第18练 抛物线的几何性质《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学《一课一练》第18练聚焦抛物线几何性质，通过选择、填空、解答题分层设计，实现从概念理解到综合应用的巩固路径，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线定义、准线、焦点距离等单一性质|选择题1-4直接考查定义应用，如准线方程求解| |能力提升|直线与抛物线位置关系、弦长计算等综合性质|选择题5-8结合直线与抛物线相交问题，填空题9-12涉及最值与双曲线综合| |综合应用|方程求解与实际问题解决|解答题13-14综合考查最值计算与标准方程推导，深化应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 一、选择题 1．已知圆锥曲线关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 3．已知抛物线上有，两点，为抛物线焦点，若直线过点，且轴，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．若抛物线上一点P到焦点的距离为4，则点P的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 5．已知抛物线C的方程为，过，两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知直线和抛物线相交于A、B两点，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是（   ） A． B． C． D．    8．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（   ） A． B．1 C．8 D．16 二、填空题 9．已知抛物线：的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 10．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 11．在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 12．若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则________． 三、解答题 13．已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 14．已知抛物线的焦点为，求： (1)抛物线的标准方程； (2)抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 1、 选择题 1．已知圆锥曲线关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先根据离心率为1确定曲线为抛物线，再分对称轴为x轴、y轴两种情况设标准方程，代入已知点求解参数后计算对应准线方程即可. 【详解】圆锥曲线中离心率的曲线为抛物线. 若对称轴为x轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 对称轴为y轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 综上，该曲线的准线方程为或. 故选：C. 2．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求值即可. 【详解】已知抛物线中，，， 所以准线为，因为点P到x轴的距离是4， 所以点P到准线的距离为， 故选：B. 3．已知抛物线上有，两点，为抛物线焦点，若直线过点，且轴，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先求解抛物线的焦点，由此可得直线的方程，联立抛物线与直线求解长度即可. 【详解】∵抛物线的焦点， 又直线过点，且轴， ∴， 联立，可得或， ∴. 故选：C. 4．若抛物线上一点P到焦点的距离为4，则点P的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程得到焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义，即可解得. 【详解】抛物线中，则焦点坐标为，准线方程为， 令点，则点P到焦点的距离为， 即，解得， 所以点P的横坐标为3. 故选：A. 5．已知抛物线C的方程为，过，两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解出直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据判别式求解即可. 【详解】设过，两点的直线方程为， 当时，直线斜率为， ∴直线的方程为， 联立，消y可得，， ∵直线与抛物线C没有公共点， ∴， 即，解得或， 则实数t的取值范围是. 故选：D. 6．已知直线和抛物线相交于A、B两点，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意联立方程组，结合韦达定理及弦长公式即可得解. 【详解】直线的斜率为， 联立方程组， 设， 则，， 所以， 故选：. 7．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义以及已知条件建立关于的方程求解即可. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为， 设，，其中， 则，， 所以， 由的中点到轴的距离是2，可得中点的横坐标为，那么， 因为，即，解得， 故抛物线方程是． 故选：B．    8．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（   ） A． B．1 C．8 D．16 【答案】C 【分析】将点代入抛物线方程中，再利用焦半径公式求出值，分类讨论，利用三个内角均为锐角，则三个向量的数量积均大于零即可得解. 【详解】    如图所示，抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，将代入抛物线方程中得， 由焦半径公式得，则， 解得或， 当时，，则，，因为为锐角三角形， ，， ， 则为钝角，故不符题意；当时，，则，， ，， ，三个角都是锐角，符合题意， 所以， 故选：. 二、填空题 9．已知抛物线：的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 【答案】 【分析】首先求出焦点坐标和准线方程，设点到准线的距离为，再由抛物线的定义可知当三点共线时取最小值，由此确定点的坐标，最后由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】由抛物线：，可得， 解得，准线为，设点到准线的距离为， 所以，当三点共线时，取最小值， 且，所以，则，解得，所以，则点到直线的距离为，， 故答案为：.    10．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 【答案】/ 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再根据已知条件求解直线的方程，联立方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，即，所以， 所以点，又直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立方程，整理为， 设，，则， 所以． 故答案为：. 11．在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 【答案】 【分析】先求出与直线平行且与抛物线相切的直线方程，再根据两平行直线之间的距离计算即可求解. 【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线为， 联立，消y可得，， 由相切可得，解得， ∴与直线平行且与抛物线相切的直线为， 即两直线化为一般式为，以及 ∴两平行直线之间的距离为， ∴到直线距离的最小值为． 故答案为：.    12．若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则________． 【答案】 【分析】根据题意先求出抛物线的准线和双曲线的焦点，进而求解. 【详解】已知双曲线，焦点在轴， ， 所以双曲线的焦点坐标为， 抛物线的准线方程为， 又因为， 所以必经过双曲线的左焦点， 则， 故答案为：. 三、解答题 13．已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 【答案】(1) (2)，最小距离为. 【分析】（1）假设的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出的函数，进而利用二次函数求解最小值； （2）利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，再根据二次函数求解最小值 （1）设点， 所以当时，，所以. （2）点到直线的距离， 当时，，此时点的坐标为. 14．已知抛物线的焦点为，求： (1)抛物线的标准方程； (2)抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设抛物线方程为，由焦点坐标解得即可得解； （2）根据抛物线的定义，求出该点的横坐标，代入抛物线方程可求纵坐标. 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 又焦点为，所以，解得， 所以抛物线方程为； （2）由可知，其准线方程为. 设抛物线上所求点的坐标为，则满足且. 因为该点到焦点的距离等于3，根据抛物线的定义，可得该点到准线的距离也等于3， 故有，解得， 将代入，可得， 所以抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $