第16练 双曲线的几何性质《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

### **基本信息** 中职数学高教版《一课一练》第16练以“三阶支架”设计为核心，通过基础巩固、综合应用分层训练，覆盖双曲线几何性质全知识点，助力学生从概念理解到问题解决的递进式巩固，培养运算能力与推理意识。 ### **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|双曲线离心率、渐近线、标准方程等单一知识点|选择题3-5直接考查离心率计算，填空题7-8聚焦标准方程求解，夯实概念理解| |中档层|渐近线与方程综合、离心率与渐近线关联|选择题2结合渐近线与过点求方程，填空题9由离心率推导渐近线，提升知识迁移能力| |综合层|焦点三角形、直线与双曲线位置关系|解答题11-12涉及面积计算、向量垂直等综合应用，强化模型观念与逻辑推理，适配分层教学需求|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 16 练 双曲线的几何性质 一、选择题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 4．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．双曲线一焦点为，虚半轴长为4，则它的标准方程为________． 8．已知双曲线的一个顶点是，焦距为10，则该双曲线的标准方程是________． 9 . 已知双曲线方程的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 10．已知椭圆和双曲线，若椭圆与双曲线的离心率之积为，则该双曲线的渐近线方程是__________. 三、解答题 11．双曲线上任意一点P与两个焦点，构成的三角形称为焦点三角形．若，则双曲线的焦点三角形的面积为．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是该双曲线上一点，，的面积为，点是双曲线上一点．    (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线与双曲线C交于M，N两点，且，求m的值. 12．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线C经过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若经过点A，的直线l交双曲线C的左支于点B，求： ①的值； ②的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 16 练 双曲线的几何性质 一、选择题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆性质得，结合双曲线定义与勾股定理求出，即可写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线左、右焦点分别为，， 即，满足， 以原点为圆心且过点的圆为， 设，则,即， 又，即， 又，且在圆上， 所以,即， 所以，即， 即双曲线渐近线为，整理得.    故选：B. 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线渐近线方程得到与的关系，再将已知点代入双曲线方程求解即可确定双曲线方程. 【详解】已知双曲线的一条渐近线方程为， 则，即，所以双曲线方程为， 将点代入得，， 解得，所以双曲线的方程为， 故选：B. 3．双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】双曲线中，，，（负值舍去）， ∴离心率． 故选：A. 4．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】双曲线中，则， 解得，进而离心率. 故选：A. 5．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件和双曲线的渐近线方程得到，再由双曲线关系求解离心率即可. 【详解】由直线可知，其斜率为. 因为双曲线的渐近线方程为，则， 所以. 故选：C 6．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求出，再结合勾股定理求出，进而得到离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知，. 又，所以，. 因为，所以， 所以在中，，所以，， 故双曲线C的离心率.    故选：D. 二、填空题 7．双曲线一焦点为，虚半轴长为4，则它的标准方程为________． 【答案】 【分析】根据题意设双曲线的方程，根据条件求出的值即可. 【详解】根据题意，双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线的焦点为，虚半轴长为4， 所以，则， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 8．已知双曲线的一个顶点是，焦距为10，则该双曲线的标准方程是________． 【答案】 【分析】根据题意结合双曲线的性质求出的值即可得解. 【详解】双曲线的一个顶点是，则双曲线的焦点在轴上，且， 焦距为10，则，解得， 所以， 所以双曲线方程为. 故答案为：. 9．已知双曲线方程的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率以及渐近线方程求解即可. 【详解】双曲线方程的离心率为， 则，解得. 因此该双曲线的渐近线方程. 故答案为：. 10．已知椭圆和双曲线，若椭圆与双曲线的离心率之积为，则该双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆及双曲线性质得出离心率分别为，，代入得出即可得解. 【详解】设椭圆和双曲线的离心率分别为，， 则，， 所以， 即， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为：. 三、解答题 11．双曲线上任意一点P与两个焦点，构成的三角形称为焦点三角形．若，则双曲线的焦点三角形的面积为．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是该双曲线上一点，，的面积为，点是双曲线上一点．    (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线与双曲线C交于M，N两点，且，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点三角形的面积公式和将代入方程中联立求解即可. （2）设，，将直线方程与双曲线方程联立，并由韦达定理得出，再由向量内积的坐标表示列方程求解即可. 【详解】（1）已知，的面积为， 点是双曲线上一点， 得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，， 联立方程 消去，整理得， 由韦达定理，得， 所以， 因为，，， 所以， 即， 解得，经检验符合题意. 12．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线C经过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若经过点A，的直线l交双曲线C的左支于点B，求： ①的值； ②的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先求解与的长度，再由双曲线的定义求解a的值，由此求解即可； （2）①先求解直线l的方程，再联立直线与双曲线，求解点B的坐标即可求解； ②先求解点到直线的距离，再根据三角形面积求解即可. 【详解】（1）∵，， 由双曲线的定义知．可得， ∴， ∴双曲线C的标准方程为； （2）①∵直线l的斜率为， ∴直线l的方程为，即． 联立，解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴． ②∵点到直线l的距离为， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $