第2章 2.11 函数的零点与方程的解（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数零点判定与应用，通过基础到拓广的层级设计，融合数形结合与逻辑推理，构建从概念到综合应用的知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|10题|直接求零点、判断零点区间|从零点概念出发，结合函数单调性与存在定理，形成基础判定方法| |能力提升|4题|零点个数、参数范围、性质综合|通过数形结合与分类讨论，拓展至分段函数、周期函数零点问题| |拓广探索|2题|新定义、多知识点融合|关联不动点定理与函数图象，深化数学抽象与直观想象素养|

[对应学生用书P325] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分． A级　基础过关 1．函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是(　　) A．2 B．(2，0) C．－2 D．2或－1 解析　由题意令y＝(x－2)(2x＋1)＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以x－2＝0，即x＝2.故选A. 答案　A 2．函数f(x)＝x－5＋3x的零点所在的区间为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 解析　因为y＝x－5和y＝3x在R上单调递增，所以f(x)＝x－5＋3x在R上是增函数，且其图象是连续不断的一条曲线，又f(1)＝1－5＋31＝－1<0，f(2)＝2－5＋32＝6>0，故函数f(x)＝x－5＋3x的零点所在的区间为(1，2). 答案　A 3．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由2x|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝，作出y＝|log0.5x|和y＝的图象，如图所示，则两个函数图象有2个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点． 答案　B 4．已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析　因为a＞1，0＜b＜1，所以f(x)＝ax＋x－b在R上是增函数，所以f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0.由函数零点存在定理可知，f(x)在区间(－1，0)上存在零点． 答案　B 5．“a≤0”是“函数f(x)＝有且只有一个零点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当x＞0时，令f(x)＝0，则ln x＝0，∴x＝1，∴当x＞0时，f(x)有一个零点为1，∵函数f(x)只有一个零点，∴当x≤0时，f(x)＝－2x＋a无零点，即a＞2x或a＜2x，∵当x≤0时，2x∈(0，1]，∴a＞1或a≤0，∴“a≤0”是“函数f(x)＝有且只有一个零点”的充分不必要条件．故选A. 答案　A 6．若f(x)＝x＋2x＋a的零点所在的区间为(－2，1)，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析　因为f(x)＝x＋2x＋a在R上单调递增，且零点所在的区间为(－2，1)，所以只需f(－2)f(1)<0，即(a＋1＋2)<0，解得－3<a<. 答案　B 7．(多选)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝(x＋1)－2 C．f(x)＝2x-1－1 D．f(x)＝1－ln (x＋2) 解析　对于A，因为x2－2x－8＝0的解为x＝－2或x＝4，所以f(x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误； 对于B，因为f(x)＝(x＋1)－2在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0， 所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确； 对于C，因为f(x)＝2x-1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确； 对于D，因为f(x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0， 即f(－1)f(3)<0，所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确． 答案　BCD 8．(多选)设函数f(x)＝则以下结论正确的为(　　) A．f(x)为R上的增函数 B．f(x)有唯一零点x0，且1＜x0＜2 C．若f(m)＝5，则m＝33 D．f(x)的值域为R 解析　作出f(x)的图象如图所示．由图可知A错误；对于B，由图象可知，f(x)有唯一零点x0，f(x)在(－∞，2]上单调递增，且f(1)＜0，f(2)＞0，则1<x0<2，B正确；对于C，当x≤2时，2x－3≤1，故log2(m－1)＝5，解得m＝33，C正确；对于D，f(x)的值域为(0，＋∞)∪(－3，1]，即(－3，＋∞)，D错误．故选BC. 答案　BC 9．已知函数f(x)＝则f(x)的零点为____________． 解析　令f(x)＝0，得或解得x＝1或x＝－1，所以f(x)的零点为－1和1. 答案　－1和1 10．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是____________． 解析　令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上为增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)＜0，即(5－k)(10－k)＜0，解得5＜k＜10，又f(1)＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5，10). 答案　[5，10) B级　能力提升 11．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在[－3，3]上的零点个数至少为(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(x＋1)＝f(x)得f(x)的周期为1，所以f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝0.又f＝f，f＝－f，因此f＝f＝0，则f＝f＝f＝f＝f＝f＝0，故f(x)在[－3，3]上至少有13个零点．故选D. 答案　D 12．已知函数f(x)＝x2－x－a cos 2πx＋2有且仅有一个零点，则实数a的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　由f(x)＝0得x2－x＋2＝a cos 2πx.令g(x)＝x2－x＋2，h(x)＝a cos 2πx，则函数f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数． 当a>0时，g(x)与h(x)的大致图象如图1所示， 由于两个函数的图象都关于直线x＝对称，此时如果两函数图象有交点，则交点的个数应为偶数，不可能只有一个； 当a＝0时，方程x2－x＋2＝a cos 2πx无解； 当a<0时，g(x)与h(x)的大致图象如图2所示，要使两个函数图象有且仅有一个交点，则g＝h，即＝a cos ，则a＝－.故选C. 答案　C 13．(多选)已知函数f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A．当k＝0时，f(x)恰有2个零点 B．存在负数k，使得f(x)恰有1个零点 C．存在负数k，使得f(x)恰有3个零点 D．存在正数k，使得f(x)恰有3个零点 解析　令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，得|lg x|＝kx＋2，令g(x)＝|lg x|，h(x)＝kx＋2，所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数．当k＝0时，如图1，g(x)与h(x)的图象有2个交点，则f(x)有2个零点，故A正确；当k＞0时，如图2，存在h(x)＝k0x＋2的图象与函数g(x)＝|lg x|(x＞1)的图象相切的情况，此时h(x)与g(x)的图象有2个交点，当0＜k＜k0时，g(x)与h(x)的图象有3个交点，则f(x)有3个零点，故D正确；当k＜0时，如图3，g(x)与h(x)的图象最多有2个交点，g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点，如图4，故B正确，C不正确．故选ABD. 答案　ABD 14．已知函数f(x)＝x2＋2x－(x<0)与g(x)＝x2＋log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是____________． 解析　函数f(x)＝x2＋2x－(x<0)的图象关于y轴对称的图象对应的函数为h(x)＝x2＋2－x－(x>0).由题意得，函数g(x)与函数h(x)的图象在(0，＋∞)上有交点，即方程2－x－＝log2(x＋a)在(0，＋∞)上有解，即函数y＝2－x－的图象与函数y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2－x－与函数y＝log2(x＋a)的图象，如图，当a≤0时，函数y＝2－x－与函数y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上一定有交点．当a>0时，若函数y＝2－x－与函数y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点，则log2a<，得0<a<.综上，a的取值范围为(－∞，). 答案　(－∞，) C级　拓广探索 15．(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石．简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1 解析　选项A，若f(x0)＝x0，则2x0＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数； 选项B，若f(x0)＝x0，则x－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数； 选项C，若f(x0)＝x0，则x0＋1＝x0，可得x－3x0＋1＝0，且x0≥1， 解得x0＝，故该函数是“不动点”函数； 选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1， 作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图， 由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根，即存在x0， 使|log2x0|－1＝x0，故该函数是“不动点”函数． 答案　BCD 16．(多选)(2025·阜阳三中月考)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是(　　) A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2) B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1) C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3＋x4＝4 D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3x4的取值范围是 解析　对于A，令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，作出函数y＝f(x)与y＝a的大致图象，如图所示．由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)∪{0}，所以A不正确． 对于B，若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)，所以B正确． 对于C，若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，此时(x3，0)，(x4，0)关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，所以C正确． 对于D，由C选项可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－x＋4x4，由于g(x)有4个不同的零点时，a的取值范围是(0，1)，故0<－4x＋16x4－13<1，所以<－x＋4x4<，即<x3x4<，所以D正确．故选BCD. 答案　BCD 学科网（北京）股份有限公司 $