的标准方程为. （2）由题意可知，直线斜率不为， 可设直线方程为，点， 联立，则， 所以， 因为以线段AB为直径的圆经过原点，所以，则， 即，又， 所以， 则， 即，整理得，解得， 所以，即直线l的方程.    12．已知椭圆  的长轴长为4，离心率 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线  与椭圆交于不同的两点 ，若线段的中点横坐标为 ，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的长轴定义，离心率公式即可求解. （2）根据联立椭圆与直线方程，结合韦达定理，中点坐标公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，，解得  ， 又 ，解得 .    因为 ， 所以椭圆方程为 . （2）联立方程组  ，消去得 ， 即，则 . 因为直线与椭圆交于不同的两点，所以， 解得， 设 ，由韦达定理得 ， 因为中点横坐标为 ，所以， 所以 ，符合题意. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $