第18练 抛物线的几何性质《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 依托三阶支架体系，以选择、填空、解答题分层，覆盖抛物线几何性质从概念辨析到综合应用，强化数学思维与运算能力，适配中职同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|抛物线定义与基本性质|选择题1-5直接考查焦点、准线等概念，降低学习门槛| |技能应用|几何性质运算与简单应用|填空题7-10涉及弦长、最值计算，培养运算能力| |综合拓展|直线与抛物线综合问题|解答题11-12结合面积、斜率考查推理能力，实现知识迁移|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 一、选择题 1．已知、为抛物线：上互异的两点，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 2．已知圆锥曲线关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 5．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 6．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知抛物线：的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 8．已知抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于两点，则弦长等于______. 9．已知点F为抛物线的焦点，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是______. 10．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 三、解答题 11．已知抛物线：，其焦点为，是上的一点． (1)求； (2)直线交于，两点，且的面积为16，求直线的方程． 12．已知抛物线的准线方程为，焦点为.过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 一、选择题 1．已知、为抛物线：上互异的两点，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的方程求得焦点，再由题意得出三点共线，再结合抛物线的性质即可求解. 【详解】由抛物线：得焦点为，又由得，点三点共线， 所以，则. 故选：B. 2．已知圆锥曲线关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先根据离心率为1确定曲线为抛物线，再分对称轴为x轴、y轴两种情况设标准方程，代入已知点求解参数后计算对应准线方程即可. 【详解】圆锥曲线中离心率的曲线为抛物线. 若对称轴为x轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 对称轴为y轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 综上，该曲线的准线方程为或. 故选：C. 3．已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与抛物线方程联立，进而结合韦达定理求解. 【详解】点，，则直线的斜率， ， 又因为直线过点，代入点斜式方程， 得直线的方程为， 设， 联立直线方程和抛物线方程，得， 则， 由韦达定理得：， 因为， 又因为， 所以， 则抛物线的标准方程是， 故选：D. 4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】设出抛物线方程，根据题意写出直线的点斜式方程，联立方程组结合韦达定理及弦长公式求出值，代入梯形的面积公式即可得解. 【详解】    设抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 则过焦点且斜率为的直线方程为， 联立方程组， 设，， 由韦达定理可知，，， 因为，则，解得， 所以抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 四边形为直角梯形，，高为， ， 所以梯形的面积为， 故选：. 5．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求值即可. 【详解】已知抛物线中，，， 所以准线为，因为点P到x轴的距离是4， 所以点P到准线的距离为， 故选：B. 6．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据准线方程求出抛物线方程，再设出抛物线上动点的坐标，最后根据两点间距离公式及二次函数的性质求出最小距离. 【详解】准线方程为，即， 则，得，则， 故该抛物线的方程为， 设抛物线上的动点，则， 所以， 所以当时，． 故选：C . 二、填空题 7．已知抛物线：的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 【答案】 【分析】首先求出焦点坐标和准线方程，设点到准线的距离为，再由抛物线的定义可知当三点共线时取最小值，由此确定点的坐标，最后由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】由抛物线：，可得， 解得，准线为， 设点到准线的距离为， 所以， 当三点共线时，取最小值， 且，所以，则，解得， 所以，则点到直线的距离为， ， 故答案为：.    8．已知抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于两点，则弦长等于______. 【答案】 【分析】首先根据抛物线方程求出焦点坐标，确定直线方程，将直线方程与抛物线方程联立求出两点坐标，由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】由抛物线，得，， 焦点坐标为， 则过F且垂直于x轴的直线为， 与抛物线方程联立得，解得， 所以，所以， 故答案为：.    9．已知点F为抛物线的焦点，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是______. 【答案】12 【分析】根据抛物线的定义，结合平面几何知识求出的最小值即可. 【详解】由抛物线可知其准线，点M到直线l的距离等于， 设抛物线上的点，当时，大于点P的纵坐标5， 所以过点P作l的垂线，必与抛物线相交， 当点M为此交点时，取得最小值， 此最小值为点P到准线l的垂线段长. 故答案为：12.    10．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 【答案】/ 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再根据已知条件求解直线的方程，联立方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，即，所以， 所以点，又直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立方程，整理为， 设，，则， 所以． 故答案为：. 三、解答题 11．已知抛物线：，其焦点为，是上的一点． (1)求； (2)直线交于，两点，且的面积为16，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可. （2）分类讨论直线的斜率是否存在，设，联立两方程，根据韦达定理以及斜率求出，再根据三角形面积求出，进而得到直线方程. 【详解】（1）：中. 将代入：，得，所以； （2）若直线的斜率不存在，则直线方程为，且与抛物线只有一个切点，不符合. 若直线的斜率存在，设直线：，、. 由得：，，，， 由于，， 所以，解得. 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得. 所以直线方程为.      12．已知抛物线的准线方程为，焦点为.过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据抛物线的准线方程求出值即可得解. （）根据题意结合焦半径公式求出点坐标，利用两点间斜率公式即可得解. （）写出直线的点斜式方程，联立方程组，利用韦达定理求出点坐标，再将代入直线方程，利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积即可得解. 【详解】（1）抛物线的准线为，已知准线为， 故，则抛物线方程为. （2）抛物线焦点， 设，则，. 由焦半径公式：， 代入（取正），故， 直线过和， 则斜率：.    （3）直线斜率为，过点， 所以直线方程：， 联立方程组，得， 由韦达定理：，已知，故， 代入抛物线得，故， 直线与准线交于M：令， 代入直线方程：，故， 因为，，， ， 直线的一般式方程为， 点到直线的距离为， 所以的面积为.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $